人教版八年级数学上册重难考点专题03等腰三角形(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题03等腰三角形(知识串讲+6大考点)特训(原卷版+解析)，共63页。

知识串讲
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:
考点训练
考点1：等腰三角形的性质——求角度
典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了A'点，若∠OAA'=50°，则秋千旋转的角度为（ ）

A．50°B．60°C．80°D．90°
【变式1】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）

A．62°B．64°C．66°D．68°
【变式2】（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=28°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=136°，则∠2的度数是（ ）

A．32°B．36°C．40°D．42°
【变式3】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ）
A．16°B．32°C．74°D．30°
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：（2023春·广东河源·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点M在CA的延长线上MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO=3，BO=4，则MC的长度为（ ）

A．12B．9C．10D．11
【变式1】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD=8，BD=3，BF=4，△ABE的周长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ=2，则线段OQ的长是（ ）
A．1.8B．2.5C．3D．2
【变式3】（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若BE=2，CF=3，则线段EF的长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，点E，F，G是CD上任意三点，若AB=3，CD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12B．6C．3D．1.5
【变式1】（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）已知，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADE+∠BCE；④∠A+∠DEC−∠ECB=90°．其中错误的说法有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下列选项中错误的是（ ）

A．BD=CD且AD⊥BCB．DE=DF
C．∠BDE=∠CDFD．若点P为AC上任意一点，且DE=3，则DP的取值范围是PDBC>AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确B．甲、丙正确，乙错误C．甲、乙正确，丙错误D．只有甲正确
【答案】A
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，AC为半径作弧，交AB于点D，
∴AD=AC，
∴△ACD为等腰三角形，
乙图：作AC的垂直平分线，交AB于点D，
∴AD=DC，
∴△ACD为等腰三角形，
丙图：∵所作的∠A=∠DCA，
∴AD=DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∴甲、乙、丙都正确，
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
【变式1】（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考阶段练习）如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，
认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（ ）
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角．
A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；
图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；
图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．
故选：B．
【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．
【变式2】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【答案】A
【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知∠CBD=（ ）
A．80°B．60°C．45°D．50°
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=12(180°−50°)=65°．
由作图痕迹可知BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=65°．
∴∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=180°−65°−65°=50°．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键．
同步过关
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD，则∠D的度数为（ ）
A．35°B．40°C．42°D．50°
【答案】B
【分析】利用等边对等角求得∠B=∠ACB=80°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
【详解】∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠B=∠ACB=80°．
∵CD=AC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠D=∠CAD=12∠ACB=40°
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
2．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称点P为△ABC的布洛卡点．某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点，得到下列两个命题：
①若∠BAC=90°，则∠APC=90°；
②若AB=AC，则∠APB=∠BPC．
下列说法正确的是（ ）
A．①为真命题，②为假命题B．①为假命题，②为真命题
C．①，②均为假命题D．①，②均为真命题
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质可判断①，根据等边对等角和三角形内角和定理可判断②．
【详解】解：当∠BAC=90°时，则∠PAC+∠PAB=90°，
∵∠PAB=∠PCA=α，
∴∠PAC+∠PCA=90°，
∴∠APC=90°，
∴①为真命题；
当AB=AC时，则∠ABC=∠ACB，
即∠PBA+∠PBC=∠PCB+∠PCA，
∵∠PBC=∠PCA=α，
∴∠PBA=∠PCB，
∵∠APB=180°−∠PBA−∠PAB，∠BPC=180°−∠PCB−∠PBC，
而∠PAB=∠PCA=α，
∴∠APB=∠BPC，
∴②为真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边对等角和三角形内角和定理，解决本题的关键是学会判断命题的真假．
3．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）如图，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，则∠A等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】B
【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC和∠DBC的度数，即可得答案．
【详解】解：如图所示，连接BC，
∵BD=CD，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵∠ABD=20°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=50°，
∴∠A=180−∠ABC−∠ACB=80°，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
4．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，OB=OD；则∠ODB的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】如图所示（见详解），连接OB，得Rt△OBC，且OB=OD=r，OC=12OD，OD∥AB，由此即可求出∠OBC=∠BOD=30°，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OB，
∴OB=OD=r，
∵OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，
∴在Rt△OBC中，OC=12OB，
∴∠OBC=∠BOD=30°，
∵OB=OD=r，
∴△BOD是等腰三角形，
∴∠OBD=∠ODB=12×(180°−30°)=75°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆与含30°角的直角三角形，等腰三角形性质的综合运用，掌握圆的知识，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形性质是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级牡丹江四中校考期中）等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．8cm或2cmB．2cmC．8cmD．8cm或25cm
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：如图，CD为△ABC的中线，AB=AC，底边BC=5cm，
∴AD=BD，
根据题意得：当（AD+AC+CD）-（BD+BC+CD）=3cm时，则AC-BC=3cm，
∴AB=AC=8cm；
当（BD+BC+CD）-（AD+AC+CD）=3cm时，则BC -AC =3cm，
∴AB=AC=2cm，
∵AB+AC=4S△GFB可判断⑤．
【详解】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线，
∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，
∴∠BCD＋∠CFE＝90°，CF＝DF，
∵∠CBA＝90°，
∴∠DAE＋∠BFA＝90°，
∵∠CFE＝∠BFA，
∴∠BCD＝∠DAE，
∴∠BCD＝∠CAE，
故①正确；
∵∠CBA＝90°，BA＝BC，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，
∵∠BCD＝∠DAE，
∴△BCD≌△BAF（ASA），
∴BD＝BF，CD＝FA，
∵AE是△ACD的中线，
∴CD＝FA＝2DE，
故③正确；
∵CB＝BF＋CF，CF＝DF，BF＝BD，
∴AB＝BD＋DF，
故④正确；
∵BD＝BF，∠DBC＝90°，
∴∠BFD＝∠BDF＝45°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG＝∠BDF＝45°，
∴∠ABG＝∠CBG＝45°，
∵BA＝BC，
∴点G为AC中点，
故②正确；
由图可知S△ACD=S△ABC+S△BCD=S△ABG+S△GFB+S△FGC+S△BCD>S△GFB
故⑤不正确，
故正确的有①②③④，共计4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．（2022秋·新疆哈密·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，∠A=36∘，D是AC上一点，且BD=BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E,F，下列结论：①DE=DF；②D是AC的中点；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD；其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和和全等三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：①∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴DE=DF，故①正确．
②因为AD=BD，但BD≠CD，故②错误；
③∵AD=BD，∴DE垂直平分AB，③正确；
∴④由①②③可知，AD=BD=BC，
又∵AB=AC，
∴AB=AD+CD=BC+CD，故④正确；
①③④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质．
9．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为( )
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=85°，由线段垂直平分线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．
【详解】解：在△ABC中，
∵∠B=65°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=55°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的作图和性质是解题的关键．
10．（2023秋·湖北黄石·八年级统考期末）正六边形ABCDEF与正方形ABMN摆放如图所示，连接NF，则∠ANF的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．85°
【答案】C
【分析】求出正六边形和正方形的每个内角度数，求得∠FAN，在等腰△ANF中求底角度数．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6=120°，正方形ABMN的每个内角是90°，
∴∠FAN=120°−90°=30°，
∵AN=AF，
∴∠AFN=∠ANF，
∴∠ANF=12(180°−30°)=75°；
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的内角和等腰三角形的性质，多边形的内角和公式是解题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AD=BD，∠DAC=60°，∠DCA=40°，则∠ABC=___________．
【答案】40°/40度
【分析】根据三角形内角和定理和外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠DAC=60°，∠DCA=40°，
∴∠ADC=180°−∠DAC−∠DCA=180°−60°−40°=80°，
∵AD=BD，
∴∠ABC=∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC+∠DAB
∴∠ABC=12∠ADC=12×80°=40°；
故答案为：40°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质．熟练掌握三角形定理和外角的性质是解题的关键．
12．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有______个．

【答案】4
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置．
【详解】解：如图所示，
分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4，即为第三个顶点的位置；
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键．
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________度.
【答案】45
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推出∠ABD=∠A=30°，即可求出∠CBD的度数．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=180°−30°÷2=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=75°−30°=45°，
故答案为：45．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
14．（2023春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）若等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则它的周长是________cm
【答案】18或21
【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5＋5＋8＝18cm；
②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，
则其周长＝5＋8＋8＝21cm；
故答案为：18或21．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键，应向学生特别强调．
15．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）若等腰三角形其中两边长a，b满足a−22+|b−5|=0，则此三角形的周长为__________.
【答案】12
【分析】根据非负数的性质得出a,b的值，根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求得三角形的三边长，进而求得周长，即可求解．
【详解】解：∵a−22+|b−5|=0
∴a−2=0，b−5=0
解得a=2,b=5
∵a，b为等腰三角形其中两边长，
当2为等腰三角的腰时，另外两边长为2,5，
∵2+2=42b)，直接写出△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
【答案】（1）△AMN是等腰三角形；理由见解析；（2）①见解析；②△AMN的周长=a−b．
【分析】（1）由已知和MN//BC 可以得到∠AMN=∠ANM，从而得到△AMN 是等腰三角形；
（2）①由已知和MN//BC 可以得到 ∠PBM=∠MPB，从而得到△BPM是等腰三角形；
②由①可得MP=MB、NP=NC，从而得到△AMN 的周长=AB+AC=a-b．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵MN//BC，∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠PBM，
∵MN//BC，∴∠MPB=∠PBC，
∴∠PBM=∠MPB，
∴△BPM是等腰三角形；
②△AMN的周长=a−b．
∵△BPM是等腰三角形，∴MP=MB，
同理可得：NP=NC，
∴△AMN的周长=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN，
=AB+AC，
又∵△ABC的周长为a，BC=b(a>2b)
∴AB+AC=a−b，
∴△AMN的周长=a−b．
【点睛】本题考查等腰三角形的综合运用，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、平行线的性质是解题关键．
19．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图在△ABC中，AB=AC=12，BC=15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．
(1)求△ABD的周长；
(2)若∠B=35°，求∠BAD的度数．
【答案】(1)27；
(2)∠BAD=75°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到△ABD的周长=AB+BC；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=∠CAD=35°，根据三角形外角的性质求出∠ADB，然后由三角形内角和定理求得∠BAD的度数．
【详解】（1）解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵AB=AC=12，BC=15，
∴△ABD的周长是：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27；
（2）解：如图，∵AB=AC，∠B=35°，
∴∠B=∠C=35°，
又∵AD=CD，
∴∠DAC=∠C=35°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=35°+35°=70°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−35°−70°=75°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．
20．（2023秋·山东滨州·八年级校联考期中）已知：如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．
求证：（1）∠B＝∠AEB；
（2）AE平分∠BED．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用全等三角形等腰三角形的性质，证明即可；
（2）证明∠AEB＝∠AED即可．
【详解】证明：（1）∵△ABC≌△AED，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，
又∠B＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB，
∴AE平分∠BED．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
21．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的三线合一，从而得出∠BAE=∠EAC，根据SAS证明△ABE≌△ACE，再得出BE=CE．
【详解】证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC．
在△ABE和△ACE中，
AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键证明∠BAE=∠EAC，利用三线合一的性质进行证明．
22．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．
(1)如图1，求证：PB=PC；
(2)如图2，当∠ABC=2∠A时，BF平分∠ABC，在不添加任何辅助线的情况下直接写出图2中的等腰三角形．（△ABC，△PBC除外）
【答案】(1)见解析
(2)ΔABF，ΔAEC，ΔPBE,ΔPCF，ΔCBE和ΔBCF
【分析】（1）利用SAS得到△ACE与△ABF全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等边得到两个底角相等，利用等式性质得到∠PBC=∠PCB，利用等角对等边即可得证．
（2）分别求出各个角的度数，根据等角对等边进行判断即可．
(1)
在△AEC和△AFB中，
AC＝AB∠A＝∠AAE＝AF，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
(2)
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ABC=2∠A
∴∠ACB=2∠A
又∠A+∠ACB+∠ACB=180°
∴∠A+2∠A+2∠A=180°
∴∠A=36°
∴∠ACB=∠ABC=72°
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=12∠ABC=36°
∴∠ABF=∠A=36°
∴ΔABF是等腰三角形；
由（1）可知，∠ACE=∠ABF=36°
∴∠ACE=∠A=36°
∴ΔAEC是等腰三角形；
又∠BFC=∠A+∠ABF=36°+36°=72°,∠CEB=∠A+∠ACE=36°+36°=72°
∴∠CEB=∠CBE=72°,∠BFC=∠BCF=72°
∴ΔCBE和ΔBCF均为等腰三角形，
∵∠PBE=∠PCF=36°,∠PEB=∠PFC=72°
∴∠BPE=∠CPF=180°−36°−72°=72°
∴ΔPBE,ΔPCF是等腰三角形，
所以，图2中的等腰三角形为：ΔABF，ΔAEC，ΔPBE,ΔPCF，ΔCBE和ΔBCF
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是熟练掌握它们的性质与定理．
23．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≅Rt△CBF；
(2)若∠CAE=25°，求∠CFA的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可；
（2）利用等腰三角形的性质求得∠BAE=20° ，再利用全等三角形的值即可求得∠BCF=∠BAE=20°，最后利用直角三角形的性质即可求得∠CFA．
【详解】（1）证明:：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CFAB=CB
∴Rt△ABE≅Rt△CBF(HL)；
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=∠CAB−∠CAE=20°，
由(1)知：Rt△ABE≌RtRt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴在△BCF中，∠CFA=90°−∠BCF=70°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，此题难度不大，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具。在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.
24．（2023秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，DE与BC交于点G，CF平分∠DCE．
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）试判断CF、DE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）CF⊥DE，理由见解析
【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BEC即可解决问题．
（2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【详解】解：（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BCE中，
AC=BE∠A=∠BAD=BC
∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴CD＝EC，
∴△CDE是等腰三角形．
（2）解：结论：CF⊥DE，理由如下：
∵△CDE是等腰三角形，CF平分∠DCE
由“三线合一”可知，CF⊥DE．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和等腰三角形的三线合一是解决此题的关键.
25．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是______（只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．
(2)如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
(3)如图2，△ABC中，∠A=30°，CD为AB边上的高，BD=2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N.若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM+DN的最大值．
【答案】(1)②
(2)20°，40°，60°，80°或100°
(3)4
【分析】（1）根据“友好分割线”的定义判断即可；
（2）分三种情形：当“友好分割线”经过点C，当“友好分割线”经过点A，当“友好分割线”经过点B，分别画出图形求解即可；
（3）证明△DNE≌△AGE(ASA)，推出DN=AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF=∠AGF=90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论．
【详解】（1）根据“友好分割线”的定义可知，
如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．
等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：②；
（2）∵∠A=60°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°−60°−40°=80°,
如图，
当EC=EA时，∠AEC=60°，
当FC=FB时，∠BFC=100°，
当BC=BG时，∠B=40°．
如图，
当AC=AR时，∠CAR=20°，
当CA=CW时，∠C=80°，
如图，
当BC=BQ时，∠CBQ=20°，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；
（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°．
∴∠ACD=90°−∠A=60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD=BD=2．
∵∠BAC=30°，
∴AC=2CD=4．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE=∠AGE=90°．
∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△DNE和△AGE中，
∠AGE=∠DNEDE=AE∠DEN=∠AEG
∴△DNE≌△AGE(ASA)，
∴DN=AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF=∠AGF=90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值为4．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．