2025届安徽省宣城市培训学校数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届安徽省宣城市培训学校数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）下列下列算式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）若直角三角形两条直角边长分别为2, 3,则该直角三角形斜边上的高为( )
A．B．C．D．
4、（4分）下列计算正确的是( )
A．＋＝B．÷＝2C．()－1＝D．(－1)2＝2
5、（4分）下列分式，，，最简分式的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6、（4分）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解
8、（4分）已知点（k，b）为第四象限内的点，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD中，若AB＝10，AC＝12，则BD的长为_____．
10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=4x+4与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，抛物线过C，D两点，且C为顶点，则a的值为_______.
11、（4分）如图，在R△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，BD是AC边上的中线，则BD= ________。
12、（4分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．
13、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线AC上一点，且CP = 3，PE⊥PB交CD于点E，则PE =____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，说明理由；并求出AM、BM、CM的值．
15、（8分）为了了解全校名学生的阅读兴趣，从中随机抽查了部分同学，就“我最感兴趣的书籍”进行了调查：A．小说、B．散文、C．科普、D．其他(每个同学只能选择一项)，进行了相关统计，整理并绘制出两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽查中，样本容量为 ；
(2) ， ；
(3)扇形统计图中，其他类书籍所在扇形的圆心角是 °；
(4)请根据样本数据，估计全校有多少名学生对散文感兴趣．
16、（8分）先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值
17、（10分）已知，正方形ABCD中，点E为BC边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段AE上，过点F的直线，分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图，求证：；
（2）如图，当点F为AE中点时，连接正方形的对角线BD，MN与BD交于点G，连接BF，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，若，，求BM的长度.
18、（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若a≠b，且a2﹣a＝b2﹣b，则a+b＝__．
20、（4分）如图，平行四边形ABCD内的一点E到边AD，AB，BC的距离相等，则∠AEB的度数等于____.
21、（4分）分解因式=____________.
22、（4分）从一副扑克牌中任意抽取 1 张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”．其中发生的可能性最大的事件是_____．（填序号）
23、（4分）设甲组数：1，1，2，5的方差为S甲2，乙组数是：6，6，6，6的方差为S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是S甲2_____S乙2（选择“＞”、“＜”或“=”填空）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算或化简：
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
25、（10分）已知平面直角坐标系中，点P的坐标为
(1)当m为何值时，点P到x轴的距离为1?
(2)当m为何值时，点P到y轴的距离为2？
(3)点P可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上吗？若可能，求出m的值；若不可能，请说明理由．
26、（12分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】
既是轴对称又是中心对称的图形是第一个和第三个；
是轴对称不是中心对称的图形是第二个和第四个；
故选．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、B
【解析】
根据二次根式的加减运算法则和二次根式的性质逐项计算化简进行判断.
【详解】
解：A项，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B项，，正确；
C项，，故本选项错误；
D项，，故本选项错误；
故选B.
本题考查了二次根式的性质和加减运算，正确的进行二次根式的化简和根据加减运算法则进行计算是解题的关键.
3、C
【解析】
己知两直角边长度，根据勾股定理即可求得斜边长，三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高.
【详解】
解：设该直角三角形斜边上的高为，
直角三角形的两条直角边长分别为2和3，
斜边，
，
，
故选：C．
本题考查了勾股定理的灵活运用，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键.
4、B
【解析】
解：与不能合并，所以A选项错误；
B．原式==2，所以B选项正确；
C．原式=，所以C选项错误；
D．原式==，所以D选项错误．
故选B．
5、D
【解析】
直接利用分式的基本性质化简得出答案．
【详解】
解：，不能约分，，，
故只有是最简分式．最简分式的个数为1.
故选：D．
此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．
6、C
【解析】
根据分式有意义的条件，即可解答.
【详解】
分式有意义的条件是：分母不等于零，a-4≠0，
∴
所以选C.
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
7、C
【解析】
对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；
对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.
【详解】
A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；
B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意；
C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.
D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意；
故选:C.
本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；
8、B
【解析】
试题分析：根据已知条件“点（k，b）为第四象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
解：∵点（k，b）为第四象限内的点，
∴k＞0，b＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，观察选项，B选项符合题意．
故选B．
考点：一次函数的图象．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
过点作于，于，设、交点为，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得的长，从而可得到的长．
【详解】
解：过点作于，于，设、交点为．
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形；
，，．
．
．
故答案为1．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．
10、-1
【解析】
如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，利用三角形全等，求出点C、点D和点F坐标即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F.
∵直线y=-1x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，1），点A（1，0），△ABO≌△DAM
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，
∴∠ABO=∠DAM，
在△ABO和△DAM中，
,
∴△ABO≌△DAM，
∴AM=BO=1，DM=AO=1，
同理可以得到：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=1，
∴点F（5，5），C（1，5），D（5，1），
把C（1，1），D（5，1）代入得：
，解得：b=-9a-1,
∵C为顶点, ∴,即 ，解得：a=-1.
故答案为-1．
本题考查二次函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
11、1.5
【解析】
利用勾股定理求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出BD的长.
【详解】
解：在Rt△ABC中，
AC=
∵ BD是AC边上的中线，
∴AC=2BD
∴BD=3÷2=1.5
故答案为：1.5
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12、1
【解析】
根据圆心角=360°×百分比计算即可；
【详解】
解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=1°，
故答案为1．
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
13、
【解析】
连接BE，设CE的长为x
∵AC为正方形ABCD的对角线，正方形边长为4，CP=3
∴∠BAP=∠PCE=45°，AP=4-3=
∴BP2=AB2+AP2-2AB×AP×cs∠BAP=42+（）2-2×4××=10
PE2=CE2+CP2-2CE×CP×cs∠PCE=（3）2+x2-2x×3×=x2-6x+18
BE2=BC2+CE2=16+x2 在Rt△PBE中，BP2+PE2=BE2，即：10+x2-6x+18=16+x2，解得：x=2
∴PE2=22-6×2+18=10 ∴PE=．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；（2）M点位于BD与CE的交点时，理由见解析；，
【解析】
（1）由旋转的性质可知：BN＝BM，BA＝BE，然后再证明∠NBE＝∠MBA，最后依据SAS证明△AMB≌△ENB即可；
（2）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E作EF⊥BC，垂足为F，先证明∠EBF＝30°，从而可求得EF，BC的长，由（1）可知EN＝AM，然后证明△BNM为等边三角形，从而可得到BM＝MN，则AM+BM+MC＝EN+NM+MC≤EC，最后，依据勾股定理求得EC的长即可．
【详解】
解：（1）由旋转的性质可知：BN＝BM，BA＝BE．
∵△BAE为等边三角形，
∴∠EBA＝60°．
又∵∠MBN＝60°，
∴∠NBE＝∠MBA．
在：△AMB和△ENB中，BN＝BM，∠NBE＝∠MBA，BA＝BE，
∴△AMB≌△ENB．
（2）如图所示：连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
∵△ABE为等边三角形，ABCD为正方形，
∴∠EBA＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝150°．
∴∠EBF＝30°．
∴
∴
由（1）可知：△AMB≌△ENB，
∴EN＝AM．
又∵BN＝BM，∠NBM＝60°，
∴△BNM为等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+MC＝EN+NM+MC≥EC．
∴AM+BM+MC的最小值
＝EC
过点M作MG⊥BC，垂足为G，设BG＝MG＝x，则NB＝x，
EN＝AM＝MC
∴
∴x＝
∴
本题主要考查的是主要考查的是旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质和判定，找出AM+BM+MC取得最小值的条件是解题的关键．
15、（1）50；（2）6，15；（3）72；（4）288.
【解析】
【分析】（1）根据小说有19人占比为38%即可求得样本容量；
（2）用样本容量乘以科普的比可求得b的值，再用样本容量减去小说、科普、其他的人数即可求得a的值；
（3）用其他所占的比乘以360度即可得；
（4）用2400乘以喜欢散文类所占的比例即可得.
【详解】（1）样本容量为：19÷38%=50，
故答案为50；
（2）b=50×30%=15，
a=50-19-15-10=6，
故答案为6，15；
（3）其他类书籍所在扇形的圆心角为：=72°，
故答案为72；
（4）估计全校对散文感兴趣的学生约有：=288人.
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，认真识图，从图中找到必要的解题信息是解题的关键.
16、3.
【解析】
先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论．
【详解】
解：原式===．
其中，即x≠﹣1、0、1．
又∵﹣2＜x≤2且x为整数，∴x=2．
将x=2代入中得：==3．
考点：分式的化简求值．
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）由正方形的性质得出∠B=90°，得出∠BAE+∠AEB=90°，由垂直的性质得出∠BAE+∠AMN=90°，即可得出结论；
（2）连接AG、EG、CG，证明△ABG≌△CBG得出AG=CG，∠GAB=∠GCB，证出EG=CG，由等腰三角形的性质得出∠GEC=∠GCE，证出∠AGE=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=AE，FG=AE，即可得出结论；
（3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，证明DP=PG=2，连接ME，证明MN是AE的垂直平分线，得，，再证明得，得，进而得，中，由勾股定理得，代入相关数据，从而得出结论.
【详解】
（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵MN⊥AE于F，
∴∠BAE+∠AMN=90°，
∴∠AEB=∠AMN；
（2）证明：连接AG、EG、CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABG=∠CBG=45°，∠ABE=90°，
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，
∵MN⊥AE于F，F为AE中点，
∴AG=EG，
∴EG=CG，
∴∠GEC=∠GCE，
∴∠GAB=∠GEC，
∵∠GEB+∠GEC=180°，
∴∠GEB+∠GAB=180°，
∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
在Rt△ABE 和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，
∴BF=AE，FG=AE，
∴BF=FG；
（3）过G作交AD于点P，交BC于点Q，则 ，，
中，， ，
∴ ，
∴
∵，
∴ ，
∴ 即
连接ME ∵于F，F为AE的中点,
∴MN是AE的垂直平分线
∴，
由（2）知 ，，
∴，
又，
∴，
∴ ，
∴ ，
又，
∴
∴
∴
∵
∴四边形PDCQ为矩形
∴
设
∵E是BC中点
∴
∴
∴ 即
∴
∴
设
∴
中，由勾股定理得
∴ 解得
∴
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
18、四边形GECF是菱形，理由详见解析．
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．
试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA，
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC，
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．
考点：菱形的判定．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
先移项，然后利用平方差公式和因式分解法进行因式分解，则易求a+b的值．
【详解】
由a2﹣a＝b2﹣b，得
a2﹣b2﹣（a﹣b）＝2，
（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）＝2，
（a﹣b）（a+b﹣1）＝2．
∵a≠b，
∴a+b﹣1＝2，
则a+b＝1．
故答案是：1．
本题考查了因式分解的应用．注意：a≠b条件的应用，该条件告诉我们a﹣b≠2，所以必须a+b﹣1＝2．
20、90°
【解析】
点E到边AD，AB，BC的距离相等，可知可知AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线，然后根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可.
【详解】
依题意，可知AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线，
又AD∥BC，
所以，∠DAB＋∠CBA＝180°，
所以，∠DAB＋∠CBA＝90°，
即∠EAB＋∠EBA＝90°，
所以，∠AEB＝90°.
故答案为：90°.
本题考查了角平分线的判定，平行四边形的性质，三角形内角和等知识，证明AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线是解答本题的关键.
21、．
【解析】
多项式有两项，两项都含有相同的因式x,所以提取提取公因式x即可.
【详解】
= x（2x-1）.
故答案为x（2x-1）.
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
22、②
【解析】
根据可能性等于所求情况与总数情况之比即可解题.
【详解】
解：一副扑克一共有54张扑克牌,A一共有4张,∴这张牌是“A”的概率是 ,
这张牌是“红心”的概率是,
这张牌是“大王”的概率是,
∴其中发生的可能性最大的事件是②.
本题考查了简单的概率计算,属于简单题,熟悉概率公式是解题关键.
23、＞
【解析】
根据方差的意义进行判断．
【详解】
因为甲组数有波动，而乙组的数据都相等，没有波动，
所以s甲1＞s乙1．
故答案为：＞．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）1；（2）2
【解析】
（1）根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）
=
=
=
=，
把代入，得：原式=
本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
25、 (1), ;(2),;(3)不可能，理由见解析.
【解析】
（1）根据点到轴的距离为，可求的值；
（2）根据点到轴的距离为，可求的值；
（3）根据角平分线上的点到角两边距离相等，可求的值，且点在第一象限，可求的范围，即可判断可能性.
【详解】
解：点P到x轴的距离为1,，
点P到y轴的距离为2,，
如果点P可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上点P在第一象限
，,不合题意
点P不可能在第一象限坐标轴夹角的平分线上．
本题考查了点到坐标，关键是利用点的坐标的性质解决问题.
26、（1）证明见解析（2）-1
【解析】
（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人