沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第11讲整式的除法(九大题型)(学生版+解析)

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第11讲 整式的除法（九大题型）一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式.要点：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.四、整式除以单项式法则整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练1】计算(1)；(2)；(3)；(4) 【即学即练2】计算：(1)；(2)；(3).【即学即练3】（1） ．（2） ．【即学即练4】先化简，再求值：，其中，．题型1：同底数幂的除法【典例1】．计算： ．【典例2】．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．【典例3】．计算： ．题型2：幂的混合运算【典例4】．计算： ．【典例5】．计算：．【典例6】．计算：(1)；(2)．【典例7】．计算：(1)；(2)．【典例8】．计算：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．题型3：同底数幂除法的逆用【典例9】．已知，，则（　　）A．3 B．18 C．6 D．1.5【典例10】．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【典例11】．已知，，，求的值．【典例12】．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)直接写出字母、、之间的数量关系为______．【典例13】．（1）已知，，求①的值；②的值（2）已知，求x的值．题型4：根据幂的运算求参数或代数式的值【典例14】．若，则 ．【典例15】．已知，，则的值为（    ）A．16 B．4 C． D．【典例16】．若，，则的值是（    ）A．4 B．5 C．8 D．10【典例17】．已知，求的值.【典例18】．若，，，则 ．题型5：单项式除以单项式【典例19】．计算：(1)；(2)．【典例20】．计算：(1)；(2)；(3).【典例21】．下列计算不正确的是（    ）A． B．C． D．【典例22】．已知，则的值为（    ）A．6 B．36 C．12 D．3题型6：整式除以单项式【典例23】．计算：(1).(2).【典例24】．计算：(1)；(2)【典例25】．下列运算正确的是（    ）①；②；③；④．A．①② B．③④C．①②③ D．②③④题型7：整式的混合运算及其求值问题【典例26】．化简：．【典例27】．已知，求的值．【典例28】．先化简，再求值：，其中．【典例29】．先化简，再求值：，其中a、b满足题型8：整式的除法代数应用（含看错，遮挡问题）【典例30】．已知，B是一个整式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ．【典例31】．整式A与单项式的积为，则整式A为 ．【典例32】．一个整式除以，商为，这个整式为 ．【典例33】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ．【典例34】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：，则所指的整式为 ．【典例35】．已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ．【典例36】．已知，是一个整式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ．【典例37】．已知，是整式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ．题型9：整式的除法，整式的混合运算的几何应用【典例38】．面积为的长方形，若它的宽为，则它的长为 ．【典例39】．已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ．【典例40】．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．【典例41】．如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则：（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ．一、单选题1．计算的结果为（    ）A． B． C． D．2．下列计算不正确的是（    ）A． B．C． D．3．计算的结果是（        ）．长方形，则需要C类卡片张数为 ．三、解答题19．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．20．计算：（1）；             （2）；    （3）； （4）；     （5）．21．计算：．22．计算下列各题：(1)；(2)．23．先化简，再求值， ，其中，24．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试．25．已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．(1)将整式A化为最简形式；(2)求整式B；(3)求的正确结果．26．整式一共有项，它除以单项式an（为正整数），其商式是几项式？写出商式.27．本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，运算法则如下：．根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，请直接写出的值．28．我们把形如的整式称为关于x的一元n次整式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元整式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数.我们来举个例子对比整式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，整式除以，商式为，余式为.请根据以上材料，解决下面的问题：(1)整式除以，请补全下面的计算式所以，除以所得的商式为 ，余式为 ．(2)若整式除以所得的余式为，求的值．学习目标1、 会用同底数幂的除法性质进行计算．2、会进行单项式除以单项式的计算．3、会进行整式除以单项式的计算．第11讲 整式的除法（九大题型） 一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式.要点：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.四、整式除以单项式法则整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点：（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练1】计算(1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；（2）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；（3）运用同底数幂的法则除法计算即可求解；（4）运用同底数幂的法则除法计算即可求解．【解析】（1）；（2） ；（3） ；（4） ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题关键．【即学即练2】计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．【解析】（1）（2）（3）【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【即学即练3】（1） ．（2） ．【答案】 【分析】（1）利用整式的除法法则计算各题即可；（2）利用整式的除法法则计算各题即可．【解析】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：．【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．【即学即练4】先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根据平方差公式和整式乘以整式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算整式除以单项式，最后代值计算即可．【解析】解：，当，时，原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．题型1：同底数幂的除法【典例1】．计算： ．【答案】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【解析】∵,故答案为: ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．【典例2】．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；（2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据即可得到；（4）根据即可得到；（5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．【典例3】．计算： ．【答案】2【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【解析】解：原式=22n-1÷22n=22n-1-2n=2．故答案为：2．【点睛】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．题型2：幂的混合运算【典例4】．计算： ．【答案】．【分析】根据同底数幂的乘法法则及除法法则计算即可解答．【解析】．故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则及除法法则，熟练运用法则是解决问题的关键．【典例5】．计算：．【答案】【分析】先根据有理数乘方运算法则将原式化简，再根据同底数幂的除法法则计算即可．【解析】解：．【点睛】本题考查整式的除法运算，掌握相应的运算法则是解题的关键．【典例6】．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则．（1）原式利用积的乘方以及同底数幂的除法法则进行计算，即可得到结果；（2）原式利用积的乘方以及同底数幂的乘法和除法法则进行计算，即可得到结果．【解析】（1）解：；（2）解： ．【典例7】．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．【典例8】．计算：(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；（2）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；（3）先算乘方，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；（4）先变形，再根据同底数幂的除法法则进行计算即可；（5）先算乘法、除法、乘方，再合并同类项即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，幂的乘方和积的乘方的应用，注意：同底数的幂相除，底数不变，指数相减．题型3：同底数幂除法的逆用【典例9】．已知，，则（　　）A．3 B．18 C．6 D．1.5【答案】D【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．【解析】解：当，时，．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【典例10】．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可；（2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解．【解析】（1）解：，，；（2），，．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．【典例11】．已知，，，求的值．【答案】【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法进行计算即可．【解析】解：∵，，，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．【典例12】．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)直接写出字母、、之间的数量关系为______．【答案】(1)9(2)(3)【分析】（1）根据幂的乘方法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘、除法逆运算进行解答即可；（3）根据 ，结合幂的乘方，同底数相乘法则即可得出结论．【解析】（1）解：∵=3，∴；（2）解：∵=3，=8，=72，∴；（3）解：∵，∴，即．【点睛】本题考查了同底数的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【典例13】．（1）已知，，求①的值；②的值（2）已知，求x的值．【答案】（1）6；；（2）9【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；（2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．【解析】解：（1）①∵，，∴；②∵，，∴；（2）∵∴，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．题型4：根据幂的运算求参数或代数式的值【典例14】．若，则 ．【答案】2【分析】利用幂的乘方以及同底数幂的除法即可求解．【解析】解：，， ， ．故答案为：2．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，掌握相关运算法则是解题的关键．【典例15】．已知，，则的值为（    ）A．16 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解．【解析】解：∵，∴∴，∴∴【典例16】．若，，则的值是（    ）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】A【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键．【典例17】．已知，求的值.【答案】m=2【分析】将变形为以2为底的幂进行比较列出方程计算即可；【解析】解：∵又∵∴∴ ∴【点睛】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键.【典例18】．若，，，则 ．【答案】1【分析】此题主要考查求代数式的值，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算是解题关键．利用同底数幂的乘法逆运算、同底数幂的除法逆运算、幂的乘方逆运算得出即可求解．【解析】∵，，∴，，∴，∴故答案为：1．题型4：根据幂的运算求参数或代数式的值【典例19】．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式除以单项式，掌握运算法则是解本题的关键；（1）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；（2）先计算积的乘方运算，再按照单项式除以单项式计算即可；【解析】（1）解：；（2）．【典例20】．计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（3）先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则进行计算即可．【解析】（1）（2）（3）【点睛】本题考查了单项式除以单项式法则和积的乘方，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【典例21】．下列计算不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用单项式除以单项式得运算法则．【解析】解：A、，运算正确，不符合题意；B、，运算正确，不符合题意；C、，运算错误，符合题意；D、，运算正确，不符合题意；【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减．【典例22】．已知，则的值为（    ）A．6 B．36 C．12 D．3【答案】D【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的除法法则把左边化简后可得答案．【解析】∵，∴，∴，【点睛】本题考查了积的乘方，以及单项式与单项式的除法法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．题型6：整式除以单项式【典例23】．计算：(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根据整式除以单项式法则计算即可；（2）先计算乘方，再根据整式除以单项式法则计算即可．【解析】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查整式除以单项式．掌握整式除以单项式法则是解题关键．【典例24】．计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是积的乘方运算，整式除以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可；（2）先计算积的乘方运算，再计算整式除以单项式的运算即可；【解析】（1）解：；（2）．【典例25】．下列运算正确的是（    ）①；②；③；④．A．①② B．③④C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】本题主要考查整式除以单项式，本题要依照整式除以单项式的法则逐题进行检查计算即可．【解析】解：①，故①计算错误，不符合题意；②，故②计算错误，不符合题意；③，故③计算正确，符合题意；④，故④计算正确，符合题意．所以，运算正确的是③④，故选：B题型7：整式的混合运算及其求值问题【典例26】．化简：．【答案】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法可得结果．【解析】解：原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式和完全平方公式．【典例27】．已知，求的值．【答案】，11【分析】本题主要考查了非负数与代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握非负数的性质，整式除以单项式法则，整式相乘的法则．根据条件结合非负数的性质求出a、b的值，而后化简原式，代入求值即可．【解析】∵，∴，，解得，，∵，∴当，时，原式．【典例28】．先化简，再求值：，其中．【答案】，8【分析】先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然后代入求值即可．【解析】解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键．【典例29】．先化简，再求值：，其中a、b满足【答案】，【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．【解析】解：原式，∵，∴，，∴，，当，时，原式．【点睛】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．题型8：整式的除法代数应用（含看错，遮挡问题）【典例30】．已知，B是一个整式，在计算时，小马同学把看成了，结果得，则 ．【答案】【分析】本题考查的是单项式乘以整式的运算，整式除以单项式的含义，整式的加减运算，由除法的意义列式，求解B后，再进一步计算即可．【解析】解：根据题意得，∴．故答案为：【典例31】．整式A与单项式的积为，则整式A为 ．【答案】【分析】直接利用整式除以单项式运算法则计算得出答案．【解析】解：∵整式A与单项式的积为，∴整式A为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．【典例32】．一个整式除以，商为，这个整式为 ．【答案】【分析】把商乘以可以得这个整式．【解析】解∶由题意，得这个整式为∶故应填∶．【点睛】本题考查了整式的除法，属于基础题型，解决本题的关键应熟练掌握整式与单项式的乘法运算．【典例33】．小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是 ．【答案】【分析】根据整式的四则运算法则求解即可．【解析】解：∵∴∴∴故答案为：．【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【典例34】．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：，则所指的整式为 ．【答案】【分析】直接利用整式除以单项式的运算法则计算得出答案．【解析】由题意可得，所捂整式是：故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【典例35】．已知整式除以一个整式，得商式为，余式为，求这个整式是 ．【答案】【分析】根据整式的加减运算及乘除运算法则即可求出答案．【解析】由题意可知：故答案为：【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算．【典例36】．已知，是一个整式，小明在计算时，错将“”抄成了“÷”，运算结果得，那么，原来算式的计算结果应为 ．【答案】【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【解析】解：由题意可知：，∴∴．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【典例37】．已知，是整式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，细心的小明同学计算正确，那么小明计算出的值为 ．【答案】【分析】根据题意得出，即可求出整式，进而求出．【解析】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了整式的乘除以及整式加减运算，解题的关键是得出整式．题型9：整式的除法，整式的混合运算的几何应用【典例38】．面积为的长方形，若它的宽为，则它的长为 ．【答案】/【分析】根据长方形的面积公式列除法算式，再由整式除法法则计算可求解．【解析】解：由题意得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查整式的除法，掌握整式的除法法则是解题的关键．【典例39】．已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为 ．【答案】【分析】本题考查的是整式除以单项式的应用，直接利用面积的2倍除以这条边的边长列式计算即可．【解析】解：由题意得这条边上的高为；故答案为：．【典例40】．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）(1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．【答案】(1)(2)16660元【分析】（1）用大长方形面积减去两个小正方形面积；（2）先求出x，然后将x、y的值代入即可．【解析】（1）解：；（2）解：∵，∴，∴（平方米）（元）答：草坪的造价为16660元．【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确运用运算法则计算是解题的关键．【典例41】．如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则：（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ．【答案】 1或5【分析】（1）求出小长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可得到答案；（2）先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍得到，整理得，最后由为偶数，为正整数即可得到答案．【解析】解：（1）由题意得，小长方形的长为，宽为，裁去的每个小长方形面积为：，故答案为：；（2）长方体纸盒的底面积为：，长方体纸盒的表面积为：，长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，（为偶数），整理得：，为偶数，为正整数，；或，正整数的值为1或5，故答案为：1或5．【点睛】本题考查了列代数式，整式的乘除运算，长方体表面积的计算，解题的关键是学会利用参数解决问题．一、单选题1．计算的结果为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法计算即可．【解析】解：，【点睛】此题考查同底数幂的除法和乘法，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加）和同底数幂的除法（底数不变，指数相减）的运算法则是解题关键．2．下列计算不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用单项式除以单项式得运算法则．【解析】解：A、，运算正确，不符合题意；B、，运算正确，不符合题意；C、，运算错误，符合题意；D、，运算正确，不符合题意；【点睛】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减．3．计算的结果是（        ）．A． B． C．1 D．【答案】B【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可．【解析】解： ，．故选C．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．4．若，则等于（　　）A．75 B．4 C． 或5 D．【答案】A【分析】根据同底数幂除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算，对式子进行化简，求解即可．【解析】解：故选：B【点睛】此题考查了同底数幂除法的逆运算以及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．5．如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（    ）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】D【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解．【解析】解：∵与不是同类项，不能进行加减计算，∴A、B选项不符合题意；∵，∴C选项不符合题意；∵，∴D选项符合题意；【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键．6．一个长方形的面积为，且一边长为，则该长方形的周长为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据整式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．【解析】解：一个长方形的面积为，且一边长为，该长方形另一边的长为：，长方形的周长为：，故选D【点睛】本题考查了整式除以单项式，整式的加减，求得另一边的长是解题的关键．7．计算得到的余式是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分组通过因式分解变形即可得到答案.【解析】解：==[2(x2-4)2-x3-4x-10x2-40-4x-23] =[2(x2-4)2-x(x2-4)-10(x2-4) -4x-23] ={(4-x2)[2(4-x2)-x-10] -4x-23}=(-2x2-x-2)-( -4x-23) 故选B.【点睛】此题主要考查了整式的除法及因式分解，正确地将进行变形是解决问题的关键.8．若a为正整数，且x2a=5，则(2x3a)2÷4x4a的值为（ ）A．5 B．2.5 C．25 D．10【答案】D【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算；再根据单项式除以单项式的法则计算，然后将x2a=5代入即可求出原代数式的值．【解析】(2x3a)2÷4x4a =4=，∵x2a=5，∴原式= x2a=5.故选A.【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是根据单项式除以单项式的法则化简原式.9．将整式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ）A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【解析】解：=；∵，∴，，，∴，，，∴；【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．10．观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解．【解析】解：根据规律得，∵，∴，∴，∴．故选：C【点睛】本题考查了探索规律，平方差公式，整式乘整式，整式除以单项式并求值，解题的关键是得到．二、填空题11．计算：•÷= ．【答案】．【分析】整式的乘除法混合运算，从左至右进行．【解析】解：•÷故答案为：．【点睛】此题主要考查整式的乘除法混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算的顺序．12．计算： ．【答案】/【分析】先根据积的乘方进行运算，再根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可．【解析】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和单项式除以单项式运算法则，准确计算．13．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．【答案】 【分析】（1）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；（2）根据同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据即可得到；（4）根据即可得到；（5）根据同底数幂的除法计算法则求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）．故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．14．（ ）．【答案】【分析】本题主要考查整式除单项式，熟练掌握整式除单项式的除法法则是解决本题的关键．根据整式除单项式的除法法则解决此题．【解析】解：由题意得：，故答案为：．15．已知，，则 ， ．（请用含有a，b的代数式表示）【答案】 / 【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则，进行计算即可．【解析】解：∵，，∴；．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则．16．小明与小亮在做游戏时，两人各报一个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整式作为被除式，要求商必须为．若小明报的整式是，则小亮应报的整式是 ．【答案】【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．【解析】解：根据题意，小亮报的整式为，故答案为：．【点睛】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．17．正整数，那么除以3的余数是 ．【答案】2【分析】先求出除以3的余数是0，再得到时，除以3的余数是2，依此即可得到除以3的余数．【解析】解：∵，∴除以3的余数是0，由知：当时，,除以3的余数是2，∴除以3的余数是2，即除以3的余数是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是变形为．18．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为 ．【答案】【分析】本题考查了整式乘整式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握整式乘整式的应用，单项式除以单项式是解题的关键．由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可．【解析】解：由题意知，大长方形的面积为，∵，∴需要C类卡片张数为张，故答案为：．三、解答题19．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法法则计算即可；（3）根据同底数幂的除法法则计算即可；（4）根据同底数幂的除法法则和积的乘方法则计算即可．【解析】解：（1）原式==；（2）原式===1；（3）原式===；（4）原式===．【点睛】本题考查同底数幂的除法和积的乘方法则．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．20．计算：（1）；             （2）；    （3）； （4）；     （5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】（1）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；（2）利用同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）先得到，然后利用同底数幂的除法计算法则求解即可；（4）先计算同底数幂的除法，然后计算积的乘方即可；（5）直接根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．21．计算：．【答案】．【分析】本题考查了整式除以单项式，根据整式除以单项式法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．【解析】解：．22．计算下列各题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式利用器的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；（2）原式中括号里利用整式乘整式法则计算，去括号合并后利用整式除以单项式法则计算即可得到结果．【解析】（1）解： （2）解：【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．先化简，再求值， ，其中，【答案】，6【分析】先根据整式的混合运算法则化简，再将，代入化简以后的式子当中求值即可．本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【解析】解：．当，时，原式．24．小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是及中间的“”，污染后习题形式如下：    ，小明翻看了书后的答案是“”，你能够复原这个算式吗?请你试一试．【答案】复原后的算式为【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．【解析】解：对应的结果为：，除式为：，根据题意得：，复原后的算式为．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．25．已知A、B均为整式，，小马在计算时，误把“÷”抄成了“”，这样他计算的正确结果为．运算法则如下：．根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，请直接写出的值．【答案】(1)；(2)3(3)或或【分析】（1）直接利用例题的方法计算；（2）利用例题方法得出，解方程即可；（3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可．【解析】（1）解：；；故答案为；；（2）解：，，，，解得：，；（3）解：，当时，；当时， ；当时，．或或．【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键．28．我们把形如的整式称为关于x的一元n次整式，记作，…等等. 将整数的带余除法类比到一元整式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：，其中表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，且的次数小于的次数.我们来举个例子对比整式除法和整数除法，如下左式中，除以，商为，余数为：而如下右式中，整式除以，商式为，余式为.请根据以上材料，解决下面的问题：(1)整式除以，请补全下面的计算式所以，除以所得的商式为 ，余式为 ．(2)若整式除以所得的余式为，求的值．【答案】(1)补全见解析，，；(2)．【分析】（1）根据整式的除法运算即可得出答案；（2）设商式为，根据关系式：，表示出被除式、除式、商式、余式之间的等式，根据整式相等的条件，求出的值，进而求出的值，代入中即可求得答案．【解析】（1）解：如图，∴ 除以 除以 的商式为，余式为，故答案为：，；（2）由题意设商式为，则有：，等式左边整理得，，∴，，解得，，∴，，∴．【点睛】此题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键．学习目标1、 会用同底数幂的除法性质进行计算．2、会进行单项式除以单项式的计算．3、会进行整式除以单项式的计算．