中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)专题突破04关于二次函数性质的综合题(3种类型)(针对第22题押题)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)专题突破04关于二次函数性质的综合题(3种类型)(针对第22题押题)特训(原卷版+解析)，共32页。
类型1：与线段有关的问题（2021年22题，2019年22题）
类型2：与面积有关问题（2016年22题）
类型3：与函数图象变换有关的问题（2020年22题）
类型1：与线段有关的问题
1．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
2．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
3．（2023•合肥模拟）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2x+m2+4，其中m为实数．
（1）求证：该抛物线与x轴没有交点；
（2）若与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），已知点M到y轴的距离为，求点N到y轴的距离；
（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为p，当﹣3≤m≤2时，求p的取值范围．
4．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
5．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点P使得S△PAB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．
6．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
类型2：与面积有关问题
7．（2016•安徽）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
8．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线y＝x2﹣2ax与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线上一点，PM∥y轴交直线于点M，求PM的最小值．
9．（2023•东至县一模）如图所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设顶点为M，将直线MA绕点A顺时针旋转90，得到的直线与抛物线交于点N，求点N的坐标；
（3）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值．
10．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
类型3：与函数图象变换有关的问题
11．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
12．（2023•花山区一模）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
13．（2021•安徽模拟）定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝x+b与y2＝是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
14．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作PE∥AC交x轴于点E，求PD+AE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）问PD+AE取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
专题突破04关于二次函数性质的综合题（3种类型）（针对第22题押题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
类型1：与线段有关的问题（2021年22题，2019年22题）
类型2：与面积有关问题（2016年22题）
类型3：与函数图象变换有关的问题（2020年22题）
类型1：与线段有关的问题
1．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【分析】（1）根据公式，对称轴为直线x＝﹣，代入数据即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）分别联立直线y＝m与两抛物线的解析式，表示出A，B，C，D的坐标，再表示出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴C（1+，m），D（1﹣，m）
∴CD＝2×＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，题目难度适中，根据题意得出AB和CD的长是解题基础．
2．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数图象的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2．
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2，
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝1时，W取得最小值7．
【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．
3．（2023•合肥模拟）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2x+m2+4，其中m为实数．
（1）求证：该抛物线与x轴没有交点；
（2）若与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），已知点M到y轴的距离为，求点N到y轴的距离；
（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为p，当﹣3≤m≤2时，求p的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，即 x2﹣2x+m2+4＝0，利用根的判别式即可即可判断；
（2）求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性即可求得N点的横坐标，从而求得点N到y轴的距离；
（3）求得顶点的纵坐标为p＝m2+3，利用二次函数的性质，根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
【解答】（1）证明：令y＝0，即 x2﹣2x+m2+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4（m2+4）＝﹣4m2﹣12＜0，
∴这条抛物线与x轴没有交点；
（2）解：∵抛物线 y＝x2﹣2x+m2+4，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∵与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），
∴M，N关于x＝1对称，
∴点M到y轴的距离为，
∴当M的横坐标为 或 ，
∴点N横坐标为或，
∴点N到y轴的距离为 或；
（3）解：∵y＝x2﹣2x+m2+4＝（x﹣1）2+m2+3，
∴顶点的纵坐标为p＝m2+3
∴m＝0时，p的最小值为3，
∵对于二次函数 p＝m2+3，当﹣3≤m≤0，p随m的增大而减小，
∴当m＝﹣3时，p取最大值12；
当0＜m≤2，p随m的增大而增大，即当m＝2时，p取最大值7．
∴当﹣3≤m≤2时，p的取值范围为3≤p≤12．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的解答，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
4．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
【分析】（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），再设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+9，把B（6，0）代入，可求出a，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形HGNM中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形HGNM的周长为，由于，且0＜m＜6，当m＝4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大值为26；
（3）如图是画出的切割方案，分别令y＝2，y＝4，y＝6，y＝8，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【解答】解：（1）根据已知可得，抛物线顶点坐标为（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+9，
把B（6，0）代入，得0＝36a+9，解得，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
（2）在矩形HGNM中，设，
由抛物线的对称性可知，
∴矩形HGNM的周长为．
∵，且0＜m＜6，
∴当m＝4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大值为26，
即矩形HGNM的最大周长为26dm．
（3）如图是画出的切割方案：
在中，令y＝2，解得，
∴；
在中，令y＝4，解得，
∴；
在中，令y＝6，解得，
∴；
在中，令y＝8，解得x＝±2，
∴KI＝4，
∴拼接后的矩形的长边长为．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
5．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点P使得S△PAB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．
【分析】（1）设抛物线y＝﹣x2+kx+k+1顶点纵坐标为s，可得s＝＝（k+2）2，由二次函数性质可得答案；
（2）当k＝2时，抛物线为y＝﹣x2+2x+3，可得C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），AB＝4，①设P（m，﹣m2+2m+3），由S△PAB＝，得×4×（﹣m2+2m+3）＝，可解得P（，）或（，）；②设P（t，﹣t2+2t+3），可得S△PMB﹣S△AMC＝S△ABP﹣S△ABC＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2，根据二次函数性质得P（1，4），再用待定系数法即得直线BP表达式为y＝﹣2x+6．
【解答】解：（1）设抛物线y＝﹣x2+kx+k+1顶点纵坐标为s，
∴s＝＝（k+2）2，
∵＞0，k≥1，
∴当k＝1时，s取最小值，最小值为，
∴抛物线的顶点纵坐标的最小值是；
（2）当k＝2时，抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
①存在点P使得S△PAB＝，理由如下：
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵S△PAB＝，
∴×4×（﹣m2+2m+3）＝，
解得m＝或m＝，
∴P（，）或（，）；
②如图：
设P（t，﹣t2+2t+3），
∴S△ABP＝×4×（﹣t2+2t+3）＝﹣2t2+4t+6，
而S△ABC＝×4×3＝6，
∴S△PMB﹣S△AMC＝S△ABP﹣S△ABC＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴t＝1时，S△PMB﹣S△AMC的最大值为2，
此时P（1，4），
设直线BP表达式为y＝px+q，把P（1，4），B（3，0）代入得：
，
解得，
∴直线BP表达式为y＝﹣2x+6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
6．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点M坐标为，再求出直线OM的解析式为，进而求出EF＝＝，根据二次函数性质即可求出当时，EF有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）①将x＝7.5代入中，得y＝3，
∴点，∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0），
将点代入得，
∴，
∴直线OM的解析式为，
∴＝＝，∵，
∴当时，EF有最大值，为；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即，
解得，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
类型2：与面积有关问题
7．（2016•安徽）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【分析】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．
【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
设C坐标为（x，﹣x2+3x），
S△OAD＝OD•AD＝×2×4＝4；
S△ACD＝AD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；
S△BCD＝BD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，
则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
8．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线y＝x2﹣2ax与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线上一点，PM∥y轴交直线于点M，求PM的最小值．
【分析】（1）令y＝0，解方程求出A，B坐标，根据B在x轴正半轴得出2a＝4，然后求出a的值；
（2）根据（1）解析式求出顶点坐标，然后由三角形的面积公式求出面积；
（3）设P（m，m2﹣4m），则M（m，﹣m﹣4），则PM＝m2﹣4m﹣（﹣m﹣4）＝（m﹣）2+，然后由二次函数的性质求出最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2ax＝0，
解得x1＝0，x2＝2a，
∴A（0，0），B（0，2a），
∵点B在x轴正半轴，
∴a＞0，
∴2a＝4，
解得a＝2；
（2）由（1）知，y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴C（2，﹣4），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝×4×4＝8；
（3）设P（m，m2﹣4m），则M（m，﹣m﹣4），如图所示：
则PM＝m2﹣4m﹣（﹣m﹣4）＝m2﹣m+4＝（m﹣）2+，
∵1＞0，
∴当m＝时，PM有最小值．
∴PM的最小值为．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
9．（2023•东至县一模）如图所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设顶点为M，将直线MA绕点A顺时针旋转90，得到的直线与抛物线交于点N，求点N的坐标；
（3）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值．
【分析】（1）由题意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再将（0，0）代入求出a的值即可求函数的解析式；
（2）通过证得△AOB≌ADM（AAS），求得B（0，3），利用待定系数法求得直线AN的解析式，与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得N的坐标；
（3）设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，则OE＝|m|，AF＝|6+m|，由题意可知直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，求出OM＝|m|，AN＝|6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣6；
（2）设旋转90，得到的直线与y轴交于点B，对称轴与x轴的交点为D，
∵OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
∴OA＝DM＝6，
∵∠OAB+∠DAM＝∠MAN＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和ADM中，
，
∴△AOB≌ADM（AAS），
∴OB＝AD＝3，
∴B（0，3），
设直线AB为y＝kx+3，
代入A（6，0）得6k+3＝0，
解得k＝﹣，
∴直线AB为y＝﹣x+3，
由解得或，
∴N的坐标为（﹣，）；
（3）设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，
∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，
∵△POQ与△PAQ的面积之比为1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m＝﹣或m＝3．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当a+1≤1时，即a≤0，则x＝a+1时，抛物线取得最小值；当x＝a﹣2≥1时，即a≥3，则x＝a﹣2时，抛物线取得最小值，进而求解；
（3）由S＝S△PHC+S△PHB，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，即抛物线的最小值是﹣4，
即x＝a﹣2和x＝a+1不可能在抛物线对称轴两侧；
当a+1≤1时，即a≤0，
则x＝a+1时，抛物线取得最小值，
即y＝（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝5，
解得：a＝3（舍去）或﹣3，
即a＝﹣3；
当x＝a﹣2≥1时，即a≥3，
则x＝a﹣2时，抛物线取得最小值，
即y＝（a﹣2）2﹣2（a﹣2）﹣3＝5，
解得：a＝6，
综上，a＝6或﹣3；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
则S＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣（x﹣）2+．
即△PBC的面积S的最大值为．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
类型3：与函数图象变换有关的问题
11．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），根据题意得出+q＝+1，由抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，从而得出q的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
（3）另解
∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1，
∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h﹣）2+
∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
12．（2023•花山区一模）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
【分析】（1）根据对称轴公式以及当x＝1时y＝2，用待定系数法求函数解析式；
（2）根据（1）可知抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，再由平移性质得出抛物线C1解析式，然后把点（c，1）代入抛物线C1，再根据方程有解得出m的取值范围；
（3）先求出抛物线C2解析式，再求出A，B，C，D坐标，然后求值即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得；
（2）由（1）知，抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
将其向下平移m个单位得到抛物线C1，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣1）2+2﹣m，
∵存在点（c，1）在C1上，
∴（c﹣1）2+2﹣m＝1，即（c﹣1）2＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥0，
解得m≥1，
∴m的取值范围为m≥1；
（3）∵抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），
∴（1﹣3）2+k＝2，
解得k＝﹣2，
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣1）2+2中，
得n＝（x﹣1）2+2，
解得x＝1﹣或x＝1+，
∴A（1﹣，n），B（1+，n），
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣3）2﹣2中，
得n＝（x﹣3）2﹣2，
解得x＝3﹣或x＝3+，
∴C（3﹣，n），D（3+，n），
∴AD＝（3+）﹣（1﹣）＝2++，
BC＝（1+）﹣（3﹣）＝﹣2++，
∴AD﹣BC＝（2++）﹣（﹣2++）＝4．
【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．
13．（2021•安徽模拟）定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝x+b与y2＝是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
【分析】（1）联立方程y1＝y2得x+b＝，通过判别式求解．把b＝1代入求解．
（2）先求出直线与抛物线y＝x2+2x相切时b的值，然后分类讨论b增大减小两种情况．
【解答】解：（1）由y1＝y2得x+b＝，
整理得x2+2bx﹣6＝0，
Δ＝4b2+24＞0，
∴函数y1＝x+b与y2＝互为“等值函数”，
当b＝1时，x2+2x﹣6＝0，
解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣是y1＝x+b与y2＝的“等值根”．
（2）如图
当直线y＝x+b与抛物线y＝x2+2x相切时，方程x+b＝x2+2x中Δ＝（）2+4b＝0，
∴b＝﹣，
∴b＜﹣满足题意，
抛物线y＝x2+2x与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0），
当直线经过（0，0）时，b＝0，
当直线经过（﹣2，0）时，0＝﹣1+b，
解得b＝1，
∴当0＜b＜1时满足题意．
综上所述，0＜b＜1或b＜﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象交点与方程的根的关系，通过数形结合方法求解．
14．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作PE∥AC交x轴于点E，求PD+AE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）问PD+AE取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
【分析】（1）由得C（0，4），A（﹣3，0），B（2，0），再用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+4；
（2）过P作PH⊥x轴于H，交AC于G，连接PE，设P（m，﹣m2﹣m+4），可得PG＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣2m，PH＝﹣m2﹣m+4，根据△PDG∽△AOC，可得PD＝，而△PHE∽△COA，可得EH＝，故AE＝EH﹣AH＝﹣﹣m，从而PD+AE＝﹣﹣m＝﹣（m+）2+，根据二次函数性质可得答案；
（3）由A（﹣3，0），C（0，4），知将抛物线y＝﹣x2﹣x+4沿射线AC方向平移个单位，相当于向右平移2个单位，再向上平移个单位，故新抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+，设N（p，﹣p2+2p+），M（，t），分三种情况：①若MN，PC为对角线，则MN，PC的中点重合，，②以NP，MC为对角线，；③以NC，PM为对角线，，分别解方程组可得答案．
【解答】解：（1）在中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
在中，令y＝0得x＝﹣3或x＝2，
∴A（﹣3，0），B（2，0），
设直线AC解析式为y＝kx+4，
∴﹣3k+4＝0，
解得k＝，
∴直线AC的解析式为y＝x+4；
（2）过P作PH⊥x轴于H，交AC于G，连接PE，如图：
∵C（0，4），A（﹣3，0），
∴OC＝4，OA＝3，
∴AC＝＝5，
设P（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，m+4），
∴PG＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣2m，PH＝﹣m2﹣m+4，
∵∠PGD＝∠ACO，∠PDD＝90°＝∠AOC，
∴△PDG∽△AOC，
∴＝，即＝，
∴PD＝，
∵PE∥AC，
∴∠PEH＝∠CAO，
∵∠PHE＝90°＝∠AOC，
∴△PHE∽△COA，
∴＝，即＝，
∴EH＝，
∴AE＝EH﹣AH＝﹣（m+3）＝﹣﹣m，
∴PD+AE＝﹣﹣m＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，PD+AE的最小值为，
此时P（﹣，），
∴PD+AE的最大值为，此时点P的坐标是（﹣，）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴将抛物线y＝﹣x2﹣x+4沿射线AC方向平移个单位，相当于向右平移2个单位，再向上平移个单位，
∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+4+＝﹣x2+2x+，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
设N（p，﹣p2+2p+），M（，t），
而P（﹣，），C（0，4），
①若MN，PC为对角线，则MN，PC的中点重合，
∴，
解得，
∴M（，）；
②以NP，MC为对角线，同理得：
，
解得，
∴M（，）；
③以NC，PM为对角线，同理得：
，
解得；
∴M（，）；
综上所述，M的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．