中考数学真题分项汇编(全国通用)专题11反比例函数及其应用(共35道)精练(原卷版+解析)

这是一份中考数学真题分项汇编(全国通用)专题11反比例函数及其应用(共35道)精练(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
2．（2023·山东济南·统考中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（2023·浙江·统考中考真题）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A．B．C．D．1
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山东泰安·统考中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）

A．3B．4C．5D．6
10．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
11．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2B．C．1D．
二、填空题
13．（2023·湖南益阳·统考中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
15．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

16．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．

17．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．

19．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
20．（2023·山东日照·统考中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ．
22．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．

23．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．

24．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．

25．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．

三、解答题
26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
27．（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
28．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
29．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
30．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
31．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
32．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
33．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
34．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求线段的长．
35．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
专题11 反比例函数及其应用（35道）
一、单选题
1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
2．（2023·山东济南·统考中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
3．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】B
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
4．（2023·浙江·统考中考真题）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
5．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，
当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，
∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为，
∵，，且一定，
∴随的增大而减小，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．
7．（2023·山东泰安·统考中考真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
8．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，
即函数图象经过点．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
9．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
10．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】C
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，
∴，
则，
又∵，，
∴
∴（负值已舍去）
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作轴，

∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，D三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
二、填空题
13．（2023·湖南益阳·统考中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．
【详解】解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．
14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
15．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．

【答案】4
【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．
16．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．

【答案】
【分析】过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解∶过点作轴于点，

由旋转的性质得，，，
∵点的坐标为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得．
∴，
∴点的坐标为，，
∵点恰好落在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点的坐标．
17．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
【答案】
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．

【答案】/
【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值．
【详解】解：的面积为，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键．
19．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
20．（2023·山东日照·统考中考真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
【答案】（满足都可以）
【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解：，
一次函数的图象必定经过第二、四象限，
，
反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，
，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的k值可以为1.5，
故答案为：1.5（满足都可以）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ．
【答案】6
【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．
【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接，
为等边三角形且，则，
，
如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点，
，，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．
22．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．

【答案】/
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
23．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．

【答案】4
【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．
【详解】解：∵轴于点轴于点，
∴点P的横纵坐标相同，
∴可设点P的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．
24．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．

【答案】6
【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值．
【详解】解：延长交x轴于点F，如图，
由点D在反比例函数的图象上，则设，
∵矩形的边平行于轴，，，
∴轴，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：6．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．
25．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．

【答案】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
三、解答题
26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到 ，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，
∴．
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，
∴y=kx+2k，
由消去y得到，
解得x=﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为，
∴×2×3k+•2k=，解得k=，
∴直线l的解析式为．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
27．（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
【答案】(1)函数的表达式为，的面积为
(2)不变，理由见解析
(3)在，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可；
（2）求解过程同（1）；
（3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴函数的表达式为，的面积为；
（2）解：的面积不变，理由如下：
∵，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴的面积不变；
（3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：
设直线的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，
∴直线与边的交点坐标为，
当，，
∴直线与边的交点在函数的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)过动点作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）把分别代入一次函数和反比例函数求出的值即可得到答案；
（2）联立求出点的坐标，令直线与交于点，由直线求出点的坐标，最后由，进行计算即可得到答案；
（3）直接由函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入一次函数，
得，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：或，
，
令直线与交于点，如图，
，
当时，，
解得：，
，
（3）解：由图象可得：
，
当在的上方时，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．
29．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
30．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，可得，结合的面积是8．可得，从而可得答案；
（2）先求解，，可得直线为，联立，再解方程组即可．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．
31．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k；
（2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式．
【详解】（1）解：四边形是边长为的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，

点，，，
∴
，
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，
即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，
即：直线的函数解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于，灵活运用几何意义是解题关键．
32．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：轴，
，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，解得：或，
，
．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
33．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：当直线 经过点时，则，解得；
当直线 经过点时，则，解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
34．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求线段的长．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．
35．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)9
(3)或
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．