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苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题03绝对值的几何意义(原卷版+解析)
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这是一份苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题03绝对值的几何意义(原卷版+解析)，共31页。
类型一 求两个绝对值的和的最小值
1．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；
（3）求的最小值是_______．
2．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．
（4）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为
3．【阅读】
|5﹣2|表示5与2差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离：
【探索】
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ．
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上 ，其中x的值可以是 ；
（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，符合条件的整数x是 ；
（4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值并尝试用几何意义来解释：如果没有，说明理由．
4．的几何意义表示数轴上a所对应的点与原点的距离，表示数轴上a所对应的点与1所对应的点之间的距离．
情景：
点P为数轴上的一个动点，其所表示的数为a，A、B、C三点表示的数分别为、6、b，点P从原点向数轴的负方向以每秒一个单位长度运动，当到达数轴上时立即以原速返回向沿数轴正方向运动．
点P分别到点A、B的距离之和可以用绝对值表示为：
问题：
(1)表示数轴上a所对应的点与_______所对应的点之间的距离；
(2)P分别到点A、B的距离之和的最小值是_______；
(3)P点到点A、B的距离之和达到最小值时所用时间一共是_______秒：
(4)当b的值是_______时，的最小值是2．
5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；
(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
7．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；
（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4）的最小值_____．
8．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ；
（3）直接写出的最小值为 ；
（4）直接写出的最小值为 ；
（5）简要求出的最小值．
9．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
类型三 利用绝对值的几何意义解绝对值方程
10．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
11．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若，则 ；的最小值是 ．
（2）若，则的值为 ；若，则的值为 ．
（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由．
12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值；
（2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？
（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．
13．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．
（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．
类型四 利用绝对值的几合意义解绝对值不等式
14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
15．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．
例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．
例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|+2|=3的解为 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.
16．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
专题03 绝对值的几何意义
类型一 求两个绝对值的和的最小值
1．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；
（3）求的最小值是_______．
【答案】（1）3，3，4；（2），或1；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）根据题意及绝对值的几何意义解题，数轴上两点间的距离即是两点表示的数的差的绝对值；
（2）根据绝对值的几何意义解题，数轴上的点x与-1的距离即求x与-1 的差的绝对值，如果，则点x可能在-1的右侧距离-1是2个单位长度，或者点x可能是在-1的左侧距离-1是2个单位长度，据此解题；
（3）将变形成两数差的绝对值形式，再根据绝对值的几何意义解题即可．
【详解】
（1）数轴上，A、B两点之间的距离为，
数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为，
故答案为：3，3，4；
（2）数轴上表示和-1的两点之间的距离为，
如果，则，
，
或
故答案为：或；
（3），其表示的几何意义是：数轴上表示的点x到-1和-2之间的距离和，当时，代数式，则最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查数轴、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．
（4）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为
【答案】（1）3；5．（2）；（3）6；（4）20．
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式，即可求出距离；
（2）根据两点间的距离公式，即可得到答案；
（3）由绝对值的意义进行化简，即可求出答案；
（4）把|x+12|+|x8|理解为：在数轴上表示x到12和8的距离之和，求出表示12和8的两点之间的距离即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；
表示3和2两点之间的距离是：；
故答案为：3；5．
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
故答案为：；
（3）∵数轴上表示数a的点位于4与2之间，
∴，
∴；
（4）有最小值．最小值为20，
理由是：∵|x+12|+|x-8|理解为：在数轴上表示x到12和8的距离之和，
∴当x在12与8之间的线段上（即12≤x≤8）时：
即|x+12|+|x-8|的值有最小值，
最小值为：8（12）=20．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
3．【阅读】
|5﹣2|表示5与2差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离：
【探索】
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ．
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上 ，其中x的值可以是 ；
（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，符合条件的整数x是 ；
（4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值并尝试用几何意义来解释：如果没有，说明理由．
【答案】（1）3，4；（2）5或1；（3）﹣3或5；（4）|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值为7，其几何意义就是点x到﹣3的距离与点x到4的距离的和．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴的性质即可求解；
（2）（3）（4）根据数轴的性质和绝对值的几何意义即可求解．
【详解】
解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|﹣2﹣（﹣5）|＝|3|＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|＝|4|＝4；
故答案为：3，4．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上表示x的点到表示3的点的距离为2，其中x的值可以是5或1，
故答案为：5或1．
（3）∵x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，
对P点的位置讨论如下：
①点P在﹣2的左边，
∵﹣2到4的距离为6，
∴点P到﹣2的距离为1，
∴x＝﹣3；
②点P在﹣2与4之间，不符合题意，舍去；
③点P在4的右边，
∵﹣2到4的距离为6，
∴点P到4的距离为1，
∴x＝5，
故答案为﹣3或5．
（4）对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值为7，
其几何意义就是：|x+3|+|x﹣4|表示点x到﹣3的距离与点x到4的距离的和，其最小值为4﹣（﹣3）＝7．
【点睛】
本题考查绝对值的意义和应用，深刻理解绝对值的意义是解题关键．
4．的几何意义表示数轴上a所对应的点与原点的距离，表示数轴上a所对应的点与1所对应的点之间的距离．
情景：
点P为数轴上的一个动点，其所表示的数为a，A、B、C三点表示的数分别为、6、b，点P从原点向数轴的负方向以每秒一个单位长度运动，当到达数轴上时立即以原速返回向沿数轴正方向运动．
点P分别到点A、B的距离之和可以用绝对值表示为：
问题：
(1)表示数轴上a所对应的点与_______所对应的点之间的距离；
(2)P分别到点A、B的距离之和的最小值是_______；
(3)P点到点A、B的距离之和达到最小值时所用时间一共是_______秒：
(4)当b的值是_______时，的最小值是2．
【答案】(1)-1
(2)8
(3)10
(4)8或4．
【解析】
【分析】
（1）由题目中绝对值的定义直接得出答案即可；
（2）由图直接得出答案即可；
（3）根据题意知当P点在AB之间时，P点到点A、B的距离之和达到最小值，根据P点的运动可知，P点在AB间运动的总路程为10，即可得出运动时间；
（4）根据6到8和4的距离都是2，即可判断当b的值是8或4．
(1)
解：由绝对值的定义知，|a+1|表示数轴上a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离，
故答案为：﹣1；
(2)
解：由图知，当P点不在AB之间运动时，P分别到点A、B的距离之和大于8；当P点在AB之间运动时，P分别到点A、B的距离之和为8，故P分别到点A、B的距离之和的最小值是8；
或当，；当，；当，；P分别到点A、B的距离之和的最小值是8；
故答案为：8；
(3)
解：根据题意知当P点在AB之间时，P点到点A、B的距离之和达到最小值，根据P点的运动可知，P点在AB间运动的总路程为10，速度为每秒一个单位长度，
∴运动时间为10秒，
故答案为：8；
(4)
解：由（2）可知，当P点在CB之间运动时， P分别到点C、B的距离之和的最小，因为最小值是2，所以B、C两点之间距离为2，
∵6到8和4的距离都是2，
∴b的值是8或4，
故答案为：8或4．
【点睛】
本题主要考查绝对值的含义，正确理解绝对值与数轴的联系是解题的关键．
5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．
【答案】（1）5；2；（2）5或；（3）①或8；②，6；③2020．
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；
（2）根据绝对值的定义求解即可；
（3）①利用绝对值的定义可知或，然后进一步计算即可；②的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，然后进一步求解即可.
【详解】
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：；
数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：，
故答案为：5，2；
（2）若，则或，
故答案为：5或；
（3）①若，则或，
∴或，
故答案为：或8；
②∵的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
∴，其中整数有、、0、1、2、3共6个，
故答案为：，6；
③∵是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，
∴当时，有最小值，
此时最小值为：，
故答案为：2020.
【点睛】
本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；
(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
【答案】(1)或；数轴上表示数a的点与数2的点之间的距离．
(2)或5
(3)10，
(4)17，
【解析】
【分析】
（1）根据距离公式及定义表示即可；
（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；
（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；
（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．
(1)
解：①在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是 ，
故答案为：；
②∵=|a-(-5)|，
∴在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
故答案为：表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
(2)
解：∵表示数m到2的距离，画数轴如下：
当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；
当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；
故答案为：-1或5；
(3)
解：∵表示数m与-1，9的距离之和，画数轴如下：
根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，
此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，
∴ ；
故答案为：10、；
(4)
解：根据题意，画图如下，
根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，
此时动点m在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，
∴ ；
故答案为：17、 ．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．
7．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；
（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4）的最小值_____．
【答案】（1）3，3，4；（2），1或-3；（3）点x到的距离与点x到的距离之和，2；（4）2
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；
（3）根据数轴、绝对值的性质，对x的取值分类计算，即可完成求解；
（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
数轴上表示1和的两点之间的距离是：；
故答案是：3，3，4；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是：；
∵=2
∴
∴或
故答案为：，1或-3
（3）表示的几何意义：点x到的距离与点x到的距离之和；
当时，
当时，
当时，
∴的最小值为：2
故答案为：点x到的距离与点x到的距离之和，2；
（4）结合（3）的结论，当时， 的最小值为：2
∴
当时，取最小值，即
∴
∴的最小值为：2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．
8．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ；
（3）直接写出的最小值为 ；
（4）直接写出的最小值为 ；
（5）简要求出的最小值．
【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）得出的几何意义，从而得到最小值；
（4）得出的几何意义，从而得到最小值；
（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是，
故答案为：6；
（2）由题意可得：
，
则x的值为：-3或1；
（3）∵表示数轴上表示点x到-2和4两点的距离和，
∴当x在-2到4之间时，有最小值，最小值为6；
（4）表示数轴上表示点x到-2和1和4三点的距离和，
∴当x与1重合时，的值最小，最小值为6；
（5）的中间一项是|x-50|，
当x=50时，有最小值，
∴
=
=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49
=2×（1+2+…+49）
=2450．
【点睛】
本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．
9．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．
【解析】
【分析】
（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；
（2）利用两点距离公式|x-(-1)|计算即可；
（3）分当x≤-1当-1＜x≤2，当2＜x≤3，当x≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；
（4）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；
（5）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；
（6）分区间化去绝对值当x≤1，，当1≤x≤3， ，当x≥3，即可．
【详解】
解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，
故答案为15；
（2）|x-(-1)|=|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）当x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=- x-1 –x+2- x+3=-3x+4≥7，
当-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1–x+2- x+3=- x+6≥4，
当2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2- x+3= x+2＞4，
当x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2+ x-3=3 x-4＞5，
式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，
故答案为4；
（4）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为7，符合条件的整数x为0，1，
故答案为：7；0,1；
（5）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为16，符合条件的整数x为1，
故答案为16；1；
（6）当x≤1，，
当1≤x≤3， ，
当x≥3，，
的最小值为-2，最大值为2．
故答案为-2；2．
【点睛】
本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．
类型三 利用绝对值的几何意义解绝对值方程
10．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
（2）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
【详解】
（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为
∴方程的解是
（2）∵在方程中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．
∴方程的解是或．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．
11．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若，则 ；的最小值是 ．
（2）若，则的值为 ；若，则的值为 ．
（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时
【解析】
【分析】
（1）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧的取值即可得到答案；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；
（3）分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或；
设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，
如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，；
当P在A点左侧时；
同理当P在B点右侧时；
∴的最小值为5，
故答案为：5或-1；5；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时
∵，
∴当P在A点左侧时即，
∴；
同理当P在B点右侧时即，
∴；
∴当时，或4；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
∴综上所述，当，或；
故答案为：或4；或；
（3）当时，
∴，
当时，
∴，
当时
∴，
当时
∴，
∴此时
∴综上所述，的最小值为17，此时．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义．
12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值；
（2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？
（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．
【答案】（1）x=1；（2）若向x轴负向运动，3s后可使PB＝3AB；若向x轴正向运动，5s后可使PB＝3AB；（3）x=-2或4．
【解析】
【分析】
（1）点P到点A、点B的距离相等，点P必在A、B中间；
（2）先求出使PB＝3AB的P点，再用距离除以速度；
（3）找到与A、B两点距离之和为6的点．
【详解】
解：（1）到点A、点B的距离相等的点位于A、B的中点，即x=1的点；
（2）若P向数轴负方向运动，
使PB＝3AB，AB=4
则PB=12
所以P点对应的数是3-12=-9，
从原点到-9对应点的距离是9，P移动的速度是3个单位/s
所以到达-9处需要时间=；
若P向数轴正方向运动，
使PB＝3AB，AB=4
则PB=12
所以P点对应的数是3+12=15
从原点到15对应点的距离是15，P移动的速度是3个单位/s
所以到达15处需要时间=．
综上，当以数轴负向运动时，3秒后可使PB＝3AB；当以数轴正向运动时，5秒后可使PB＝3AB．
（3）由题可得，要找出与A、B两点距离之和为6的点，因为AB=4，所以必定在线段AB两侧
在线段AB右侧的点为x=4的点，与B距离为1，与A距离为5；
在线段AB左侧的点为x=-2的点，与A距离为1，与B距离为5．
【点睛】
这道题考察的是数轴上两点间距离的概念和绝对值的几何意义．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．
（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）时，有最小值7．
【解析】
【分析】
（1）根据题意和数轴上两点间的距离解答即可；
（2）等式=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，再结合题意可确定数x在﹣2与5之间，进而可确定整数x的值，然后求和计算即可；
（3）式子|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|表示数a的点与表示数﹣3、1、4的点的距离之和，由于数1在﹣3与4之间，可先考虑求|a+3|+|a﹣4|的最小值，易知数轴上当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，故当表示数a的点在表示数﹣3和4之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时只要求|a﹣1|的最小值即可，显然当a＝1时满足要求，再把a＝1代入原式计算即可．
【详解】
解：（1）因为点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，
所以点A到B的距离为，点A到C的距离为，
所以A到B的距离与A到C的距离之和是；
（2）因为=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，且数轴上﹣2与5的两点间的距离为7，
所以数x在﹣2与5之间，
因为x为整数，
所以x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
它们的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5=12；
（3）因为|a+3|+|a﹣4|表示数a的点到表示数﹣3和4的点的距离之和，
所以当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，此时|a+3|+|a﹣4|的值均大于7，
所以当表示数a的点在表示数﹣3和4的点之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时|a+3|+|a﹣4|=7；
又因为当a=1时，|a﹣1|的值最小，且数轴上表示数1的点在表示数﹣3和4的点之间，
所以当a＝1时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，
此时|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|=4+0+3=7．
即时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|有最小值7．
【点睛】
本题以数轴为载体，主要考查了绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离和有理数的加法运算，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
类型四 利用绝对值的几合意义解绝对值不等式
14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；
(3)|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．
【详解】
(1)方程|x＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；
(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x对应点在３的右边或－４的左边，若x对应点在３的右边，由图可以看出x≥４；同理，若x对应点在－４的左边，可得x≤－５，即可求得x≥4或x≤－5．
(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的点到数轴上与3和－4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．
故a≤7．
【点睛】
此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.
15．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．
例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．
例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|+2|=3的解为 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.
【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3；（2）在数轴上找出|－2|=6的解；即在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数；（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．再根据数轴上的位置分析出不等式的解集;（4）由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
【详解】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3
解得或x=－5．
（2）在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，
∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．
（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．
∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．
若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，
∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，
∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．
（4）在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．
若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，
∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或 .
【点睛】
考核知识点：绝对值的几何意义的运用.根据材料，理解绝对值的几何意义是解题关键.
16．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
【答案】（1）－5或－1；（2）①4，－3≤x≤1；②x＜－3或x＞1；（3）x＝4或8．
【解析】
【分析】
（1）根据|x+3|=2所表示的意义，分两种情况进行解答即可；
（2）①|x-1|+|x+3|表示数轴上表示x的点，到表示1和-3的点距离之和，使距离之和最小，x在1与-3之间即可，即可得出答案；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，根据图象法可得解集；
（3）分三种情况进行解答，即x＞5时，1＜x＜5时，x＜时，分别列方程求解即可．
【详解】
解：（1）|x+3|=2表示数轴上到表示-3的点距离为2的点 所表示的数，
因此在-3的左侧时，此数为-5，在-3的右侧时，此数为-1，
故答案为：-5或-1；
（2）①|x-1|+|x+3|表示：数轴上表示x的点，到表示1的点和表示-3的点距离之和，
当x在1与-3之间时，这个距离之和最小，最小值为1-（-3）=4，此时x的取值范围为-3≤x≤1，
故答案为：4，-3≤x≤1；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，
因此数轴上表示x的点在表示1的点右侧，此时x＞1，或在表示-3点的左侧，此时x＜-3，如图所示：
故答案为：x＞1或x＜-3；
（3）当数轴上表示x的点在表示5的点右侧，即x＞5时，有x+1=2（x-5）+3，
解得：x=8，
当数轴上表示x的点在表示1的点右侧5的点左侧，即1＜x＜5时，有x+1=2（5-x）+3，
解得：x=4，
当数轴上表示x的点在表示-1的点左侧，即x＜时，有，
解得：（不符合题意）；
故x的值为：4或8．
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义，数轴上两点距离的计算方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提．
类型一 求两个绝对值的和的最小值
1．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；
（3）求的最小值是_______．
2．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．
（4）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为
3．【阅读】
|5﹣2|表示5与2差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离：
【探索】
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ．
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上 ，其中x的值可以是 ；
（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，符合条件的整数x是 ；
（4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值并尝试用几何意义来解释：如果没有，说明理由．
4．的几何意义表示数轴上a所对应的点与原点的距离，表示数轴上a所对应的点与1所对应的点之间的距离．
情景：
点P为数轴上的一个动点，其所表示的数为a，A、B、C三点表示的数分别为、6、b，点P从原点向数轴的负方向以每秒一个单位长度运动，当到达数轴上时立即以原速返回向沿数轴正方向运动．
点P分别到点A、B的距离之和可以用绝对值表示为：
问题：
(1)表示数轴上a所对应的点与_______所对应的点之间的距离；
(2)P分别到点A、B的距离之和的最小值是_______；
(3)P点到点A、B的距离之和达到最小值时所用时间一共是_______秒：
(4)当b的值是_______时，的最小值是2．
5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；
(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
7．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；
（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4）的最小值_____．
8．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ；
（3）直接写出的最小值为 ；
（4）直接写出的最小值为 ；
（5）简要求出的最小值．
9．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
类型三 利用绝对值的几何意义解绝对值方程
10．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
11．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若，则 ；的最小值是 ．
（2）若，则的值为 ；若，则的值为 ．
（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由．
12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值；
（2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？
（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．
13．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．
（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．
类型四 利用绝对值的几合意义解绝对值不等式
14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
15．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．
例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．
例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|+2|=3的解为 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.
16．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
专题03 绝对值的几何意义
类型一 求两个绝对值的和的最小值
1．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么，两点之间的距离为，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示和-1的两点，之间的距离是______，如果，那么的值为______；
（3）求的最小值是_______．
【答案】（1）3，3，4；（2），或1；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）根据题意及绝对值的几何意义解题，数轴上两点间的距离即是两点表示的数的差的绝对值；
（2）根据绝对值的几何意义解题，数轴上的点x与-1的距离即求x与-1 的差的绝对值，如果，则点x可能在-1的右侧距离-1是2个单位长度，或者点x可能是在-1的左侧距离-1是2个单位长度，据此解题；
（3）将变形成两数差的绝对值形式，再根据绝对值的几何意义解题即可．
【详解】
（1）数轴上，A、B两点之间的距离为，
数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为，
故答案为：3，3，4；
（2）数轴上表示和-1的两点之间的距离为，
如果，则，
，
或
故答案为：或；
（3），其表示的几何意义是：数轴上表示的点x到-1和-2之间的距离和，当时，代数式，则最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查数轴、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于
（3）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值．
（4）若x为有理数，则|x+12|+|x﹣8|的最小值为
【答案】（1）3；5．（2）；（3）6；（4）20．
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式，即可求出距离；
（2）根据两点间的距离公式，即可得到答案；
（3）由绝对值的意义进行化简，即可求出答案；
（4）把|x+12|+|x8|理解为：在数轴上表示x到12和8的距离之和，求出表示12和8的两点之间的距离即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：；
表示3和2两点之间的距离是：；
故答案为：3；5．
（2）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
故答案为：；
（3）∵数轴上表示数a的点位于4与2之间，
∴，
∴；
（4）有最小值．最小值为20，
理由是：∵|x+12|+|x-8|理解为：在数轴上表示x到12和8的距离之和，
∴当x在12与8之间的线段上（即12≤x≤8）时：
即|x+12|+|x-8|的值有最小值，
最小值为：8（12）=20．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
3．【阅读】
|5﹣2|表示5与2差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离：|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，几何意义可以解释为：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离：
【探索】
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ．
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上 ，其中x的值可以是 ；
（3）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，符合条件的整数x是 ；
（4）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，写出最小值并尝试用几何意义来解释：如果没有，说明理由．
【答案】（1）3，4；（2）5或1；（3）﹣3或5；（4）|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值为7，其几何意义就是点x到﹣3的距离与点x到4的距离的和．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴的性质即可求解；
（2）（3）（4）根据数轴的性质和绝对值的几何意义即可求解．
【详解】
解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|﹣2﹣（﹣5）|＝|3|＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|＝|4|＝4；
故答案为：3，4．
（2）等式|x﹣3|＝2的几何意义可以解释为：数轴上表示x的点到表示3的点的距离为2，其中x的值可以是5或1，
故答案为：5或1．
（3）∵x所表示的点到表示4和﹣2的点的距离之和为8，
对P点的位置讨论如下：
①点P在﹣2的左边，
∵﹣2到4的距离为6，
∴点P到﹣2的距离为1，
∴x＝﹣3；
②点P在﹣2与4之间，不符合题意，舍去；
③点P在4的右边，
∵﹣2到4的距离为6，
∴点P到4的距离为1，
∴x＝5，
故答案为﹣3或5．
（4）对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣4|有最小值，最小值为7，
其几何意义就是：|x+3|+|x﹣4|表示点x到﹣3的距离与点x到4的距离的和，其最小值为4﹣（﹣3）＝7．
【点睛】
本题考查绝对值的意义和应用，深刻理解绝对值的意义是解题关键．
4．的几何意义表示数轴上a所对应的点与原点的距离，表示数轴上a所对应的点与1所对应的点之间的距离．
情景：
点P为数轴上的一个动点，其所表示的数为a，A、B、C三点表示的数分别为、6、b，点P从原点向数轴的负方向以每秒一个单位长度运动，当到达数轴上时立即以原速返回向沿数轴正方向运动．
点P分别到点A、B的距离之和可以用绝对值表示为：
问题：
(1)表示数轴上a所对应的点与_______所对应的点之间的距离；
(2)P分别到点A、B的距离之和的最小值是_______；
(3)P点到点A、B的距离之和达到最小值时所用时间一共是_______秒：
(4)当b的值是_______时，的最小值是2．
【答案】(1)-1
(2)8
(3)10
(4)8或4．
【解析】
【分析】
（1）由题目中绝对值的定义直接得出答案即可；
（2）由图直接得出答案即可；
（3）根据题意知当P点在AB之间时，P点到点A、B的距离之和达到最小值，根据P点的运动可知，P点在AB间运动的总路程为10，即可得出运动时间；
（4）根据6到8和4的距离都是2，即可判断当b的值是8或4．
(1)
解：由绝对值的定义知，|a+1|表示数轴上a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离，
故答案为：﹣1；
(2)
解：由图知，当P点不在AB之间运动时，P分别到点A、B的距离之和大于8；当P点在AB之间运动时，P分别到点A、B的距离之和为8，故P分别到点A、B的距离之和的最小值是8；
或当，；当，；当，；P分别到点A、B的距离之和的最小值是8；
故答案为：8；
(3)
解：根据题意知当P点在AB之间时，P点到点A、B的距离之和达到最小值，根据P点的运动可知，P点在AB间运动的总路程为10，速度为每秒一个单位长度，
∴运动时间为10秒，
故答案为：8；
(4)
解：由（2）可知，当P点在CB之间运动时， P分别到点C、B的距离之和的最小，因为最小值是2，所以B、C两点之间距离为2，
∵6到8和4的距离都是2，
∴b的值是8或4，
故答案为：8或4．
【点睛】
本题主要考查绝对值的含义，正确理解绝对值与数轴的联系是解题的关键．
5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．
【答案】（1）5；2；（2）5或；（3）①或8；②，6；③2020．
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；
（2）根据绝对值的定义求解即可；
（3）①利用绝对值的定义可知或，然后进一步计算即可；②的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，然后进一步求解即可.
【详解】
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：；
数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：，
故答案为：5，2；
（2）若，则或，
故答案为：5或；
（3）①若，则或，
∴或，
故答案为：或8；
②∵的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
∴，其中整数有、、0、1、2、3共6个，
故答案为：，6；
③∵是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，
∴当时，有最小值，
此时最小值为：，
故答案为：2020.
【点睛】
本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
类型二 求多个绝对值和的最小值
6．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；
(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；
(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．
【答案】(1)或；数轴上表示数a的点与数2的点之间的距离．
(2)或5
(3)10，
(4)17，
【解析】
【分析】
（1）根据距离公式及定义表示即可；
（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；
（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；
（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．
(1)
解：①在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是 ，
故答案为：；
②∵=|a-(-5)|，
∴在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
故答案为：表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．
(2)
解：∵表示数m到2的距离，画数轴如下：
当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；
当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；
故答案为：-1或5；
(3)
解：∵表示数m与-1，9的距离之和，画数轴如下：
根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，
此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，
∴ ；
故答案为：10、；
(4)
解：根据题意，画图如下，
根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，
此时动点m在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，
∴ ；
故答案为：17、 ．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．
7．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；
（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；
（4）的最小值_____．
【答案】（1）3，3，4；（2），1或-3；（3）点x到的距离与点x到的距离之和，2；（4）2
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；
（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；
（3）根据数轴、绝对值的性质，对x的取值分类计算，即可完成求解；
（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
数轴上表示1和的两点之间的距离是：；
故答案是：3，3，4；
（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是：；
∵=2
∴
∴或
故答案为：，1或-3
（3）表示的几何意义：点x到的距离与点x到的距离之和；
当时，
当时，
当时，
∴的最小值为：2
故答案为：点x到的距离与点x到的距离之和，2；
（4）结合（3）的结论，当时， 的最小值为：2
∴
当时，取最小值，即
∴
∴的最小值为：2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．
8．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：
（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为 ；
（3）直接写出的最小值为 ；
（4）直接写出的最小值为 ；
（5）简要求出的最小值．
【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）得出的几何意义，从而得到最小值；
（4）得出的几何意义，从而得到最小值；
（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是，
故答案为：6；
（2）由题意可得：
，
则x的值为：-3或1；
（3）∵表示数轴上表示点x到-2和4两点的距离和，
∴当x在-2到4之间时，有最小值，最小值为6；
（4）表示数轴上表示点x到-2和1和4三点的距离和，
∴当x与1重合时，的值最小，最小值为6；
（5）的中间一项是|x-50|，
当x=50时，有最小值，
∴
=
=49+48+47+…+1+0+1+2+…+49
=2×（1+2+…+49）
=2450．
【点睛】
本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．
9．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是 ．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（4）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（5）结合数轴求的最小值为 ，此时符合条件的整数x为 ．
（6）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．
【解析】
【分析】
（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；
（2）利用两点距离公式|x-(-1)|计算即可；
（3）分当x≤-1当-1＜x≤2，当2＜x≤3，当x≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；
（4）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；
（5）分当x≤-2，当-2≤x≤0， 当0≤x≤1， 当1≤x≤4， 当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；
（6）分区间化去绝对值当x≤1，，当1≤x≤3， ，当x≥3，即可．
【详解】
解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，
故答案为15；
（2）|x-(-1)|=|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）当x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=- x-1 –x+2- x+3=-3x+4≥7，
当-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1–x+2- x+3=- x+6≥4，
当2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2- x+3= x+2＞4，
当x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|= x+1+x-2+ x-3=3 x-4＞5，
式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，
故答案为4；
（4）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为7，符合条件的整数x为0，1，
故答案为：7；0,1；
（5）当x≤-2，，
当-2≤x≤0，
当0≤x≤1，
当1≤x≤4，
当x≥4，|
∴的最小值为16，符合条件的整数x为1，
故答案为16；1；
（6）当x≤1，，
当1≤x≤3， ，
当x≥3，，
的最小值为-2，最大值为2．
故答案为-2；2．
【点睛】
本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．
类型三 利用绝对值的几何意义解绝对值方程
10．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．
①解方程|x| = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x=±2．
②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x= 3或x = -1．
知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解
（1）方程|x|= 5的解
（2）方程| x-2|= 3的解
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
（2）由阅读材料中的方法求出x的值即可；
【详解】
（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为
∴方程的解是
（2）∵在方程中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．
∴方程的解是或．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．
11．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若，则 ；的最小值是 ．
（2）若，则的值为 ；若，则的值为 ．
（3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时
【解析】
【分析】
（1）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧的取值即可得到答案；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；
（3）分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或；
设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，
如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，；
当P在A点左侧时；
同理当P在B点右侧时；
∴的最小值为5，
故答案为：5或-1；5；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时
∵，
∴当P在A点左侧时即，
∴；
同理当P在B点右侧时即，
∴；
∴当时，或4；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时，
∵，
∴，
解得符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
当时
∵，
∴，
解得不符合题意；
∴综上所述，当，或；
故答案为：或4；或；
（3）当时，
∴，
当时，
∴，
当时
∴，
当时
∴，
∴此时
∴综上所述，的最小值为17，此时．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义．
12．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点A、点B的距离相等，直接写出x的值；
（2）当点P以每秒3个单位长的速度从数轴的原点出发，几秒后可使PB＝3AB？
（3）利用数轴，根据绝对值的几何意义，找出满足|x+1|+|x﹣3|＝6的所有x的值．
【答案】（1）x=1；（2）若向x轴负向运动，3s后可使PB＝3AB；若向x轴正向运动，5s后可使PB＝3AB；（3）x=-2或4．
【解析】
【分析】
（1）点P到点A、点B的距离相等，点P必在A、B中间；
（2）先求出使PB＝3AB的P点，再用距离除以速度；
（3）找到与A、B两点距离之和为6的点．
【详解】
解：（1）到点A、点B的距离相等的点位于A、B的中点，即x=1的点；
（2）若P向数轴负方向运动，
使PB＝3AB，AB=4
则PB=12
所以P点对应的数是3-12=-9，
从原点到-9对应点的距离是9，P移动的速度是3个单位/s
所以到达-9处需要时间=；
若P向数轴正方向运动，
使PB＝3AB，AB=4
则PB=12
所以P点对应的数是3+12=15
从原点到15对应点的距离是15，P移动的速度是3个单位/s
所以到达15处需要时间=．
综上，当以数轴负向运动时，3秒后可使PB＝3AB；当以数轴正向运动时，5秒后可使PB＝3AB．
（3）由题可得，要找出与A、B两点距离之和为6的点，因为AB=4，所以必定在线段AB两侧
在线段AB右侧的点为x=4的点，与B距离为1，与A距离为5；
在线段AB左侧的点为x=-2的点，与A距离为1，与B距离为5．
【点睛】
这道题考察的是数轴上两点间距离的概念和绝对值的几何意义．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．
（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和．
（3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）时，有最小值7．
【解析】
【分析】
（1）根据题意和数轴上两点间的距离解答即可；
（2）等式=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，再结合题意可确定数x在﹣2与5之间，进而可确定整数x的值，然后求和计算即可；
（3）式子|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|表示数a的点与表示数﹣3、1、4的点的距离之和，由于数1在﹣3与4之间，可先考虑求|a+3|+|a﹣4|的最小值，易知数轴上当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，故当表示数a的点在表示数﹣3和4之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时只要求|a﹣1|的最小值即可，显然当a＝1时满足要求，再把a＝1代入原式计算即可．
【详解】
解：（1）因为点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，
所以点A到B的距离为，点A到C的距离为，
所以A到B的距离与A到C的距离之和是；
（2）因为=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，且数轴上﹣2与5的两点间的距离为7，
所以数x在﹣2与5之间，
因为x为整数，
所以x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
它们的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5=12；
（3）因为|a+3|+|a﹣4|表示数a的点到表示数﹣3和4的点的距离之和，
所以当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，此时|a+3|+|a﹣4|的值均大于7，
所以当表示数a的点在表示数﹣3和4的点之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时|a+3|+|a﹣4|=7；
又因为当a=1时，|a﹣1|的值最小，且数轴上表示数1的点在表示数﹣3和4的点之间，
所以当a＝1时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，
此时|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|=4+0+3=7．
即时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|有最小值7．
【点睛】
本题以数轴为载体，主要考查了绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离和有理数的加法运算，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
类型四 利用绝对值的几合意义解绝对值不等式
14．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；
(3)|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．
【详解】
(1)方程|x＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；
(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x对应点在３的右边或－４的左边，若x对应点在３的右边，由图可以看出x≥４；同理，若x对应点在－４的左边，可得x≤－５，即可求得x≥4或x≤－5．
(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的点到数轴上与3和－4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．
故a≤7．
【点睛】
此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.
15．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．
例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．
例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|+2|=3的解为 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.
【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或 .
【解析】
【分析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3；（2）在数轴上找出|－2|=6的解；即在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数；（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．再根据数轴上的位置分析出不等式的解集;（4）由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
【详解】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3
解得或x=－5．
（2）在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，
∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．
（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．
∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．
若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，
∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，
∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．
（4）在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．
若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，
∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或 .
【点睛】
考核知识点：绝对值的几何意义的运用.根据材料，理解绝对值的几何意义是解题关键.
16．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究：
① |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
② 满足|x－1|＋|x＋3|＞4的x的取值范围为_______．
（3）求满足|x＋1|＝2|x－5|＋3的x的值．
【答案】（1）－5或－1；（2）①4，－3≤x≤1；②x＜－3或x＞1；（3）x＝4或8．
【解析】
【分析】
（1）根据|x+3|=2所表示的意义，分两种情况进行解答即可；
（2）①|x-1|+|x+3|表示数轴上表示x的点，到表示1和-3的点距离之和，使距离之和最小，x在1与-3之间即可，即可得出答案；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，根据图象法可得解集；
（3）分三种情况进行解答，即x＞5时，1＜x＜5时，x＜时，分别列方程求解即可．
【详解】
解：（1）|x+3|=2表示数轴上到表示-3的点距离为2的点 所表示的数，
因此在-3的左侧时，此数为-5，在-3的右侧时，此数为-1，
故答案为：-5或-1；
（2）①|x-1|+|x+3|表示：数轴上表示x的点，到表示1的点和表示-3的点距离之和，
当x在1与-3之间时，这个距离之和最小，最小值为1-（-3）=4，此时x的取值范围为-3≤x≤1，
故答案为：4，-3≤x≤1；
②|x-1|+|x+3|＞4表示的意义：数轴上表示x的点，到表示1和-3点的距离之和大于4，
因此数轴上表示x的点在表示1的点右侧，此时x＞1，或在表示-3点的左侧，此时x＜-3，如图所示：
故答案为：x＞1或x＜-3；
（3）当数轴上表示x的点在表示5的点右侧，即x＞5时，有x+1=2（x-5）+3，
解得：x=8，
当数轴上表示x的点在表示1的点右侧5的点左侧，即1＜x＜5时，有x+1=2（5-x）+3，
解得：x=4，
当数轴上表示x的点在表示-1的点左侧，即x＜时，有，
解得：（不符合题意）；
故x的值为：4或8．
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义，数轴上两点距离的计算方法，理解数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提．
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