中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第9讲一元二次方程的解法及应用(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第9讲一元二次方程的解法及应用(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，用适当的方法解下列方程等内容，欢迎下载使用。
(全国通用版)
第9讲一元二次方程
核心考点1：一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。
一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
核心考点2：一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法：
（1）整理成一般式，并化二次项系数为1；
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法：
（1）把方程化为一般形式，即；
（2）确定的值；
（3）求出的值，判断有解无解；
（4）将的值代入求解即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
核心考点3：一元二次方程根的情况判断
1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
核心考点4：一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，，
则，．
核心考点5：一元二次方程的应用
1、增长率问题
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3．面积问题
（1）类型1：阴影部分的面积为．
（2）类型2：空白部分的面积为．
（3）类型3： 4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
一元二次方程是非常重要的工具，考查它的题型虽然不多，但都是非常重要的。主要题型有对一元二次方程解法的考查，对其应用的考查，即应用题，对根与系数关系的考查等等。
——考查一元二次方程的概念
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义判断．
【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确；
B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误；
C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误；
D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误；
故选：A．
【反思】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键．
——考查配方法
2．将一元二次方程配方成的形式，则的值为________．
【分析】先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案．
【详解】解：，
移项得：，
，
，
，，
，
故答案为：7．
【反思】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．
3．代数式的最小值为________．
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，然后利用完全平方式的非负性分析其最值．
【详解】解：
∵
∴
∴代数式的最小值为1．
故答案为：1．
【反思】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．
4．已知实数，满足，则代数式的最小值等于__________．
【答案】
【分析】将代入代数式，根据配方法即可求解．
【详解】解：∵
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【反思】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
——根据根的判别式求参数范围
5．关于的方程有实数根，则的取值范围是_________．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，通过确定判别式的符号即可得到答案．
【详解】解：关于的方程有实数根，
，
即，解得m≤1，
故答案为：m≤1．
【反思】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系．
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵方程是一元二次方程，
∴，
∴a的范围是：且，
故答案为：且．
【反思】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是要考虑两方面：一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．
——考查根与系数关系
7．一元二次方程的两个根为，，则的值为______．
【分析】根据一元二次方程的根的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【反思】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
——考查一元二次方程的解法
8．用适当的方法解下列方程：
(1)(2)
(3)(4)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得
（4）解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得．
【反思】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
——考查一元二次方程的应用
9．据统计，在2022年新冠疫情期间，某种口罩的价格为3元/个，经过两次下调后价格为0.75元/个．
(1)求两次价格下调的平均百分率；
(2)求第三次下调后口罩的价格．
【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x.
由题意，得
．
解这个方程，得，（不符合题意），
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是．
（2）解：预计第三次下调后的销售单价为，
答：预计第三次下调后的销售单价为0.375元．
【反思】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
12．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同．
(1)求平均每次下降的百分率：
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32元，列出方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，则每天销售千克，再根据利润每千克利润销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：，
解得：（舍）或，
∴每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价x元，由题意，得：
，
整理，得．
解得：，．
∵要尽快减少库存，
∴符合题意，
∴该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元，
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【反思】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
13．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；
(2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能赢利1200元；
(3)商家能达到平均每天赢利1800元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）利用每天销售量增加每件童装降价的钱数，可用含x的代数式表示出每天的销售量；利用每件的销售利润售价进价，即可用含x的代数式表示出每件的销售利润；
（2）利用总利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）利用总利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即不可能每天盈利1800元．
【详解】（1）解：依题意得：每天销售量增加件，每件盈利元．
故答案为：；；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
（3）解：不可能每天盈利1800元，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
即不可能每天盈利1800元．
【反思】本题考查了一元二次方程的应用、列代数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每天的销售量及每件的销售利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”．
14．△ABC中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；
（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；
（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，
故答案为：；
（2），
∴△PBQ是直角三角形，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，，
或时，的长度等于；
（3）由题意得：，
即，
解得：，，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，
即，
解得，
时，的面积等于．
【反思】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有意义．
15．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．
(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．
(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？
(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．
（3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴；
故答案为，；
（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．
则，，作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：或，
答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；
（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：
当四边形为矩形，则，
即，
解得：．
答：当、出发3秒时四边形为矩形．
【反思】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．
16．如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒．
(1)当时，△DPQ的面积为．
(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由；
(3)运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值．
【分析】（1）根据运动速度表示出长度，然后计算出三个直角三角形面积，再由矩形面积减去三个直角三角形面积就能得到△DPQ的面积；
（2）根据（1）总得出的面积计算方式，列出关于的方程，通过判断方程有无解来即可判断；
（3）△DAP是直角三角形如果它的三个顶点都在圆上，可得是直径，也要在圆上，那么△DQP也是直角三角形，通过勾股定理用表示出，再由列出方程求解即可.
【详解】（1）由题意得，
，
，，
（2）根据题意得
整理得
，
方程无实数根
∴△DPQ的面积不可能为
（3）
、、三点在以为直径的圆上
若点也在圆上，则
当
解得
或时、、、四点恰好在同一个圆上．
【反思】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及一元二次方程的应用，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是根据勾股定理列出方程．
——将题目归类，找到各种类型问题的解决方法
现在流行一个词“刷题”，其实“刷题”也要讲究技巧的，盲目地刷题只会浪费时间，学习效果很差，我们只有将题目归类，根据典型例题的各种解法，然后再去刷题，将各种类型的题练习一下，这样才能收到良好的学习效果，而且这样做还能节约大量的时间
秘籍八：将题目归类，找到各种类型问题的解决方法！
一、选择题
1．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．B．2
C．D．以上选项都不对
2．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
4．方程的根是（ ）
A．B．C．D．没有实数根
5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．一元二次方程的解为（ ）
A．B．，C．，D．
8．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0D．没有实数根
9．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是( )
A．B．且
C．D．且
10．为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．方程的根是______．
14．关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______．
15．一元二次方程的解为______．
16．方程的根是__________．
17．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________
18．如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________．
三、解答题
19．解方程：
(1)；(2)．
20．解方程
(1)(2)
21．2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形的面积为？，求的值；
(3)当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少平方米？
22．如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题：
(1)当点F运动到中点时，求的长；
(2)连接，当的面积为时，求t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．无论x取何值，代数式的值（ ）
A．总大于8B．总不小于8C．总不小于11D．总大于11
4．解方程）最适当的方法是（ ）
A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
6．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cmB．8 cmC．6 cmD．4 cm或8 cm
8．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，则有一种围法B．若，则有一种围法
C．若，则有两种围法D．若，则有一种围法
二、填空题
9．用求根公式解方程 ，求得 _________．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．
11．已知是一元二次方程的两根，则 _____．
12．如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为______．
13．某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有___________人参加聚会．
14．如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为 _____．
三、解答题
15．解方程：
(1)；(2)
16．解方程：
(1)（公式法）(2)
17．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
18．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
(1)如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于？
(2)如图2，以Q为圆心，为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围．
19．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米．设，矩形的面积为．
(1)可表示为________；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
20．如图所示，△ABC中，，，.点从点开始沿AB边向以的速度移动，点从点开始沿BC边向点以的速度移动，当其中一个点先到达终点时，另一个点也随之停止运动，若，分别从A，B同时出发，记运动时间为则：
(1)当t为何值时，使△PBQ的面积等于？
(2)线段___________；（用含t的代数式表示）
(3)求的取值范围.
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第9讲一元二次方程
题组特训详解
选择题
1．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．B．2
C．D．以上选项都不对
【详解】∵是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
2．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【详解】，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
【详解】把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
4．方程的根是（ ）
A．B．C．D．没有实数根
【详解】，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法－直接开平方法是解题的关键．
5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
6．已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.
7．一元二次方程的解为（ ）
A．B．，C．，D．
【详解】，
∴，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
8．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0D．没有实数根
【详解】∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
9．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是( )
A．B．且
C．D．且
【详解】依题意，且，
解得：且，
故选：B．
10．为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】设每季度平均每周作业时长的下降率为a，
∵2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，
∴2021年第四季度平均每周作业时长为分钟，
2022年第一季度平均每周作业时长为分钟，
∴，
故选：C．
11．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【详解】由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即，
，
解得或，
由于，
．
，
∵点为的中点，
．
故选：A．
12．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（ ）
A．B．
C．D．
【详解】设道路的宽为米，依题意得，
故选：C．
二、填空题
13．方程的根是______．
【详解】原方程两边直接开平方可得：或者，
∴，，
故答案为：，．
14．关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______．
【详解】由题意得： ，
∴，
∴，
∴，，
∵关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，
∴，
解得：
∴的取值范围是：
故答案为：
15．一元二次方程的解为______．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
16．方程的根是__________．
【详解】，
，
解得：，
故答案为：．
17．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________
【详解】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
18．如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________．
【详解】如图，过点M作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
三、解答题
19．解方程：
(1)；(2)．
【详解】（1）
即
∴，
解得：，
（2）
∵，，
∴，
解得：，
20．解方程
(1)(2)
【详解】（1）∵，
，
∴，
∴，．
（2）∵，
，
，
∴或，
解得：，．
21．2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形的面积为？，求的值；
(3)当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少平方米？
【详解】（1）∵木栏总长米，两处各留米宽的门，设矩形的一边长为米，
∴长为：（米）．
故答案为：．
（2）根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴不符合题意，舍去，
∴的值为．
（3）设矩形的面积为，
则，
∵，
∴时，的值最大，最大值为，
∴当为米时，矩形的面积最大，最大面积为平方米．
22．如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题：
(1)当点F运动到中点时，求的长；
(2)连接，当的面积为时，求t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）过点E作于M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作，交的延长线于G，
∵，，
四边形是矩形，
∴（cm），
∵，
∴，
解得，
∴当时，的面积为；
（3）存在．
分两种情况：
①若时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②当时，
过点E作，过点P作，交的延长线于G，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠EFM+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠EFM=∠FPG，
又∵∠EMF=∠PGF，
∴△EMF∽△FGP，
∴，
∴，
∴12−3t52=9+9t5×16−9t5，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，或时，为直角三角形．
过关检测详细解析
一．选择题
1．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵是关于的方程的一个根
∴
∴
∴
故选：B．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
即
∴
故答案为：A．
3．无论x取何值，代数式的值（ ）
A．总大于8B．总不小于8C．总不小于11D．总大于11
【详解】，
∵，
∴代数式的值总不小于8，
故选：B．
4．解方程）最适当的方法是（ ）
A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法
【详解】
可化为：
故选：D．
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
故选：B．
6．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【详解】设有x人参加聚会，
由题意得，．
故选B．
7．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cmB．8 cmC．6 cmD．4 cm或8 cm
【详解】
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.
8．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，则有一种围法
B．若，则有一种围法
C．若，则有两种围法
D．若，则有一种围法
【详解】设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
二、填空题
9．用求根公式解方程 ，求得 _________．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．
【详解】由题意把代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
11．已知是一元二次方程的两根，则 _____．
【详解】∵是一元次方程的两根，
∴，，
∴
．
故答案为：．
12．如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为______．
【详解】设道路的宽为，
由题意得：，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴道路的宽为
故答案为：2．
13．某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有___________人参加聚会．
【详解】设有x个人参加聚会，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为：．
14．如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为 _____．
【详解】设金色纸边的宽为，
，
整理得：．
解得（舍）．
答：金色纸边的宽度为．
故答案为：8．
三、解答题
15．解方程：
(1)；(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16．解方程：
(1)（公式法）(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
即；
（2）
∴，
∴，
即，
解得：．
17．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
【详解】由题意，得
解得
又
解得
故答案为：12．
18．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
(1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？
(2)如图2，以Q为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围．
【详解】（1）∵当运动时间为t秒时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∵△PBQ的面积等于，
∴．
∴．
解得：，．
答：当t为1秒或5秒时，的面积等于．
（2）解①由题意可知圆Q与不相切．
如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．
∵，
∴．
∴．
∴为圆Q的切线．
当正好与四边形的边相切时，如图2所示．
由题意可知：．
在中，由勾股定理可知：，即．
解得：，（舍去）；
综上所述可知当或时，与四边形的一边相切．
②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；
如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点．
由题意可知：．
由勾股定理可知：，．
∵，
∴，即．
整理得：．
解得：，（舍去）。
∴当时，与四边形有三个．
19．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米．设，矩形的面积为．
(1)可表示为________；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
【详解】（1）根据题意得：，
∴，
∴米，
则可表示为：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是108；
（3）能
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米．
20．如图所示，△ABC中，，，.点从点开始沿AB边向以的速度移动，点从点开始沿BC边向点以的速度移动，当其中一个点先到达终点时，另一个点也随之停止运动，若，分别从A，B同时出发，记运动时间为则：
(1)当t为何值时，使△PBQ的面积等于？
(2)线段___________；（用含t的代数式表示）
(3)求的取值范围.
【详解】（1）∵AB=6，AP=t，BQ=2t，
∴BP=6-t，
∵△ABC中，，
∴，
∵，
∴，，
∵BC=8，
∴t≤4，
∵t≥0，
∴0≤t≤4，
∴t=2或t=4；
（2）；
故答案为：
（3）∵，
∴5＞0，对称轴为直线t=1.2，
∴当t=1.2时，有最小值28.8；
当t＜1.2时，随t的增大而减小，
∵0≤t≤4，
∴当t=0时，有最大值36；
当t＞1.2时，随t的增大而增大，
∴当t=4时，有最大值68；
∵36＜68，
∴．