常德市2025届高三第一次月水平检测 数学试卷（含答案）

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9．CD 10．BC 11．ABD 12． 13． 14．
11．【详解】对于A，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以A正确，
对于B，由选项A可知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以B正确，
对于C，当时，，当时，，当时，，
所以当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，综上，的值域为，所以有最小值0，所以C错误，
对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，，，
所以的大致图象如图所示
由，得，令，则，
由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，
若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围是，所以D正确，故选：ABD
14．【详解】由在上满足的正整数至多有两个，即在上满足的正整数至多有两个，设，，则，设，，
则，，设，，则恒成立，则在上单调递增，即，即，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；
所以当时，取最小值，又在上满足的正整数至多有两个，则，
即，故答案为：.
15．(1)或.(2)
【详解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.
∵，∴，∵，∴或.
（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.∴由正弦定理得.
∴，.∴，
.
又∵为锐角三角形，∴，∴，得，.
∴，，∴，又∵，∴.
∴的周长的取值范围为.
16．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：连接.由，得，又，则有，
正方体中，平面，平面，得，
又正方形中，，，平面，所以平面，
由平面，得.又，所以.
（2），，，，
，有，
，∴.
（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，当时，有，则，，.
设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设为平面的一个法向量，∴，
令，得，可得.设所成的角为∴.
17．(1) (2)
【详解】（1）数列满足，当时，，
两式相减可得，，所以，当时，也满足上式，所以；
（2）由（1）得，所以，则，
两式相减的，，所以．
(1) (2)是定值，定值为
（1）由题意可得，解得 故椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，
则直线DA的方程为．
联立，整理得 则，即．
代入，得． 同理可得．
因为
所以直线MN的斜率为定值，且定值为．
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，所以，
因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，
所以，解得，又因为，即有，
整理得，代入，可得，解得，
又因为，所以可得，经检验，符合题意．
（3）由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，
令，则有在上恒成立，易得，
因为，所以，令，对称轴，
①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，
所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．
②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，
所以，与“在上恒成立”矛盾，
综上，的取值范围是．