2024-2025学年安徽省池州市青阳四中等校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省池州市青阳四中等校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. y=3xB. y=x2
C. y=−2xD. y=x2−x(x−1)
2.抛物线y=x2+3的对称轴是( )
A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线y=−x
3.下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( )
A. y=−x+1B. y=x+1C. y=x2+1D. y=−x2+1
4.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y=3x2，则平移前的抛物线解析式为( )
A. y=3(x+2)2+3B. y=3(x−2)2+3
C. y=3(x−2)2−3D. y=3(x+2)2−3
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：
根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c=0的一个近似解x1的范围是( )
A. −37.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度ℎ(单位：米)与经过的时间t(单位：秒)满足函数关系式ℎ=−5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是( )
A. 4秒B. 3秒C. 2秒D. 1秒
8.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
9.某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在12：20，13：00，14：10这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为0.49m，0.35m，0.44m.根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是( )
A. 12：20前，直杆的影子逐渐变长
B. 13：00后，直杆的影子逐渐变长
C. 在13：00到14：10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35m
D. 在12：20到13：00之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线y=−3x2的开口______.(填“向上”或“向下”)
12.若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为______．
13.我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax(其中a≠b)叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=______．
14.已知二次函数y=−x2+mx+n．
(1)当m=2，n=1时，该函数图象的顶点坐标为______；
(2)当x<0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，则m+n= ______．
三、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知y=(m+3)xm2+2m−1+(1−m)x−5是y关于x的二次函数，求m的值．
16.(本小题8分)
已知，抛物线的顶点坐标为(2,1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的表达式．
17.(本小题8分)
某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x=20%时，今年的总产值为多少万元？
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−4=0．
(1)若x=2是该方程的一个根，求m值；
(2)求出抛物线y=mx2−2mx+m−4的顶点坐标．
19.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如表：
(1)求这个二次函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(3)当x的取值范围为______时，y>−3．
20.(本小题10分)
已知函数y=2(x−m)(x−m−3)(m为常数)．
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若△ABC的面积为12，求m的值．
21.(本小题12分)
某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
(1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
22.(本小题12分)
为研究某降糖药物的降糖效果，医疗机构对糖尿病患者服用该药物1个小时后的血糖水平进行连续监测，绘制了血糖浓度(单位：mml/L)波动图象.其中1～4ℎ时图象近似满足抛物线y=32x2−12x+28.6的解析式，4ℎ后近似满足直线y=25x+b解析式.请结合图象回答下列问题：
(1)第4ℎ血糖浓度为多少？
(2)若血糖浓度不高于6.1mml/L时为正常，求服用该药物的患者血糖浓度控制在正常值的时长．
23.(本小题12分)
如图，反比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图象交于A(1,3)和B(−1.5,n)两点．
(1)求k，n的值；
(2)求出关于x的不等式ax+b≤kx的解集：
(3)在x轴上找出一点M使MA+MB最小，并求点M坐标；在x轴上画出点N，使NA−NB最大，并求点N坐标．
答案解析
1.B
【解析】解：A、y=3x，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y=x2，是二次函数，故此选项符合题意；
C、y=2x，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y=x2−x(x−1)=x，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
直接利用二次函数解析式的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)进行分析得出答案．
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2.B
【解析】解：∵y=x2+3，
∴抛物线顶点坐标为(0,3)，对称轴为y轴，
故选：B．
由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．
3.A
【解析】解：A、y=−x+1是一次函数，∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
B、y=x+1是一次函数，∵k=1>0，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意；
C、y=x2+1是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，∴当x<0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、y=−x2+1是二次函数，开口向下，对称轴是y轴，∴当x>0时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意．
故选：A．
根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握一次函数、二次函数的性质是解答此题的关键．
4.B
【解析】解：令x2+4x+4=0，
∵Δ=42−4×1×4=0，
∴抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数是1．
故选：B．
令x2+4x+4=0，求出Δ的值，判断出其符号即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答此题的关键．
5.C
【解析】解：y=3x2，此抛物线的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向下平移3个单位再向右平移2个单位所得对应点的坐标为(2,−3)，
所以原抛物线解析式为y=3(x−2)2−3．
故选：C．
利用反向平移解决问题，先确定y=3x2的顶点坐标为(0,0)，再把点(0,0)反向平移得到对应点坐标(2,−3)，然后根据顶点式写出原抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6.C
【解析】解：当x=−1时，y=−1；当x=0时，y=1，
∴方程的一个近似根x的范围是−1故选：C．
根据表格中的数据可得出“当x=−1时，y=−1；当x=0时，y=1”由此即可得出结论．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
7.B
【解析】解：∵ℎ=−5t2+15t，
∴当ℎ=0时，即：0=−5t2+15t，
解得：t=0或t=3，
∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒．
故选：B．
令ℎ=0，求出t的值即可．
本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
8.B
【解析】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，
∴四边形PMCQ是矩形，
∴MC=PQ，
∵AB=10，BC=5，CD=6，
∴MA=MC=12AC=12(AB+BC)=152，BC=CD=12BD=12(CD+BC)=112，
∴MN=AD−AM−CD=(AB+BC+CD)−AM−CD=21−112−152=8，
∴PQ=8，
故选：B．
分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C，得四边形PMCQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
9.C
【解析】解：以12：00为原点，以时间为x轴，影长为y轴，建立平面直角坐标系，画出过题中三点的二次函数的简图，如图所示，
由图得，12：20前，直杆的影子随时间的增加而逐渐变短，故A错误；
13：00后，直杆的影子先变短后边长，故B错误；
在13：00到14：10之间，还有某个时刻直杆的影长也为0.35m，故C正确；
在13：00到14：10之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误．
故选：C．
以12：00为原点，以时间为x轴，影长为y轴，建立平面直角坐标系，画出过题中三点的二次函数的简图，依图依次判断即可．
本题考查了二次函数的图象及性质，结合题意画出简图并依照图象判断结论是本题的解题关键．
10.A
【解析】解：A、由抛物线可知，a<0，x=−b2a<0，得b<0，由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故本选项错误．
故选：A．
本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
11.向下
【解析】解：∵抛物线y=−3x2，a=−3<0，
∴抛物线y=−3x2的开口向下，
故答案为：向下．
根据函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数图象开口向下．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12.x<1或x>3
【解析】解：由函数图象可知，
当x<1或x>3时，
二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，
所以关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为：x<1或x>3．
故答案为：x<1或x>3．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题考查二次函数与不等式(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
13.−2
【解析】解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x，
∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同，
∴−b4=−22b，
解得b=−2或2，
∵互为交换函数a≠b，
故答案为：−2．
根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x轴对称，从而得到关于b的方程，可以解答本题．
本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．
14.(1,2) −1
【解析】解：(1)当m=2，n=1时，
y=−x2+2x+1=−(x2−2x)+1=−(x2−2x+1−1)+1=−(x−1)2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为(1,2)，
故答案为：(1,2)；
(2)∵当x<0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，且a=−1<0，
∴对称轴在y轴左侧，
∴m<0，
n=3，4×(−1)n−m24×(−1)=7，
∴m=−4，
∴m+n=−1，
故答案为：−1．
(1)将m=2，n=1 代入，再用配方法求出顶点坐标；
(2)根据题意得出函数于y轴交点纵坐标是3，定点纵坐标是7，求得m和n的值．
本题考查了二次函数的基本性质，掌握顶点坐标公式是解题的关键．
15.解：由题意得，m2+2m−1=2，
解得m=1或−3，
∵m+3≠0，
∴m≠−3，
∴m的值为1．
【解析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案．
本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是关键．
16.解：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，
∵(0,3)在抛物线上，
∴3=4a+1，解得a=12，
∴y=12(x−2)2+1，整理成一般式为：y=12x2−2x+3．
∴这条抛物线的表达式为：y=12x2−2x+3．
【解析】设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，代入(0,3)求出a=12，再化成一般式即可．
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，设出顶点式是解答本题的关键．
17.解：(1)依题意得：y=10(1+x)(1+x)，
即y=10(1+x)2．
(2)当x=20%时，y=10×(1+20%)2=14.4．
答：当x=20%时，今年的总产值为14.4万元．
【解析】(1)利用今年的总产值=前年生产总值×(1+去年比前年的年增长率)×(1+今年比去年的年增长率)，即可找出y关于x的函数关系式；
(2)代入x=20%，求出y值即可得出结论．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及代数式求值，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(2)代入x=20%，求出y值．
18.解：(1)把x=2代入方程mx2−2mx+m−4=0得，
4m−4m+m−4=0，
解得m=4；
(2)∵y=mx2−2mx+m−4=m(x−1)2−4，
∴抛物线y=mx2−2mx+m−4的顶点坐标是(1,−4)．
【解析】(1)把x=2代入方程mx2−2mx+m−4=0即可求得m的值；
(2)把解析式化成顶点式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，二次函数的性质，能够明确方程解的概念、能够把解析式化成顶点式是解题的关键．
19.−3【解析】解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，
把(1,1)代入得1=a×2×(−2)，
解得a=−14，
∴二次函数的表达式为y=−14(x+1)(x−3)，
即y=−14x2+12x+34；
(2)如图，抛物线的顶点坐标为(1,1)，
(3)∵y=−3时，x=−3或x=5，
∴当−3−3．
故答案为：−3(1)设交点式为y=a(x+1)(x−3)，然后把(1,1)代入求出a即可；
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)先利用对称性确定函数值为−3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象．
20.解：(1)∵y=2(x−m)(x−m−3)即y=2x2−2(2m+3)x+2m2+6m，
∴当y=0时，即2x2−2(2m+3)x+2m2+6m=0，
∴Δ=b2−4ac=[−2(2m+3)]2−4×2×(2m2+6m)=36>0，
∴该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)∵y=2(x−m)(x−m−3)即y=2x2−2(2m+3)x+2m2+6m，
∴当y=0时，即2(x−m)(x−m−3)=0，
∴x=m或x=m+3，
当x=0时，y=2m2+6m，
∴设A(m,0)，B(m+3,0)，C(0,2m2+6m)，
∴AB=3，
∵△ABC的面积等于12，
∴12×AB×|yC|=2，即12×3×|2m2+6m|=12，
∴m2+3m=4①或m2+3m=−4②，
∴解①得m=−4或m=1，方程②无解．
【解析】(1)令y=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可证得结论；
(2)令y=0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的坐标，然后令x=0，得到点C的坐标，最后利用三角形面积公式列方程求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.解：(1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，
∴24x+20y=720010x+10y=3200．
∴x=200y=120．
答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元．
(2)由题意，设A种客房每间定价为m元，
∴W=m(24−m−20010)=−110(m−220)2+4840．
∵−110<0，
∴当m=220时，W取最大值，最大值为4840．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．
【解析】(1)依据题意，设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元，进而建立方程组24x+20y=720010x+10y=3200，计算即可得解；
(2)依据题意，设A种客房每间定价为m元，从而可得W=m(24−m−20010)=−110(m−220)2+4840，再结合二次函数的性质即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.解：(1)将x=4代入y=32x2−12x+28.6得：
y=32×42−12×4+28.6=4.6，
答：第4ℎ血糖浓度为4.6mml/L．
(2)将y=6.1代入y=32x2−12x+28.6得：
32x2−12x+28.6=6.1，
解得x=3或x=5>4(不符合题意，舍去)，
由二次函数的性质可知，当3≤x≤4时，4.6≤y≤6.1，血糖浓度正常，
将(4,4.6)代入y=25x+b得：25×4+b=4.6，
解得b=3，
则直线的解析式为y=25x+3，
将y=6.1代入y=25x+3得：25x+3=6.1，
解得x=7.75，
由一次函数的性质可知，当4所以7.75−3=4.75(ℎ)，
答：服用该药物的患者血糖浓度控制在正常值的时长为4.75ℎ．
【解析】(1)将x=4代入抛物线的解析式求解即可得；
(2)先求出在x≤4条件下，当y=6.1时，x的值，再求出直线的解析式，求出在x>4条件下，当y=6.1时，x的值，然后根据二次函数与一次函数的性质求解即可得．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
23.解：(1)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx上，代入得：3=k1，
∴k=3，
∴反比例函数的表达式为：y=3x
又∵点B(−1.5,n)也在反比例函数y=kx上，代入得：n=3−1.5，
∴n=−2．
(2)由(1)得：反比例函数与一次函数的图象交于A(1,3)和B(−1.5,−2)，
由图象可得：ax+b≤kx的解集为：反比例函数在一次函数上方部分的x的取值范围，
∴x≤−1.5或0(3)连接A、B，交x轴于点M，如图：

∵A、B两点在x轴的两侧，
∴当A、B、M三点共线时，MA+MB最小，
∴点M为直线AB与x轴的交点，
设直线AB的表达式为：y=kx+b，
∵A(1,3)，B(−1.5,−2)，
∴k+b=3−1.5k+b=−2
解得：k=2b=1
∴直线AB的表达式为：y=2x+1，
∴当y=0时，x=−12
∴M(−12,0)；
过点B做关于x轴对称点B1，连接A、B1交x轴于点N，如图：

∴此时NB=NB1，则NA−NB=NA−NB1有最大值，
∵B(−1.5,−2)，且B，B1关于x轴对称，
∴B1(−1.5,2)
∵A(1,3)，
设直线AB1的表达式为：y=kx+b，
∴k+b=3−1.5k+b=2，
解得：k=25b=135，
∴直线AB1的表达式为：y=25x+135，
∴当y=0时，x=−132，
∴N(−132,0)．
【解析】(1)将点A(1,3)代入反比例函数y=kx中，可得到k值，再将点B(−1.5,n)代入反比例函数y=kx中，可得到n的值；
(2)利用交点坐标以及函数图象得出反比例函数在一次函数上方的x的取值范围，即函数ax+b≤kx的自变量x的取值范围；
(3)连接A、B，交x轴于点M，由于A、B、M三点共线，此时MA+MB最小，求出直线AB的表达式，令y=0即可得到点M坐标；过点B做关于x轴对称点B1，连接A、B1交x轴于点N，此时NB=NB1，则NA−NB有最大值，求得直线AB1的表达式，令y=0即可得到点N坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握数形结合、“将军饮马”的数学思想是解题的关键．x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
−11
−5
−1
1
1
…
x
…
−3
−1
1
3
…
y
…
−3
0
1
0
…