2024-2025学年安徽省池州市青阳四中等校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省池州市青阳四中等校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列等式正确的是( )
A. ( 3)2=3B. (−3)2=−3C. 33=3D. (− 3)2=−3
2.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 1， 2， 3C. 4，5，6D. 5，12，13
3.把方程x2+2(x−1)=3x化成一般形式，正确的是( )
A. x2−x−2=0B. x2+5x−2=0C. x2−x−1=0D. x2−2x−1=0
4.如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )
A. 16
B. 25
C. 144
D. 169
5.数轴上表示1， 2的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是( )
A. 2−1B. 1− 2
C. 2− 2D. 2−2
6.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD=BCB. ∠A=∠C，∠B=∠D
C. AB//CD，AD//BCD. AB=CD，AD=BC
7.正五边形ABCDE中，∠BEC的度数为( )
A. 18°B. 30°C. 36°D. 72°
8.嘉淇所在的社团，两年来人员没有变化，嘉淇计算了目前社团人员年龄的方差为1，则两年前该社团人员年龄的方差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
9.如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，点P为EF中点，则PD的最小值为( )
A. 2.4 B. 4.8
C. 6 D. 8
10.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PB2+PD2=2PA2.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.关于x的代数式 x+3x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12.一个正多边形的内角与外角度数之比为5：2，则这个多边形的内角和为______．
13.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为______．
14.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE与EG重合，折痕为EF且交BC于点F．
(1)∠DEF=______；
(2)若点E是AB的中点，则DF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
计算：(− 6)× 2−(12)−1+| 3−2|．
16.(本小题4分)
解方程：(x−5)2−3=2(x−5)
17.(本小题8分)
已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积．
18.(本小题8分)
一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售.若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元.问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？
19.(本小题10分)
阅读材料，回答问题：
观察下列各式
1+112+122=1+11−12=112；
1+122+132=1+12−13=116；
1+132+142=1+13−14=1112．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： 1+172+182=______=______；
(2)归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n(n为正整数)表示的等式：______；
(3)应用：用上述规律计算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=−52，求m的值．
21.(本小题12分)
某校200名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2)．

回答下列问题：
(1)在这次调查中D类型有多少名学生？
(2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数；
(3)求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这200名学生共植树多少棵？
22.(本小题14分)
如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，垂足为O．
(1)求证：AE=FG；
(2)如图2，平移线段FG，使DG=BE，连接OD．
①求证：OD=AD；
②如图3，连接OB，当D、O、B三点共线时，则OG2AD2= ______．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.C
8.A
9.A
10.D
11.x≥−3且x≠2
12.900°．
13.5
14.(1)90°．
(2)145．
15.解：原式=− 6×2−2−( 3−2)
=−2 3−2− 3+2
=−3 3．
16.解：(x−5)2−3=2(x−5)，
移项得，(x−5)2−2(x−5)−3=0，
因式分解得，[(x−5)+1][(x−5)−3]=0，
∴(x−5)+1=0或(x−5)−3=0，
解得，x=4或x=8，
∴原方程的解为：x1=4，x2=8．
17.解：延长AD，BC，交于点E，
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=4，
∴∠E=30°，AE=2AB=8，
∴BE= AE2−AB2=4 3，
在Rt△DCE中，∠E=30°，CD=2，
∴CE=2CD=4，根据勾股定理得：DE= CE2−CD2=2 3，
则S四边形ABCD=S△ABE−S△DCE
=12AB⋅BE−12DC⋅ED
=8 3−2 3
=6 3．
18.解：设每个玩具的进价为x元，
由题意可得：(1800x−2)(x+5)−1800=400，
解得：x1=20，x2=−225，
经检验，x1=20，x2=−225是原方程的根，但x2=−225不合题意，故舍去，
∴180020=90(个)，
答：这批玩具每个进价是20元，共买进了90个玩具．
19.解：(1)1+17−18 ，1156 ；
(2) 1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=11n(n+1);
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+192+1102
=1+1−12+1+12−13+1+13−14+···+1+19−110
=10−110
=9910．
20.(1)证明：∵Δ=[−(2m−1)]2−4×1×(−3m2+m)
=4m2−4m+1+12m2−4m
=16m2−8m+1
=(4m−1)2≥0，
∴方程总有实数根；
(2)解：由题意知，x1+x2=2m−1，x1x2=−3m2+m，
∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2x1x2−2=−52，
∴(2m−1)2−3m2+m−2=−52，整理得5m2−7m+2=0，
解得m=1或m=25．
21.解(1)D类的人数是：20×10%=2(人)．
(2)众数为5棵，中位数为5棵；
(3)x−=4×4+5×8+6×6+7×220=5.3(棵)．
估计200名学生共植树5.3×200=1060(棵)．
22.(1)证明：过点F作FH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠FHG=90°，FH=AD=AB，
∵AE⊥FG，
∴∠FAE=∠GFH，
在△ABE和△FHG中，
∠B=∠FHG∠BAE=∠GFHAB=FH，
∴△ABE≌△FHG(AAS)，
∴AE=FG；
(2)①证明：延长FG与AD的延长线相交于点P，
∵AE⊥FG，
∴∠P=∠BAE，
在△ABE和△PDG中，
∠BAE=∠P∠ABE=∠PDGBE=DG，
∴△ABE≌△PDG(AAS)，
∴AB=DP，
∵AB=AD，
∴AD=PD，
∴OD=AD；
②解：连接AG，设OG=x，
∴AG=PG= 2x，
∴OP=(1+ 2x)，
∴AP2=OA2+OP2=x2+(1+ 2)2=(4+2 2)x2=(2AD)2，
∴AD2=(1+ 22)x2，
∴OG2AD2=x2(1+ 22)x2=2− 2．