高考数学一轮复习第三章第一节导数的概念及运算学案

这是一份高考数学一轮复习第三章第一节导数的概念及运算学案，共14页。学案主要包含了导数的概念等内容，欢迎下载使用。
考试要求：1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数的导数．
自查自测
知识点一 导数的概念
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则limΔx→0f x0－Δx－f x03Δx＝( )
A．－4B．4
C．－36D．36
A 解析：根据题意，由函数f (x)在x＝x0处的导数为12，得limΔx→0f x0－Δx－f x03Δx＝－13limΔx→0f x0-f x0-ΔxΔx＝－13×12＝－4.故选A．
3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( B )
A．14B．12
C． 1D． 2
4．函数y＝x在x＝x0(x0≠0)处的导数为12x0，在点(1，1)处的导数为12.
核心回扣
1．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0+Δx－f x0Δx.
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在x0处的导数f ′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f ′(x0)．
注意点：
(1)y＝f ′(x)是一个函数，f ′(x0)是函数y＝f ′(x)在x0处的函数值．
(2)函数y＝f (x)的导数y＝f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x
C．csxx′＝xsinx－csxx2
D．(sin x cs x)′＝cs 2x
2．设f (x)＝ex＋ln 2的导函数为f ′(x)，则f ′(1)的值为( D )
A．0B．e
C．e+12D．e2
3．设函数f (x)＝e2xx+a，若f ′(0)＝1，则a＝__________.
1 解析：由题意可知f ′(x)＝2e2xx+a－e2xx+a2，由f ′(0)＝1，得2a－1a2＝1，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
4．若函数f (x)在R上可导，且f (x)＝x2＋2f ′(1)x＋3，则f ′(1)＝－2．
核心回扣
1．基本初等函数的导数公式
2.若f ′(x)，g′(x)存在，则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)f xgx'＝f 'xgx－f xg'xgx2(g(x)≠0)．
3.复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx'＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2.熟记以下结论：
(1)1x′＝－1x2；(2)(x)′＝12x；(3)1f x′＝－f 'xf x2(f (x)≠0)；(4)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
应用1 若f (x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( C )
A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)D．(－1，0)
应用2 若f (x)＝ax2－1且f ′(1)＝2，则a的值为2．
导数的计算
1．若函数f (x)＝x2，则limΔx→0f 1－f 1+ΔxΔx )
A．－2B．－12
C．12D．2
A 解析：因为f ′(x)＝2x，所以f ′(1)＝2，
所以limΔx→0f 1－f 1+ΔxΔx＝limΔx→0f 1+Δx－f 1Δx＝－f ′(1)＝－2.
2．(多选题)下列结论正确的是( )
A．若y＝cs 1x，则y′＝1x2sin 1x
B．若y＝ln 1+2x，则y′＝11+2x
C．若y＝1tanx，则y′＝1cs2x
D．若y＝x2024＋lg2x，则y′＝2 024x2 023＋1xln2
ABD 解析：对于A，y′＝－sin 1x·1x′＝1x2sin 1x，A正确；对于B，因为y＝ln 1+2x＝12ln (1＋2x)，所以y′＝12·11+2x·(1＋2x)′＝11+2x，B正确；对于C，y＝1tanx＝csxsinx，y′＝－sinx·sinx－csx·csxsin2x＝－1sin2x，C错误；对于D，y′＝2024x2 023＋1xln 2，D正确．
3．已知函数f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f ′(2)＝1，则a＝________.
e2 解析：因为f ′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，所以f ′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-2＝1，则a＝e2.
1．求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
导数的几何意义
考向1 求切线方程
【例1】(1)(2024·抚州模拟)设f ′(x)为函数f (x)的导函数，若f (x)＝(x＋1)ex－f ′(0)x，则曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为( )
A．y＝－x＋1B．y＝－2x＋1
C．y＝2x＋1D．y＝x＋1
D 解析：因为f (x)＝(x＋1)ex－f ′(0)x，所以f ′(x)＝(x＋2)ex－f ′(0)．令x＝0，得f ′(0)＝2－f ′(0)．故f ′(0)＝1，所以f (x)＝(x＋1)ex－ x，所以f (0)＝1.故曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
(2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为( )
A．x－y－3＝0B．x－y＋3＝0
C．x＋y＋3＝0D．x＋y－3＝0
B 解析：由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.设切点坐标为(x0，x03－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3x02－2，切线方程为y－(3x02－2x0＋1)＝(3x02－2)(x－x0)．由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，所以切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，f (x0))是切点时，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，f (x0))不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点的坐标P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f (x1))的切线方程y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，f (x0))代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，f (x0))的切线方程．
考向2 求切点坐标
【例2】(1)若曲线y＝x24－3ln x在x＝x0处的切线的斜率为12，则x0＝________.
3 解析：由y＝x24－3ln x，得y′＝12x－3x(x>0)，故12x0－3x0＝12，解得x0＝3或x0＝－2(舍去)，故x0＝3.
(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________.
(1，1) 解析：点(0，1)在曲线y＝ex上．因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，因为y＝1x(x>0)的导数为y′＝－1x2(x>0)，所以曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让切点的导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，再将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
考向3 求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2B．－1
C．1D．2
C 解析：直线x＋2y＋1＝0的斜率为k＝－12，由题设知y＝e2ax在(0，1)处的切线的斜率为2，而y′＝2a·e2ax，所以y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1.故选C．
(2)若函数f (x)＝2ln x＋x2＋mx＋1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－4)B．(－∞，4)
C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)
C 解析： f (x)的定义域是(0，＋∞)，依题意，f ′(x)＝2x＋2x＋m>0恒成立，即－m0)，令f ′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f (1)＝2，所以与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f (x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y＝x－4的最短距离为1－2－41+1＝522.
11．已知曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，则常数a的值是( )
A．－12B．12
C．－32D．32
C 解析：由y＝2ax＋ln x，得y′＝2a＋1x，所以在点(1，2a)处的切线的斜率为k＝2a＋1.又曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－32.
12．(多选题)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f (x)＝x2B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln xD．f (x)＝tan x
AC 解析：若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)存在实数解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化简得sinxcs x＝1，变形可得sin 2x＝2，此方程无解，故D不符合要求．
13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，则b的值为( )
A．0B．1
C．0或1D．0或－1
B 解析： 设y＝kx＋b是y＝ln x＋2在点(a，ln a＋2)处的切线，则k=1a， lna+2=ka+b.同理设y＝kx＋b是y＝ln (x＋2)在点(c，ln (c＋2))处的切线，则k=1c+2， lnc+2=kc+b.由1a＝k＝1c+2，得c＋2＝a，代入解得k=1，b=1，a=1，c=－1.故选B．
14．(2024·绵阳模拟)若函数f (x)＝x2－ax与g(x)＝ln x＋2x的图象在公共点处有相同的切线，则实数a＝( )
A．－2B．－1
C．eD．－2e
B 解析：设函数f (x)＝x2－ax与函数g(x)＝ln x＋2x的图象公共点的坐标为(x0，y0)，求导得f ′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依题意，得x02－ax0=lnx0+2x0，2x0－a=1x0+2，
于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2. 令函数h(x)＝x2＋ln x－1，显然函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，则当h(x)＝0时，x＝1，因此在x02+lnx0－1＝0中，x0＝1，此时a＝－1.经检验a＝－1符合题意，所以a＝－1.
15．(开放思维)请写出与曲线y＝f (x)＝x3＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________.
x2＋1(答案不唯一) 解析：f ′(x)＝3x2，f ′(0)＝0，曲线y＝f (x)＝x3＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0，1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．
16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.
y＝x 12 021 解析：函数f (x)＝ln (1＋x)，则f ′(x)＝11+x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以切线方程为y＝x，所以ln 2 022－ln 2 021＝ln 1+12 021＝f 12 021.根据以直代曲，x＝12 021也非常接近切点x＝0，所以可以将x＝12 021代入切线方程近似代替f 12 021，即f 12 021≈12 021.
17．(2024·银川模拟)已知过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f (x)＝xex相切，则实数a的取值范围是__________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：由f (x)＝xex，得f ′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0ex0)，所以切线的斜率为f ′(x0)＝x0+1ex0，切线方程为y－x0ex0＝x0+1·ex0(x－x0)．因为切线过点A(a，0)，所以有0－x0ex0"＝x0+1ex0(a－x0)，化简得x02－ax0－a＝0.因为过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C相切，所以关于x0的方程x02－ax0－a＝0有两个不相等的实数根，所以该方程的判别式Δ＝(－a)2＋4a>0，解得a>0或a0，且a≠1)
f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ln x
f ′(x)＝1x
f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝1xlna