2024年江苏省泰州市求实中学数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份2024年江苏省泰州市求实中学数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕逆时针旋转一定角度，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，B．2，C．1，D．3，
2、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形
3、（4分）点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（ ）
A．50，50B．50，30C．80，50D．30，50
5、（4分）二次根式中的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
7、（4分）四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CDB．AC=BD
C．AB=BCD．AD=BC
8、（4分）已知函数的图象经过原点，则的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）函数是y关于x的正比例函数，则______．
10、（4分）计算：（﹣4ab2）2÷（2a2b）0＝_____．
11、（4分）如图，直线y=与y=x交于A（3，1）与x轴交于B（6，0），则不等式组0的解集为_____．
12、（4分）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：
鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
13、（4分）把抛物线沿轴向上平移1个单位，得到的抛物线解析式为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知矩形ABCD，用直尺和圆规进行如下操作：
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交BC于点E；
②连接AE，DE；
③作DF⊥AE于点F．
根据操作解答下列问题：
（1）线段DF与AB的数量关系是 ．
（2）若∠ADF＝60°，求∠CDE的度数．
15、（8分）已知关于x的函数y＝(m＋3)x|m＋2|是正比例函数，求m的值．
16、（8分）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
17、（10分）如图，将矩形纸沿着CE所在直线折叠，B点落在B’处，CD与EB’交于点F，如果AB=10cm，AD=6cm，AE=2cm，求EF的长。
18、（10分）平行四边形的 2 个顶点的坐标为，，第三个顶点在 轴上，且与 轴的距离是 3 个单位，求第四个顶点的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为_____．
20、（4分）若关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____________。
21、（4分）观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_____．
22、（4分）一种病毒长度约为0.0000056mm，数据0.0000056用科学记数法可表示为______．
23、（4分）如图，已知中，，平分，点是的中点，若，则的长为________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在正方形中，点为延长线上一点且，连接，在上截取，使，过点作平分，，分别交于点、.连接.
（1）若，求的长；
（2）求证：.
25、（10分）如图，在中，，点是边上的中点，、分别垂直、于点和．求证：
26、（12分）列方程解应用题：从甲地到乙地有两条公路，一辆私家车在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度高，行驶千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路节约分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C＝，AB＝A′B′＝A′C＝4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．
【详解】
将沿射线的方向平移，得到，
再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，旋转角的度数为．
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．
故选：B．
此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．
2、D
【解析】
根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【详解】
A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．
3、C
【解析】
因为A和C是平移的对应点，根据平移的性质和点B的坐标可得结果.
【详解】
解：∵经过平移，A到达C，A（-4，-3），C（1，-1），
∴线段AB平移到线段CD是向左平移5个单位，再向上平移2个单位，
∵ B（-1，2），
∴点D的坐标是（4，4）.
故选C.
本题考查了图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键.
4、A
【解析】
分析：根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为100、80、50、30、20元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解．
详解：由扇形统计图可知，购买课外书花费为100元的同学有：20×10%=2（人），购买课外书花费为80元的同学有：20×25%=5（人），购买课外书花费为50元的同学有：20×40%=8（人），购买课外书花费为30元的同学有：20×20%=4（人），购买课外书花费为20元的同学有：20×5%=1（人），20个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为50元，中位数为（50+50）÷2=50（元）．
故选A．
点睛：本题考查了扇形统计图，平均数，中位数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得出，再求x的取值范围即可．
【详解】
解：∵
∴
故选：D．
本题考查的知识点是二次根式的定义，根据二次根式被开方数大于等于零解此题．
6、B
【解析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选：B．
考查了角平分线的性质,解题关键是灵活运用其性质进行分析．
7、B
【解析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．
【详解】
可添加AC=BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
8、B
【解析】
根据已知条件知，关于x的一次函数y=2x+m-1的图象经过点（0，0），所以把（0，0）代入已知函数解析式列出关于系数m的方程，通过解方程即可求得m的值．
【详解】
解：∵关于x的一次函数y=2x+m-1的图象经过原点，
∴点（0，0）满足一次函数的解析式y=2x+m-1，
∴0=m-1，
解得m=1．
故选：B．
本题考查一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当b=0时函数图象经过原点是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
试题分析：因为函数是y关于x的正比例函数，所以，解得m=1．
考点：正比例函数
10、16a2b1
【解析】
直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（-1ab2）2÷（2a2b）0=16a2b1÷1=16a2b1，
故答案为：16a2b1．
本题主要考查了整式的乘除运算和零指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11、3＜x＜1
【解析】
满足不等式组0＜kx+b＜x就是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方且位于x轴的上方部分x的取值范围，据此求解．
【详解】
解：∵与直线y=x交于点A，点B的坐标为（1，0），
∴不等式组0＜kx+b＜x的解集为3＜x＜1．
故答案为3＜x＜1.
本题考查了一次函数与一元一次不等式的问题，满足不等式组0＜kx+b＜x就是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方且位于x轴的上方时x的取值范围是解答本题的关键．
12、B
【解析】
根据题意可得：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大，即各型号的鞋的众数．
【详解】
鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大，而众数是数据中出现次数最多的数，故鞋店经理关心的是这组数据的众数．
故选：B．
13、
【解析】
抛物线图像向上平移一个单位，即纵坐标减1，然后整理即可完成解答.
【详解】
解：由题意得：，即
本题主要考查了函数图像的平移规律，即 “左右横,上下纵,正减负加”的理解和应用是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）DF＝AB；（2）15°
【解析】
（1）利用角平分线的性质定理证明DF＝DC即可解决问题；
（2）只要证明∠EDCC＝∠EDF即可；
【详解】
解：（1）结论：DF＝AB．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．
故答案为DF＝AB．
（2）∵DE＝DE，DF＝DC，
∴Rt△DEF≌△DEC，
∴∠EDF＝∠EDC，
∵∠ADF＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴∠CDE＝∠CDF＝15°．
本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15、m=-1
【解析】
根据一次函数的定义得到方程和不等式，再进行求解即可．
【详解】
解：若关于x的函数y＝(m＋3)x|m＋2|是正比例函数，
需满足m＋3≠0且|m＋2|＝1，
解得m＝－1
故m的值为-1．
16、（1）y＝﹣x1+1x+3（1）①t＝时，S的最大值为②P（1，4）或（1，3）或（，）或（，）
【解析】
(1)设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，把点C(2，3)代入表达式，即可求解；
(1)①设P(t，﹣t1+1t+3)，则E(t，﹣t+3)，S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，即可求解；
②分点P在点Q上方、下方两种情况讨论即可求解．
【详解】
(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，A(﹣1，2)，
∴B(3，2)．
∴设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，
把点C(2，3)代入，得3＝a(2+1)(2﹣3)，
解得a＝﹣1，
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x1+1x+3；
(1)①连结BC．
∵B(3，2)，C(2，3)，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，
∴OD＝1，CD＝1，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E(如图1)．
设P(t，﹣t1+1t+3)，则E(t，﹣t+3)．
∴PE＝﹣t1+1t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t1+3t．
S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，
即S＝×1×3+(﹣t1+3t)×3＝﹣(t﹣)1+，
∵a＝﹣＜2，且2＜t＜3，
∴当t＝时，S的最大值为；
②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ∥CD，且PQ＝CD＝1．
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P(t，﹣t1+1t+3)，点Q(t，﹣t+3)．
分两种情况讨论：
(Ⅰ) 如图1，当点P在点Q上方时，
∴(﹣t1+1t+3)﹣(﹣t+3)＝1．即t1﹣3t+1＝2．解得 t1＝1，t1＝1．
∴P1(1，4)，P1(1，3)，
(Ⅱ) 如图3，当点P在点Q下方时，
∴(﹣t+3)﹣(﹣t1+1t+3)＝1．即t1﹣3t﹣1＝2．
解得 t3＝，t4＝，
∴P3(，)，P4(，)，
综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1，4)或(1，3)或(，)或(，)．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
17、
【解析】
首先根据题意证明EF=CF，再作过E作EG⊥CD于G，设EF=CF=x，在Rt△EFG中根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：根据题意，∠CEF=∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠CEB=∠ECD，
∴∠CEF∠ECD，
∴EF=CF，
过E作EG⊥CD于G，
设EF=CF=x，
则GF=AB-AE-EF=10-2-x=8-x，
在Rt△EFG中，EF2=GF2+EG2，
∴x2=（8-x）2+62，
∴x=，
∴EF=cm．
本题主要考查勾股定理的应用，关键在于设出合适的未知数，根据勾股定理列方程.
18、（4，3），（-4，3），（-2，-3），（4，-3），（-4，-3），（-2，3）.
【解析】
试题分析：找第四个顶点，关键是看哪条边为对角线，再者第三个顶点在y轴上，且与x轴的距离是3个单位，本身又有两种情况，所以做题时要考虑周全．
解：（1）当第三个点C1在y轴正半轴时：
AC1为对角线时，第四个点为（﹣4，3）；
AB为对角线时，第四个点为（﹣2，﹣3）；
BC1为对角线时，第四个点为（4，3）．
（2）当第三个点C2在y轴负半轴时：
AC2为对角线时，第四个点为（﹣4，﹣3）；
AB为对角线时，第四个点为（﹣2，3）；
BC2为对角线时，第四个点为（4，﹣3）．
即第4个顶点坐标为：（4，3），（﹣4，3），（﹣2，﹣3），或（4，﹣3），（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
解:这组数据的平均数为2，
有 （2+2+0-2+x+2）=2，
可求得x=2．
将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是2与2，
其平均数即中位数是（2+2）÷2=2．
故答案是：2．
20、
【解析】
：把a看作常数，根据分式方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可：
【详解】
解：∵
∴
∵关于x的方程的解是负数
∴
∴
解得
本题考查了分式方程的解与解不等式，把a看作常数求出x的表达式是解题的关键．
21、．
【解析】
根据题意可知，
∴．
22、5.1×10-1
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.0000051=5.1×10-1．
故答案为：5.1×10-1．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
23、1
【解析】
根据等腰三角形的性质可得D是BC的中点，再根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴CD=BD，
∵E是AB的中点，
∴DE∥AC，DE=，
∵AC=6，
∴DE=1．
故答案为：1．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的知识点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）6-；（2）证明见详解
【解析】
（1）由正方形性质和等腰直角三角形性质及勾股定理即可求得结论；
（2）过点D作DM⊥CF于点M，证明△DCM≌△CBH，再证明△BHG、△DMG都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的数量关系即可．
【详解】
解：（1）∵ABCD是正方形
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠BAE=∠BCD=90°，
∵BF=AD=
∴AB=AD=AE=
∴BE==
∴EF=BE-BF=6-，
（2）如图，过点D作DM⊥CF于点M，则∠CDM+∠DCM=90°，
∵∠DCM+∠BCH=90°
∴∠CDM=∠BCH
∵∠BAE=90°，AB=AE
∴∠ABE=45°
∵BH⊥CF
∴∠BHC=∠CMD=90°，∠FBH=∠CBF=×（90°+45°）=67.5°
在△DCM和△CBH中，

∴△DCM≌△CBH（AAS）
∴DM=CH，CM=BH
∵BG平分∠ABF
∴∠FBG=∠ABE=22.5°
∴∠HBG=∠FBH-∠FBG=45°
∴△BHG是等腰直角三角形，
∴BH=HG，BG=BH=CM
∴CM=HG
∴CH=GM
∴DM=GM
∴△DMG是等腰直角三角形，
∴DG=GM，
∴DG+BG=GM+CM=（GM+CM）=CG
本题考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
25、见解析
【解析】
证法一：连接AD，由三线合一可知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质定理解答即可；证法二：根据“AAS”△BED≌△CFD即可.
【详解】
证法一：连接AD．
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
证法二：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）.
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC ，
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中
∵，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）.
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
26、．
【解析】
设普通公路上的平均速度为，根据题意列出方程求出x的值，即可计算该汽车在高速公路上的平均速度．
【详解】
设普通公路上的平均速度为，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
高速度公路上的平均速度为
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
型号
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2