2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含答案）

这是一份2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={−2,−1,2,3}，则A∩B=( )
A. {3}B. {0,l}
C. {−2,−1,2}D. {−2,−1,0,1,2,3}
2.计算3+4i1−2i=( )
A. 1−2iB. 1+2iC. −1−2iD. −1+2i
3.函数y=sinx+ 3csx的最大值是( )
A. 1B. 6C. 2D. −2
4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 10，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±3xB. y=±2xC. y=±13xD. y=±12x
5.已知平面向量a=(1,1)，b=(x+1,y)，则( )
A. “x=1，y=−2”是“a//b”的必要条件
B. “x=1，y=−2”是“a//b”的充分条件
C. “x=1，y=−2”是“a⊥b”的必要条件
D. “x=1，y=−2”是“a⊥b”的充分条件
6.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)，则( )
A. f(x)是奇函数，不是增函数B. f(x)是增函数，不是奇函数
C. f(x)既是奇函数，也是增函数D. f(x)既不是奇函数，也不是增函数
7.若(a+x)4的展开式中x的系数是−12，则a=( )
A. 1B. 12C. −12D. −1
8.圆x2+(y+2)2=4与圆(x+2)2+(y−1)2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为( )
A. 2x−3y+2=0B. 3x+2y+2=0C. 3x+2y−2=0D. 2x−3y−2=0
9.已知x=π4和x=π2都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点，则ω的最小值是( )
A. 4B. 2C. 1D. 12
10.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=−1的距离，则p=( )
A. 2B. 1C. 12D. 14
11.正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为12，则该正四棱柱的体积是( )
A. 2 2B. 2C. 22D. 23
12.已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f(x)=x2+2x，则当2≤x≤3时，f(x)=( )
A. x2+2xB. x2−2xC. −x2+2xD. −x2−2x
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有______个.
14.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=16，S4=24，则a8= ______．
15.不等式2|x|≤|x−2|的解集为______．
16.函数f(x)=ex−2x的最小值为______．
17.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x−1)f(x+1)=x2+4x+3，f(1)=3，则f(9)= ______．
18.已知二面角α−AB−β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
已知△ABC中，A=π3，AC=ABtanB．
(1)求B；
(2)求sinA+sinB+sinC．
20.(本小题15分)
在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．
(1)求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；
(2)记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E(X)．
21.(本小题15分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=4，an+1=4(n+1)2n−1(Sn−1)．
(1)证明：数列{Sn−12n−1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
22.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，点A(−a,0)，B(0,b)，过F的直线x−y+1=0交C于B，P两点．
(1)求P的坐标；
(2)若点R(−2,y0)在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C
7.C
8.D
9.A
10.A
11.B
12.B
13.280
14.−5
15.[−2,23]
16.2−2ln2
17.11
18. 24
19.解：(1)由AC=ABtanB，可得tanB=bc，
由正弦定理，可得sinBcsB=sinBsinC，
又B∈(0,π)，sinB≠0，所以csB=sinC，
由诱导公式，可得csB=sin(A+B)=cs[π2−(A+B)]，
所以B=π2−(A+B)+2kπ或B=(A+B)−π2+2kπ，k∈Z，
又A=π3，所以B=π12+kπ，k∈Z，
又B∈(0,π)，故B=π12；
(2)由(1)知，A=π3，B=π12，则C=7π12，
所以sinA+sinB+sinC= 32+sinπ12+sin7π12
= 32+sin(π3−π4)+sin(π3+π4)= 32+2sinπ3csπ4
= 32+2× 32× 22= 3+ 62．
20.解：(1)设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，
则P(A)=0.6×0.5=0.3；
(2)因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6×(1−0.5)=0.3，
则X～B(100,0.3)，
所以E(X)=100×0.3=30．
21.解：(1)证明：∵an+1=4(n+1)2n−1(Sn−1)，
∴Sn+1−Sn=4(n+1)2n−1(Sn−1)，
∴(2n−1)Sn+1−(2n−1)Sn=4(n+1)Sn−4(n+1)，
∴(2n−1)Sn=(6n+3)Sn−4(n+1)，
∴(2n−1)(Sn+1−1)=(6n+3)Sn−(6n+3)，
∴(2n−1)(Sn+1−1)=3(2n+1)(Sn−1)，
∴Sn+1−12n+1=3(Sn−12n−1)，又S1−12×1−1=a1−1=3，
∴数列{Sn−12n−1}是以首项为3，公比为3的等比数列；
(2)由(1)可得Sn−12n−1=3n，
∴Sn−1=(2n−1)×3n①，
当n≥2时，Sn−1−1=(2n−3)×3n−1②，
①−②可得an=(2n−1)×3n−(2n−3)×3n−1=4n⋅3n−1(n≥2)，
又a1=4，也满足上式，
∴an=4n⋅3n−1，n∈N∗．
22.解：(1)因为直线x−y+1=0过焦点F和点B，
所以令y=0，得x=−1，即−c=−1，则c=1，
令x=0，得y=1，即b=1，
又a2=b2+c2=2，
所以椭圆的方程为x22+y2=1，
联立x−y+1=0x22+y2=1，
解得x=0或x=−43，
所以xP=−43，yP=xP+1=(−43)+1=−13，
所以P(−43,−13).
(2)证明：由(1)知A(− 2,0)，B(0,1)，
所以直线AB的方程为y−1=1 2(x−0)，
令x=−2，得y=1− 2，
所以R(−2,1− 2)，
tan∠RFA=|1− 2|−1−(−2)= 2−1，
tan2∠RFA=2tan∠RFA1−tan2∠RFA=2( 2−1)1−( 2−1)2=1，
因为直线x−y+1=0的斜率为1，
所以tan∠RFA=1，
所以tan2∠RFA=tan∠RFA，
所以FR是∠PFA的角平分线．