六年级奥数典型题——冲刺100测评卷20《最佳对策问题》练习

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试卷满分：100分 考试时间：100分钟
姓名：_________班级：_________得分：_________
一．选择题（共5小题，满分13分）
1．（2分）小明和小亮玩取牌游戏，一共有39张牌，小明和小亮轮流取牌，每次最多取5张牌，最少取1张牌，谁取到最后一张牌谁就获胜，小明先取牌，为了获胜，小明必须先取（ ）张牌．
A．2B．3C．4
【分析】因每次最多取5张牌，最少取1张牌，所以小明和小亮每次最多只能取1+5＝6张，39÷6＝6（次）…3（张），只要小明先取3张，然后再看小亮每次取几张牌，只要每次与小亮所取牌数和满足是6，就能取胜．
【解答】解：39÷6＝6（次）…3（张）
只要小明先取3张，然后再看小亮每次取几张牌，只要每次与小亮所取牌数和满足是6，就能取胜．
故选：B．
2．（2分）两个同学玩游戏，他们按以下规则轮流在黑板上写数．规则：①每人每次各选一个从1到10中的数字轮流写在黑板上；
②不能写已写在黑板上的数的约数；如：黑板上写着“9”的话，以后不能写1、3、9．③不能弃权不写．最后，没数可写的人失败．在这个游戏中，如果巧妙地选数的话，先写的人必胜．那么最先写（ ）才能必胜．
A．6或8B．5或7C．3或5D．4或6
【分析】甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6．接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10．把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策．
如果甲先写8，由于8的约数有1，2，4，8．接下来乙可以写的数只有3、5、6、7、9、10．把这6个数分成三组：（3，5）、（6，7）、（9，10），当然也可（6，5）、（9，10）、（7，3）或（3，10）、（5，7）、（9，5）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策．
【解答】解：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，
接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，
把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），
当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，
只要组内两数大数不是小数的倍数即可，
如果甲先写8，由于8的约数有1，2，4，8．接下来乙可以写的数只有3、5、6、7、9、10．把这6个数分成三组：（3，5）、（6，7）、（9，10），当然也可（6，5）、（9，10）、（7，3）或（3，10）、（5，7）、（9，5）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，
这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
故选：A．
3．（2014•迎春杯）甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜．当N小于15时，使得乙有必胜策略的N有（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数．分类讨论，可得结论．
【解答】解：若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数．
N＝1，显然乙必胜．
N＝3，9，乙只需配数字和1﹣8，2﹣7，3﹣6，4﹣5，9﹣9即可．
N＝5，甲在个位填不是5的数，乙必败．
N＝7，11，13，乙只需配成＝×1001＝×7×11×13，
故选：B．
4．（2014•迎春杯）甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后一根谁胜．甲每次可以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取1根或2根．如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（ ）
A．取1根B．取3根
C．取4根D．无论怎么取都无法获胜
【分析】无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜．在这之前只要保证火柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根，乙取1根，乙胜．所以甲无论怎么取都无法获胜．
【解答】解：无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜；
在这之前只要保证火柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；
或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根，乙取1根，乙胜．
所以甲无论怎么取都无法获胜．
故选：D．
5．牧童骑牛赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛需过河，四头牛分别需要1分钟、2分钟、5分钟、6分钟．如果牧童每次只能赶两头牛过河，且返回须骑牛，则将四头牛全部赶到对岸至少需要多少分钟？（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】先骑1分钟的，带着2分钟的过去，用时2分；然后骑一分钟的回来，用时1分；然后骑5分钟的带着6分钟的过去，用时6分；然后骑2分钟的回来，用时2分；最后骑着1分钟带着2分钟的过去，用时2分；一共13分钟．
【解答】解：2+1+6+2+2＝13（分钟）；
答：将四头牛全部赶到对岸至少需要13分钟．
故选：B．
二．填空题（共12小题，满分32分）
6．（2分）（2016•学而思杯）甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个3×3的方格棋盘内画符号，甲画“○”先走，乙画“×”后走，谁能将棋盘的一整行，一整列或一整条对角线的3个格都画上自己的符号，谁就赢．如果前4步甲乙所下位置如图1所示，那么甲下一步应该下在 1 号位置（位置编号如图2所示），才能保证必胜．
【分析】因为左上角已经有两个“×”，所以甲下一步应该下在1号位置，否则要被乙杀死，只要甲下在1号位置，不论乙下一步下在何处，甲都可以下在3或4的位置双杀，乙都挡不住．
【解答】解：根据分析可得，
因为左上角已经有两个“×”，甲不得不走1，此时3或4的位置甲可以双杀，乙都挡不住．
答：甲下一步应该下在 1号位置，才能保证必胜．
故答案为：1．
7．（2分）（2007•迎春杯）桌子上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若干粒，不能同时在两堆里都取，也不能不取，且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数，取到最后1粒者为胜，如果甲先取，那么， 甲 采用正确的策略必胜．（填甲或乙）
【分析】甲先从28中取出4个，变成12和24，之后每次不论乙取N个，甲都取2N个，最后肯定是甲赢．
【解答】解：因为24是12的倍数，所以只要甲先从24粒里取出4粒，然后乙开始取，乙无论取出几粒，甲只要取出的是乙的2倍即可．
故只要甲采取该办法一定获胜．
故答案为：甲．
8．（2分）有13根火柴，甲、乙两人轮流取，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就赢，如果让甲先取，为了确保获胜，甲第一次应该取 1 根火柴．
【分析】因为每人每次可拿走其中的1至2根，所以只要甲先拿1根，乙无论再是拿1根还是2根，甲再拿时拿的根数和乙的根数和起来是3，则保证甲获胜．
【解答】解：因为，13÷3＝4…1，
所以，甲先拿1根，乙如果拿1根，甲就拿2根；乙如果拿2根，甲就拿1根，
即甲再拿时拿的根数和乙的根数加起来是3，
所以，甲一定取到最后1根而获胜，
故答案为：1．
9．（2分）（2018•其他模拟）61根小棒，两人轮流拿，规定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完为止，谁拿到最后一根，谁就获胜．如果甲先拿，甲第一次要拿 1 根小棒，才能保证获胜．
【分析】61÷（1+3）＝15…1，先取者可获胜，如果甲先取1根，每次两人取的数量和为4，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：先取者可获胜，如果甲先取，
甲获胜的策略：61÷（1+3）＝15…1，
甲先取1根，则余下的根数为4的倍数，如果乙取m根（m＜5），则甲取（4﹣m）根，甲乙共取了4根，余下的根数仍为4的倍数．
如此反复，直至余下的根数为4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可获胜．
答：甲第一次要拿1根小棒，才能保证获胜．
故答案为：1．
10．（2017•华罗庚金杯模拟）甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写法是 甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个 ．
【分析】甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6．接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10．把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策．
【解答】解：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，
接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，
把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），
当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，
只要组内两数大数不是小数的倍数即可，
这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
答：甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．
故答案为：甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．
11．（2016•走美杯）在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜． 面对如图所示的局面（每个木格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动 1 号木格中的 2 个小球．
【分析】由题意可知，这个游戏的题的策略是奇数性的利用，由图可知，3号格和1号格里的球数不相同，要确保获胜，先手必须先要取成3号格和1号格里的球数相同，所以先手必须将1号格中的2个小球移入0号格，后手无论怎么移，都会导致这两格球数不一样，先手只须保持两格一样即可最后获胜；据此解答即可．
【解答】解：由图可知，3号格和1号格里的球数不相同，要确保获胜，先手必须先要取成3号格和1号格里的球数相同，所以先手必须将1号格中的2个小球移入0号格，后手无论怎么移，都会导致这两格球数不一样，先手只须保持两格一样即可最后获胜．所以为确保获胜，先手第一步应该移动1号木格中的2个小球．
故答案为：1，2．
12．（2017•其他杯赛）蓝猫和淘气玩玻璃球游戏，有50个小格排成1排，把玻璃球放在左边第一个小格中，蓝猫和淘气轮流移动玻璃球，每次移动，可以将玻璃球向右移动1个小格或者2个小格，将玻璃球恰好移到最右边的第50个小格的获胜．如果蓝猫先移动， 蓝猫 有必胜策略．
【分析】共50个小格，说明只能移动49格，蓝猫先移动1格后，剩下的格子数为48，接下来若淘气移动1格蓝猫就移动2格，淘气移动2格蓝猫就移动1个，最后剩3格，即可取胜．
【解答】解：蓝猫先移动1格后，剩下的格子数为48，接下来若淘气移动1格蓝猫就移动2格，淘气移动2格蓝猫就移动1个，最后剩3格，无论淘气怎么移动，蓝猫都能把玻璃球移到最右边的第50个小格．
故填：蓝猫．
13．（2012•其他模拟）两人做一种游戏：轮流报数，报出的数不能超过 8 （也不能是 0 ），把两个人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是88（或88 以上的数），谁就获胜．如果让你先报，就一定会赢，那么你第一个数应该报 7 ．
【分析】根据游戏规则得出谁报数后使和为88，谁就获胜，进而分析得出，谁先报7，谁就获胜．于是得出先报者的取胜对策为：先报7，以后若对方报K（l≤K≤8），你就报（9﹣K）这样一定获胜．
【解答】解：因为每人每次至少报1，最多报8，所以当某人报数之后，另一人必能找到一个数，使此数与某所报的数之和为9．
依照规则，谁报数后使和为88，谁就获胜，于是可推知，谁报数后和为79（＝88﹣9），谁就获胜.88＝9×9+7，
依此类推，谁报数后使和为16，谁就获胜．进一步，谁先报7，谁就获胜．
于是得出先报者的取胜对策为：先报7，以后若对方报K（l≤K≤8），你就报（9﹣K）．
这样，当你报第10个数的时候，就会取得胜利．
答：第一个数应该报7．
故答案为：7．
14．一堆火柴共100 根，甲先乙后轮流每次取1～5根，规定谁取到最后一根火柴就获胜．如果双方都各用最佳方法，甲第一次取 4 根才能获胜．
【分析】这个问题可以倒着推：100减去4，还剩下96，正好是6的倍数；所以先拿的那个人要想取胜，需要先拿4根，如果另一个拿1根，先拿的就拿5根，若另一个拿2根，先拿的那个人就拿4根，即始终保持每一轮两个人拿走的根数和是6，即可保证先拿的那个人取胜．
【解答】解：如果让甲先拿，主动权在甲，甲先拿4根，无论另一个人怎么拿，始终保持每一轮两个人拿走的根数和是6，就能保证我必胜．
答：甲第一次取 4根才能获胜．
故答案为：4．
15．（2017•走美杯）在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜．
面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的 数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号 1 木格中的 3 个小球．
【分析】第一次从1号格中移3个球到0号格．这样就变成了（2）（6）（2）（ ），以后无论后手方怎么移，先手都必胜．
【解答】解：第一次从1号格中移3个球到0号格．这样就变成了（2）（6）（2）（ ），以后无论后手方怎么移，先手都必胜．
这时后手有三种移动情况：
[情况1和情况2]如果后手方从3号格（1号格）移几个球，那么先手方都从1号格（3号格）移相同数目的球；
[情况3]如果后手方移2号格中的球，无论后手移动几个球，先手就从1号格中移动相同数目的球；一直这样移下去，只要后手方有球可移，先手方就一定有球可移，这样先手方必胜．
16．（2014•其他杯赛）有两堆石子，一堆11个，另一堆13个，记为（11，13），甲乙双方从里面取石子，规则如下：从一堆中可以取任意个石子；从两堆中必须取相同个数的石子，不能不取．谁先取到最后一颗谁获胜，现在，甲先取，那么当甲第一次取成 （3，5）或（8，13） 时，甲必胜．
【分析】如果两堆中取相同的个数，则两堆的石头能保持差不变，因此不妨考虑（0，2）的情况，从而推出（0，a）（其中a≠0）的均不是最佳状态；若一堆中可以取任意个石子，则可以考虑（1，b）的情况对结果的影响．
【解答】解：我们把取成（m，n）时，获胜或者有必胜策略的状态记为☆，
显然（0，0）是☆，
那么（0，a）或者（a，a）（其中a≠0）的均不是☆，
当取成（1，2）时，下一步只能变成（0，2），（1，1），（0，1），且这三个都不是☆，则（1，2）是☆，
那么（1，b）或（2，c）（其中b≠2，c≠1），或者差为1的均不是☆，
同理（3，5）不能变成（0，0），（1，2），故（3，5）是☆．
依此类推，（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）（8，13）均是☆，
而甲第一次取，若是根据取相同的个数，则取成（3，5），
若是取一堆的任意数，则取成（8，13），
故答案为（3，5）或（8，13）．
17．（2012•奥林匹克）奥斑马和小泉一起玩游戏：有2014个棋子，两人轮流取棋子，每次必须取其中2个、4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜．先取的人有一个必胜的办法．如果你先取，那么第一次取 4 个，方有必胜的办法．
【分析】当奥斑马取走几个后，接下来如果小泉取2个或8个，则奥斑马取4个；如果小泉取4个，则奥斑马取2个或8个；这样就能保证取走的个数始终是6的倍数．无论小泉怎样取，奥斑马都有得取．所以只要奥斑马先取走几个后剩下的个数是6的倍数即可．
【解答】解：
2014÷6＝335……4
故答案为：4．
三．解答题（共12小题，满分55分）
18．（4分）桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢．问：先取者如何拿才能保证获胜？
【分析】30÷（1+3）＝7…2，有余数，先取者可获胜，如果甲先取2根，每次两人取的数量和为4，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：30÷（1+3）＝7…2
先取者可获胜，如果甲先取，
甲先取2根，则余下的根数为4的倍数，如果乙取m根（m＜5），则甲取（4﹣m）根，甲乙共取了4根，余下的根数仍为4的倍数．
如此反复，直至余下的根数为4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可获胜．
答：先取者第一次要拿2根小棒，才能保证获胜．
19．（4分）一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜．每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿．问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？
【分析】只要保证最后一轮剩下的是4根，那么最后取的那个人就能获胜，由此即可推理得出正确答案．
【解答】解：40是4的倍数，那么如果让甲先取，后取的人就能保证每次取得的和都是4，
即：如果甲取1，那么乙取3，甲取2乙取2，甲取3乙取1，保证每一轮所取的小棒根数都是4，
这样最后一轮就剩下4根，无论甲取几根，乙都是能取到最后一根，乙能获胜；
所以后取的人保证每一轮所取的小棒根数都是4根才能保证获胜．
20．（4分）1987粒棋子．甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者．现在两人通过抽签决定谁先取．你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？
【分析】因为每人每次可取1～4粒，所以一定能保证两人所拿的和是5，而1987÷（1+4）＝377……2，所以要想取胜，就要先取2粒，然后看另一个人拿几粒，与他每个回合凑5粒．
【解答】解：1987÷（1+4）＝377……2
答：先取胜，先取先取2粒，然后看另一个人拿几粒，与他每个回合凑5粒．
21．（4分）老两口带着儿子、女儿和一条狗去走亲戚，途中要过一条小河，渡口有一条空船，最多能载60千克，而老两口各重60千克，儿子和女儿各重30千克，狗重10千克．请问他们怎么样才能全部渡过河去？
【分析】老两口只能单独过河；儿子女儿可以同时过河；儿子（或女儿）可以带着狗过河，此外还要考虑船一定要有人划回来才行；据此解答即可．
【解答】解：由于30+30（千克），
所以老两口只能单独过，而子女能同乘一条船过河，由此可按如下方案过河：
1、让儿子和女儿一块过去，
2、女儿或儿子把船划回来，另一人留在岸边；
3、让老两口把船渡过去，对岸剩下的那个子女把船划回来，这样重复2次；这时儿子和女儿又同时回来了；
4、然后让女儿或儿子带着狗把船划过去，把狗留下，然后再划回来；
5、最后两个子女再同时划船到对面，这样四个人和狗就可以安全渡过小河了．
22．（4分）（2014•华罗庚金杯）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．
【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题．
【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）
1024÷（10+1）＝93…1
甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；
以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；
最后都得给甲剩下1～10个，
这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．
23．（5分）有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输．如果甲先取，那么谁将获胜？
【分析】因为每人每次至少取一个，最多取5个，所以一定能保证两人所拿的和是6，而1999÷（1+5）＝1999÷6＝333…1，所以甲先拿1个，然后看乙拿几个，甲拿的球数与乙拿的和是6，甲一定胜利．
【解答】解：1999÷（1+5）
＝1999÷6
＝333……1
答：甲先拿1个，然后看乙拿几个，甲拿的球数与乙拿的和是6，甲一定胜利．
24．（5分）有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜．如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
【分析】后取者必胜，方法是：乙在一堆中取后剩几枚，甲就在另一堆取使其剩相同枚数．什么时候乙把一堆取净了，那甲就把另一堆取净，里面就包括最后一枚；据此解答即可．
【解答】解：甲的获胜方法是：乙在一堆中取后剩几枚，甲就在另一堆取使其剩相同枚数．
什么时候乙把一堆取净了，那甲就把另一堆取净，里面就包括最后一枚；这样甲一定能获胜．
25．（5分）（2018•迎春杯）桌上有一堆糖果共13颗，小明和小刚轮流取糖果，小明先取，每次取的糖果数不超过3颗，不能不取，取完为止，当糖果被取完时，取得糖果总数为偶数的人获胜，问：谁有必胜策略？请说明理由．
【分析】当小明先取1个的时候，接下去无论小刚怎么取，如果小刚两次取的都是单数，那么小明就要想办法使剩下的糖果数是4，让小刚取，这样无论小刚取，小明都有办法使小刚取到奇数个；如果小刚两次取的都是偶数，小明的处理方式相同，还是使余下的糖果数为4．如果小刚取的两次是一个奇数和一个偶数，那小明要想办法使余下的糖果数为5，这样无论小刚怎样取，小明都有办法使小刚从5个当中取到偶数个．
【解答】解：
小明必胜，小明先取第一颗糖果．
26．（5分）（2017•其他模拟）有分别装了88，99个玻璃球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意的球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为输，你能给出方案吗？
【分析】由题意，要想获胜，在一只箱子有超过1个球的情况下，不能一次把另一个箱子中的球取完，否则，对方把前者取剩一颗即胜；同时，在一只箱子有球的情况下，不能把一只箱子中取到一颗，否则，对方把前者取完即胜，总之，除了可以留下（1，0）状态之外，不能出现（1，n）状态或（0，n）（n＞1）状态．
【解答】解：先取者有必胜策略．
先取者先将球数多的一箱中取出若干颗，使两箱数量一样多，留给对手去取，然后，按照对称方法，每次自己取后都保证两箱数量一样多，直至（2，2）．
（1）如果对方某次把其中一箱取剩下1颗，则先手将另一箱取完，留下那箱一颗给对方，则先取者胜；
（2）如果对方某次把其中一箱取完，而另一箱还剩多余1颗，则先取者将另一箱取剩下1颗留给对方，先取者胜；
（3）如果对方某次把其中一箱取剩下2颗，则先取者将另一箱取剩下2颗，变成（2，2）型，此时对方对这个残局的处理必然导致出（1）（2）两种情况之一，先取者胜．
27．（5分）（2014•春蕾杯）梅川分校四（2）班举行取桔子游戏，两位同学轮流把100只桔子从筐内取出．规定每人每次至少取走1只，最多取走5只，直至把筐内的桔子取完，谁取到筐内剩下的最后一只桔子谁获胜．请你写出取桔子获胜的方法（步骤）．
【分析】1、我们不妨逆向推理，如果只剩6个乒乓球，让对方先拿球，你一定能拿到第6个乒乓球．理由是：如果他拿1个，你拿5个；如果他拿2个，你拿4个；如果他拿3个，你拿3个；如果他拿4个，你拿2个；如果他拿5个，你拿1个．2、我们再把100个乒乓球从后向前按组分开，6个乒乓球一组．100不能被6整除，这样就分成17组；第1组4个，后16组每组6个．3、这样先把第1组4个拿完，后16组每组都让对方先拿球，自己拿完剩下的．这样你就能拿到第16组的最后一个，即第100个乒乓球．
【解答】解：先拿4个，他拿n个，你拿6﹣n，依此类推，保证你能得到第100个乒乓球．即第一次拿4个，以后每次不管对手拿几个都把自己上次拿的最后一个球编号+6的所有球都拿走就可以了．
28．（5分）（2012•奥林匹克）一堆计数卡片分别写着2，3，4，5，…，2012．甲先从中抽走1张，然后乙再从中抽走1张，如此轮流下去．如果最后的2张上的数是互质数时，甲胜；如果最后剩下的2个数不是互质数时，乙胜．甲想要获胜有几种抽取方法？各应该怎样抽取卡片？
【分析】如果甲取2，则剩下的数按相邻两数编成（3，4）（5，6）…（2011，2012），当乙取一个数时，甲就取这个组中剩下的另一个数，取到最后剩下的数必是相邻的两个数，必定互质．顺着这个思路去思考．
【解答】解：按照上面的分析，如果甲取偶数4，那么剩下的数同样可以这样去分组：（2，3）（5，6）…（2011，2012）．
接下来当乙取一个数时，甲就取这个组中剩下的另一个数，取到最后剩下的数必是相邻的两个数，必定互质．
从2到2012一共有2012÷2＝1006个偶数，因此就有1006种取法．
答：甲想获胜一共有1006种取法，每种取法都是先取一个偶数，然后将剩下的数按相邻两数为一组，分成1005组，乙取一组中的一个数，甲就取这组中的另一个数．
29．（5分）黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？
【分析】甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划．据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
甲先划，把中间25，26，27 这三个数划去，
就将1 到51 这51 个数分成了两组，每组有24个数，
这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划．
因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜．取的顺序
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
结果
小明
1
1
1
3
小明赢
小刚
3
3
1
小明
1
1
1
1
小明赢
小刚
3
3
2
1
小明
1
3
3
余4个，取法同上
小明赢
小刚
1
1
小明
1
3
1
余4个，取法同上
小明赢
小刚
1
3
小明
1
1
3
余4个，取法同上
小明赢
小刚
2
2
小明
1
1
3
1
小明赢
小刚
2
1
3
1
小明
1
1
3
3
小明赢
小刚
2
1
1
1
小明
1
1
3
3
小明赢
小刚
2
1
2
小明
1
3
1
余5个，取法同上
小明赢
小刚
1
2
小明
1
1
1
余5个，取法同上
小明赢
小刚
2
3
小明
1
1
1
余5个，取法同上
小明赢
小刚
3
2