六年级奥数典型题——冲刺100测评卷14《等积变形》

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试卷满分：100分 考试时间：100分钟
姓名：_________班级：_________得分：_________
一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）
1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（ ）平方厘米．
A．240B．270C．300D．360
【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．
【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，
显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．
而阴影部分由6个小正六边形组成，
所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．
一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），
大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），
故选：B．
2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（ ）
A．25B．40C．49D．50
【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．
【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，
阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49
故选：C．
3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（ ）
A．42B．40C．38D．36
【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2
＝100+36﹣48﹣50
＝38
答：阴影部分的面积是38．
故选：C。
4．一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比（ ）
A．变大了
B．变小了
C．不变
D．高不知道，所以无法比较
【分析】梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，若“上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变，从而得知梯形的面积也不变．
【解答】解：因为梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，
若“上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变，
所以梯形的面积不变．
故选：C．
5．已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】设小等腰三角形的边长是a，大等腰三角形的边长为b，根据勾股定理可分别求出小等腰三角形和大等腰三角形的斜边是多少，然后分别求出大三角形和小三角形的面积和是多少，及正方形的面积是多少，再进行比较．
【解答】解：设小等腰三角形的边长是a，大等腰三角形的边长为b，
则小三角形的斜边是a，大三角形的斜边为b
则正方形的面积是（）2+（）2＝+＝
小等腰三角形与大等腰三角形的面积和：+＝
又因小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，所以正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积相等．
所以它们的比值是1．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分28分）
6．（2分）（2016•学而思杯）如图，已知梯形ABCD中，CD＝10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是 20 ．
【分析】如下图：连接AC，△AEC和△BEC如果都以EC为底，那么它们属于同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；这样整个阴影部分的面积就等于△ADC的面积．
【解答】解：如上图所示：连接AC，△AEC和△BEC如果都以EC为底，那么它们属于同底等高的两个三角形，故，它们的面积相同；
这样整个阴影部分的面积就等于△ADC的面积，而△ADC的高等于梯形的高；
即：阴影部分面积＝△ADC的面积＝DC×高÷2＝10×4÷2＝20．
故：应该填20．
7．（2分）（2015•小机灵杯）如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是 300 平方厘米．
【分析】如图所示，连接AC，与BD交于O，则图中的6个直角三角形的面积相等，即可得出结论．
【解答】解：如图所示，连接AC，与BD交于O，则图中的6个直角三角形的面积相等，所以五边形ABEFD的面积＝6个△ABO的面积＝6×＝300平方厘米，
故答案为300．
8．（2014•中环杯）如图，在一块长为10米，宽为5米的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路，小路任何地方的水平宽度都是1米．则空白部分的草地的面积是 45 平方米．
【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是1米，高是5米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．
【解答】解：10×5﹣1×5
＝50﹣5
＝45（平方米），
答：草地的面积是45平方米．
故答案为：45．
9．（2015•小机灵杯）直角三角形的两条直角边分别是3与9，以三角形的每条边长作为正方形的边长，分别可以画出三个正方形（如图），这个多边形的面积是 193.5 ．
【分析】直角三角形的两条直角边分别是3与9，由勾股定理可得斜边的平方为9+81，求出两个小正方形的面积与直角三角形的面积，即可得出结论．
【解答】解：直角三角形的两条直角边分别是3与9，由勾股定理可得斜边的平方为9+81，为大正方形的面积，
所以总面积为9+81+（9+81）+3×9÷2＝193.5，
故答案为193.5．
10．（2015•走美杯）如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分的面积为 4π﹣8 （圆周率用π表示）．
【分析】
把中间四个“树叶”形的阴影部分，每个都平均分成两份，然后补到正方形的外面，那么阴影部分的总面积＝圆的面积﹣正方形的面积，据此根据圆和正方形的面积公式（对角线的长度×对角线的长度÷2）解答即可．
【解答】解：π×22﹣（2×2）×（2×2）÷2
＝4π﹣8
答：阴影部分的面积为4π﹣8．
故答案为：4π﹣8．
11．（2015•学而思杯）如图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3，那么图中阴影部分的面积是 13.5 ．
【分析】
连接AB、BD，则AB∥CD，所以图中阴影部分ACD的面积就等于三角形BCD的面积，三角形BCD的底是3×2+3，高是3，然后根据三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
（3×2+3）×3÷2
＝9×3÷2
＝13.5
答：图中阴影部分的面积是13.5．
故答案为：13.5．
12．（2011•育苗杯）一个长方形被两条直线分成四个小长方形（如图），其中三个小长方形的面积分别是45、15、30平方厘米．阴影部分的面积是 90 平方厘米．
【分析】由长方形的面积＝长×宽，可知等宽的两个长方形面积的比等于长的比，根据这个等量关系列出方程．
【解答】解：根据长方形的性质，得45和15所在的长方形的长的比是3：1．
设要求的第四块的面积是x平方厘米，
则x：30＝3：1，
解得：x＝90．
故阴影部分的面积是90平方厘米．
故答案为：90．
13．（2015•小机灵杯）长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别是5、16、20平方厘米，那么四边形ADOE的面积是 19 平方厘米．
【分析】连ED，则由题意，EF＝DC，FO＝DO，S△EDO＝2S△EOF＝10，∴S△EDF＝S长方形ABCD＝5+10＝15，可得S长方形ABCD＝60，即可求出四边形ADOE的面积．
【解答】解：连ED，则
由题意，EF＝DC，FO＝DO
∴S△EDO＝2S△EOF＝10，∴S△EDF＝S长方形ABCD＝5+10＝15，
∴S长方形ABCD＝60，
∴四边形ADOE的面积是60﹣5﹣20﹣16＝19，
故答案为19．
14．（2011•走美杯）两个正方形边长分别是10厘米和8厘米，阴影部分面积 42 平方厘米．
【分析】连接AC，CE，GF，阴影部分＝两个正方形面积的一半﹣△AGC﹣△EGC＝正方形的一半﹣△ACF； 再根据正方形、三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AC，CE，GF，
阴影部分＝两个正方形面积的一半﹣△AGC﹣△EGC＝正方形的一半﹣△ACF
阴影部分面积：
10×10÷2+8×8÷2﹣8×10÷2
＝50+32﹣40
＝42（平方厘米）
答：阴影部分面积是42平方厘米．
故答案为：42．
15．（2009•陈省身杯）如图，正方形ABCD的边长是4cm，长方形DEFG中DG的长是5cm，长方形的宽DE为 3.2厘米 ．
【分析】连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解．
【解答】解：如图连接AG
S△AGD＝S正方形ABCD
＝×4×4
＝8（平方厘米）；
8×2÷5
＝16÷5
＝3.2（厘米）；
答：长方形的宽DE为3.2厘米．
故答案为：3.2厘米．
三．解答题（共12小题，满分57分）
16．（4分）（2013•华罗庚金杯模拟）某校科技小组有一块长方形试验田，已知这块试验田的面积是7.79平方米，并且长比宽多2.2米，这个长方形的周长是 12 米．
【分析】（1）解法一、利用平方差公式分解质因数．先将长、宽各扩大10倍，则面积扩大100倍，面积为779，长、宽差为22，这样分数转化成整数．
（2）解法二、利用“弦图”知识解答．将四个同样的试验田拼成一个大正方形，中间小正方形边长是2.2米，面积为2.2×2.2＝4.84（平方米）．大正方形面积为：7.79×4+4.84＝36（平方米）．大正方形边长为6米．大正方形边长等于试验田的长+宽，所以试验田的周长为6×2＝12（米）．
（3）解法三、利用“割补”巧解．根据“长比宽多2.2米”的条件，把多出的部分平均分成两个长方形，把其中的一格长方形移补，再加上一个边长为1.1米的小正方形，这就构成一个大正方形．大正方形的面积为7.79+1.12＝9（平方米），所以原长方形的宽+1.1＝3米，宽＝1.9米，长为1.9+2.2＝4.1米，原长方形周长为（1.9+4.1）×2＝12米．
【解答】解：解法一、利用平方差公式分解质因数．
先将长、宽各扩大10倍，则面积扩大100倍，面积为779，长、宽差为22，这样分数转化成整数．
779＝900﹣121＝302﹣112＝（30+11）×（30﹣11）＝41×29
原来长应为4.1，宽应为2.9，周长为（4.1+2.9）×2＝12（米）．

解法二、利用“弦图”知识解答．
如图，将四个同样的试验田拼成一个大
正方形，中间小正方形边长是2.2米，面积为
2.2×2.2＝4.84（平方米）．大正方形面积为：
7.79×4+4.84＝36（平方米）．大正方形边长为
6米．
大正方形边长等于试验田的长+宽，所以
试验田的周长为6×2＝12（米）．
解法三、利用“割补”巧解．
根据“长比宽多2.2米”的条件，把多出的部分平均分成两个长方形，把其中的一格长方形移补，再加上一个边长为1.1米的小正方形，这就构成一个大正方形（如右上图）．大正方形的面积为7.79+1.12＝9（平方米），所以原长方形的宽+1.1＝3米，宽＝1.9米，长为1.9+2.2＝4.1米，原长方形周长为（1.9+4.1）×2＝12米．
故答案为：12．
17．（4分）（1986•华罗庚金杯）这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如图中阴影部分）的面积是多少？
【分析】在七巧板中最小的三角形的面积占整个正方形面积的，小正方形和平行四边形（阴影部分）的面积都占整个正方形面积的，根据正方形的面积公式：s＝a2，把数据代入公式求出整个正方形的面积，再根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．
【解答】解：20×
＝
＝50（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为50平方厘米．
18．（4分）求如下图形的周长．（单位：cm）
【分析】观察图形、根据线段的平移可知，这个图形的周长等于长23厘米、宽12厘米的长方形的周长与两条2厘米、5厘米长的线段之和，据此计算即可解答问题．
【解答】解：（23+12）×2+5×2+3×2
＝70+10+6
＝86（cm）
答：图形的周长是86cm．
19．（5分）（2010•华罗庚金杯）如图，在正方形ABCD中，正方形AMOP的面积是8平方厘米，正方形CNOQ的面积是24.5平方厘米．问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？
【分析】根据正方形AMOP的面积是8平方厘米，正方形CNOQ的面积是24.5平方厘米，分别求出对角线AO，OC的长，可得正方形ABCD的对角线，即可求出正方形ABCD的面积．
【解答】解：在正方形ABCD中，正方形AMOP的面积是8平方厘米，所以对角线AO＝4cm，
正方形CNOQ的面积是24.5平方厘米，所以对角线OC＝7cm，
因此正方形ABCD的对角线等于4+7＝11cm
所以正方形ABCD的面积是＝60.5平方厘米．
答：正方形ABCD的面积是60.5平方厘米．
20．（5分）把一块棱长12分米的正方体钢坯，熔铸成截面是9平方分米的长方体钢材，铸成的钢材长度是多少？
【分析】钢材从正方体变成长方体，体积保持不变．正方体的体积是12×12×12立方分米，那么长方体的体积也是1728立方分米．又知道长方体的截面积，则可求出长度．
【解答】解：12×12×12÷9＝192（分米）
答；铸成的钢材长度是192分米．
21．（5分）如图是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？
【分析】可设BF的长度为x厘米，则可表示出直线EF上面的三个长方形的长与宽，从右到左分别是：长8厘米，宽x厘米；长12厘米，宽x厘米；长10厘米，宽为[10﹣（12﹣x）]＝（x﹣2）厘米；利用长方形的面积＝长×宽，即可表示出原图形在直线EF上面部分的面积，依据直线EF将此图形分成面积相等的两部分，可知，直线EF上面部分的面积等于原图形总面积的一半，据此可列出方程，依据等式的性质解方程即可得解．
【解答】解：设BF的长度为x厘米，由题意可得：
直线EF上面的三个长方形的长与宽，从右到左分别是：长8厘米，宽x厘米；长12厘米，宽x厘米；长10厘米，宽为[10﹣（12﹣x）]＝（x﹣2）厘米；
8x+12x+10×（x﹣2）＝（8×8+12×12+10×10）÷2
30x﹣20＝154
30x﹣20+20＝154+20
30x＝174
x＝5.8；
答：BF的长度为5.8厘米．
22．（5分）如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？
【分析】因为底边的比是2：1，所以AO：CO＝2：1．故三角形ABO的面积是三角形BCO的面积是2倍．即三角形AC0的面积是三角形ABC的．
在梯形中，三角形ABC与三角形ADC等高，其面积的比等于底边的比．所以三角形ABC的面积是三角形ADC面积的2倍．故三角形ABC的面积是梯形ABCD面积的．
故求出三角形ABC的面积是36×，进而求三角形ABO的面积．
【解答】解：DC∥AB，
所以AO：CO＝AB：CD＝2：1，
所以S△ABO：S△BCO＝2：1
即S△ABO＝ S△ABC．
S△ABC：S△ADC＝AB：CD＝2：1
所以S△ABC＝ S梯形ABCD＝×36＝24．
故S△ABO＝×24＝16
答：阴影部分的面积是16．
23．（5分）如图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，求阴影部分的面积．
【分析】由BH∥EF，所以AB：AE＝BH：EF，即6：（6+8）＝BH：8，求出BH＝（分米）．根据三角形的面积公式，求出阴影的面积即可．
【解答】解：因为BH∥EF，所以AB：AE＝BH：EF，即6：（6+8）＝BH：8．
14BH＝6×8
BH＝48÷14＝（分米）．
阴影部分的面积是：
6×÷2
＝10（平方分米）
答：阴影部分的面积是10平方分米．
24．（5分）（2015•中环杯）5个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为24厘米，求：单个长方形的面积．
【分析】由图形可知，3个长方形的长为正方形的边长24厘米，故长方形的长为8厘米，又长方形的2个长与2个宽的和为正方形的边长24厘米，故长方形的宽为4厘米，即可求出单个长方形的面积．
【解答】解：由图形可知，3个长方形的长为正方形的边长24厘米，故长方形的长为8厘米，
又长方形的2个长与2个宽的和为正方形的边长24厘米，故长方形的宽为4厘米，
所以单个长方形的面积为8×4＝32平方厘米．
25．（5分）（2013•华罗庚金杯）如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？
【分析】把原图形进行变形，则可根据周长的差，求出右上角小正方形的边长是多少厘米，进而可求出大正方形的边长，再根据面积公式可求出大正方形的面积．
【解答】解：80÷4＝20（厘米）
（880﹣20×20）÷20÷2
＝（880﹣400）÷20÷2
＝480÷20÷2
＝12（厘米）
（12+20）×（12+20）
＝32×32
＝1024（平方厘米）
答：大正方形的面积是1024平方厘米．
26．（5分）（2009•中环杯）已知△ABC面积为5，且BD＝2DC，AE＝ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．
【分析】解析有 AE＝ED 可以得到 S△ABE＝S△BED，S△AEF＝S△DEF，这样可以把阴影部分的面积转化成规则图形△BDF 或△ABF 的面积．又 BD＝2DC，那么 S△BDF＝2S△CDF．所以如果 S△CDF是 1 份，那么 S△BDF和 S△ABF都是 2 份，S△ABC是 5 份，面积是 5，得到 1 份的面积是 1，问题得以解决．
【解答】解：因为AE＝ED 所以 S△ABE＝S△BED，S△AEF＝S△DEF，又因为 BD＝2DC，那么 S△BDF＝2S△CDF，S阴影部分的面积＝S△BDF＝S△ABF，如果 S△CDF是 1 份，那么 S△BDF和 S△ABF都是 2 份，S△ABC是 5 份，因为△ABC面积为5面积是5，那么阴影部分面积就是2．
答：阴影部分面积是2．
27．（5分）（2018•其他模拟）四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM面积是多少？
【分析】连接BD，则阴影部分被分成了两部分，因为M为AB的中点，所以可得三角形ADM与三角形BDM的面积相等；N为CD的中点，所以可得三角形BDN与三角形BCN的面积相等；据此可得阴影部分的面积等于空白处的面积，即阴影部分的面积等于这个四边形ABCD的面积的一半，据此即可解答．
【解答】解：连接BD，
因为M为AB的中点，所以可得三角形ADM与三角形BDM的面积相等；
N为CD的中点，所以可得三角形BDN与三角形BCN的面积相等；
所以阴影部分的面积是：80÷2＝40（平方厘米）
答：阴影部分BNDM的面积是40平方厘米．