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湖南省长沙市中雅培粹学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）
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1.下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ）
A.B.C.D.
3.把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A.B.C.D.
4.方程的根的情况是（ ）．
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C.D.
6.已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ）
A.3B.4C.5D.6
7.设一元二次方程 两根为 ，则 的值为（ ）
A.1B.C.0D.3
8.已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A.与轴相离、与轴相切B.与轴、轴都相离
C.与轴相切、与轴相离D.与轴、轴都相切
10.二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式：x3﹣4xy2=_____．
12.如图，在中，，，则的度数是__________．
13.如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则____________°．
14.如图将绕点逆时针旋转得到，其中点与是对应点，点与是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为__________．
15.如图菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
16.如图，在中，尺规作图部分作法如下：
（1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．若，，则__________．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17.计算：
18.先化简，再求值：其中．
19.如图，已知∠A＝27°，∠CBE＝90°，∠C＝30°，则∠D的度数为___．
20.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标__________；
（2）画出将绕点逆时针旋转后得到的；
（3）求的面积．
21.随着我市社会经济发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽查部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成尚不完整的表和图(如图)．
根据以上信息回答下列问题：
（1）a＝_______，b＝_______， ________，并将条形统计图补充完整；
（2）在这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在________组；
（3）若这个企业有3 000名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数．
22.年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型其个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23.如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，，，垂足为点．
（1）求证：为切线；
（2）若，，求的半径．
24.抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，证明：点在直线上．
25.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线经过抛物线（，，是常数，）的顶点和该抛物线与轴的交点，则把该直线称为抛物线的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
（1）若直线是抛物线的“心心相融线”，求的值．
（2）若过原点的抛物线（，是常数，且）的“心心相融线”为，则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）当常数满足时，求抛物线（，，是常数，）的“心心相融线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
组别
个人年消费金额x/元
频数(人数)
频率
A
18
0.15
B
a
b
C
D
24
0.20
E
12
0.10
合计
c
1.00
1.下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ）
A.B.C.D.
3.把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A.B.C.D.
4.方程的根的情况是（ ）．
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C.D.
6.已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ）
A.3B.4C.5D.6
7.设一元二次方程 两根为 ，则 的值为（ ）
A.1B.C.0D.3
8.已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A.与轴相离、与轴相切B.与轴、轴都相离
C.与轴相切、与轴相离D.与轴、轴都相切
10.二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式：x3﹣4xy2=_____．
12.如图，在中，，，则的度数是__________．
13.如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则____________°．
14.如图将绕点逆时针旋转得到，其中点与是对应点，点与是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为__________．
15.如图菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______．
16.如图，在中，尺规作图部分作法如下：
（1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．若，，则__________．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17.计算：
18.先化简，再求值：其中．
19.如图，已知∠A＝27°，∠CBE＝90°，∠C＝30°，则∠D的度数为___．
20.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标__________；
（2）画出将绕点逆时针旋转后得到的；
（3）求的面积．
21.随着我市社会经济发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查，随机抽查部分员工，记录每个人年消费金额，并将调查数据适当整理，绘制成尚不完整的表和图(如图)．
根据以上信息回答下列问题：
（1）a＝_______，b＝_______， ________，并将条形统计图补充完整；
（2）在这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在________组；
（3）若这个企业有3 000名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数．
22.年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型其个，且每个“神舟”模型的售价为元，“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23.如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，，，垂足为点．
（1）求证：为切线；
（2）若，，求的半径．
24.抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，证明：点在直线上．
25.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某直线经过抛物线（，，是常数，）的顶点和该抛物线与轴的交点，则把该直线称为抛物线的“心心相融线”．根据该约定，请完成下列各题：
（1）若直线是抛物线的“心心相融线”，求的值．
（2）若过原点的抛物线（，是常数，且）的“心心相融线”为，则代数式是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）当常数满足时，求抛物线（，，是常数，）的“心心相融线”与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．
组别
个人年消费金额x/元
频数(人数)
频率
A
18
0.15
B
a
b
C
D
24
0.20
E
12
0.10
合计
c
1.00
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