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2024年湖南省娄底市名校数学九上开学质量检测试题【含答案】
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这是一份2024年湖南省娄底市名校数学九上开学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知点(-2, )，(-1, )，(1, )都在直线y=-3x+b上，则、、的值大小关系是（ ）
A．>>B．>>C．<2、（4分）下列四个选项中，关于一次函数的图象或性质说法错误的是
A．随的增大而增大B．经过第一，三，四象限
C．与轴交于D．与轴交于
3、（4分）正方形的一条对角线之长为3，则此正方形的边长是（ ）
A．B．3C．D．
4、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）函数的图像经过一、二、四象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
6、（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠0B．x＝2C．x＞2D．x≠2
7、（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作交BC的延长线于点F，连结若，则EF的值为
A．3B．C．D．4
8、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知平行四边形ABCD中，，，AE为BC边上的高，且，则平行四边形ABCD的面积为________．
10、（4分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原参加旅游的同学有x人，则根据题意可列方程___________________________ .
11、（4分）在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是
12、（4分）如图，AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB，AD＝2，BC＝10，则EF＋PQ长为__________．
13、（4分）等腰三角形中，两腰上的高所在的直线所形成的锐角为35°，则等腰三角形的底角为___________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）明德中学在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费3000元，购买乙种足球共花费2100元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）为响应国家“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
15、（8分）甲、乙两台机床同时生产一种零件．在连续周中，两台机床每周出次品的数量如下表．
（1）分别计算两组数据的平均数与方差；
（2）两台机床出次品的平均数怎样？哪台机床出次品的波动性小？
16、（8分）八年级班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数如图所示(分数为整数，满分分)．请观察图形，回答下列问题：
（1）该班有____名学生：
（2）请估算这次测验的平均成绩．
17、（10分）某公司与销售人员签订了这样的工资合同：工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售一件产品，奖励工资10元.设某销售员销售产品x件，他应得工资记为y元.
（1）求y与x的函数关系式.
（2）该销售员的工资为4100元，他这个月销售了多少件产品？
（3）要使每月工资超过4500元，该月的销售量应当超过多少件？
18、（10分）求证：菱形的对角线互相垂直．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
20、（4分）因式分解：2x2﹣2＝_____．
21、（4分）在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩_____．
22、（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________.
23、（4分）一元二次方程的两根为，，若，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．
（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式；
② y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若≥9，求k的取值范围
25、（10分）在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义：若y′= ,则称点Q为点P的“可控变点”。例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2).
结合定义，请回答下列问题：
(1)点(−3,4)的“可控变点”为点 ___.
(2)若点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为___；
(3)点P为直线y=2x−2上的动点,当x⩾0时,它的“可控变点”Q所形成的图象如图所示(实线部分含实心点).请补全当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象.
26、（12分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
表2 民主测评票数统计表（单位：张）
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）当a=0.6时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
先根据直线y=-1x+b判断出函数的图象特征，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】
∵直线y=-1x+b，k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵-2＜-1＜1，
∴y1＞y2＞y1．
故选B．
本题考查的是一次函数的图像与性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
2、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质，判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】
解：∵y＝x−2，k＝1，
∴该函数y随x的增大而增大，故选项A正确，
该函数图象经过第一、三、四象限，故选项B正确，
与x轴的交点为（2，0），故选项C错误，
与y轴的交点为（0，−2），故选项D正确，
故选：C．
本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3、A
【解析】
根据正方形的性质和勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：设正方形的边长为a，
∵正方形的一条对角线之长为3，
∴a2+a2=32，
∴a=（负值已舍去），
故选：A．
本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
4、D
【解析】
由勾股定理的逆定理可判定△BAC是直角三角形，继而根据求出平行四边形ABCD的面积即可求解．
【详解】
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
5、C
【解析】
函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，可得m+1<0，截距-（4m-3）>0，解不等式组可得答案．
【详解】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有
解之得：m<−1.
故答案选C.
本题考查已知一次函数经过的象限，求参数的取值范围.熟记一次函数，k和b与函数图象所在象限的关系是解决此题的关键.
6、D
【解析】
本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1．
【详解】
解：由代数式有意义可知：x﹣2≠1，
∴x≠2，
故选：D．
本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义．
7、B
【解析】
根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=1
∵E是AB中点
∴AB=BC=2
∴BF=3
在Rt△BEF中，EF=.
故选B．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．
8、C
【解析】
根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【详解】
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、x2-1=（x+1）（x-1），正确；
D、等式不成立，故选项错误．
故选：C．
熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2或1
【解析】
分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可．
【详解】
①如图，高AE在△ABC内时，在Rt△ABE中，BE==9，
在Rt△AEC中，CE==5，
∴BC=BE+EC=14，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=1．
②如图，高AE在△ABC外时，BC=BE-CE=9-5=4，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=12×4=2，
故答案为1或2．
本题考查平行四边形的性质．四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
10、
【解析】
分析: 等量关系为：原来人均单价-实际人均单价=3，把相关数值代入即可．
详解: 原来人均单价为，实际人均单价为，
那么所列方程为,
故答案为：
点睛: 考查列分式方程；得到人均单价的关系式是解决本题的关键.
11、+、1
【解析】
设y=kx+b，把x=-2，y=-5；x=0，y=1代入得：
解之得即y=3x+1．
所以第三个键和第四个键应是+、1．
12、1
【解析】
由AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB，可得GH是梯形ABCD的中位线，EF是梯形AGHD的中位线，PQ是梯形GBCH的中位线，然后根据梯形中位线的性质求解即可求得答案．
【详解】
∵AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB
∴GH是梯形ABCD的中位线，EF是梯形AGHD的中位线，PQ是梯形GBCH的中位线
∵AD＝2，BC＝10
∴
∴
∴
故答案为：1．
本题考查了梯形中位线的问题，掌握梯形中位线的性质是解题的关键．
13、17.5°或72.5°
【解析】
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：①如图，当∠BAC是钝角时，
由题意：AB=AC，∠AEH=∠ADH=90°，∠EHD=35°，
∴∠BAC=∠EAD=360°-90°-90°-35°=145°，
∴∠ABC=；
②如图，当∠A是锐角时，
由题意：AB=AC，∠CDA=∠BEA=90°，∠CHE=35°，
∴∠DHE=145°，
∴∠A=360°-90°-90°-115°=35°，
∴∠ABC=；
故答案为：17.5°或72.5°．
本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；（2）这所学校最多可购买25个乙种足球．
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元，根据数量=总价÷单价结合3000元购买的甲种足球数量是2100元购买的乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过2950元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元
依题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意
此时，
答：购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，
依题意得：
解得：
答：这所学校最多可购买25个乙种足球．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
15、（1）甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲的方差为：；乙的方差为：；
（2）两台机床出次品的平均数相同；甲机床出次品的波动性小.
【解析】
（1）先分别计算出两组数据的平均数，然后利用方差公式分别计算即可；
（2）根据（1）的数据进行比较得出答案即可.
【详解】
（1）甲的平均数为：；
乙的平均数为：；
甲的方差为：S2甲==；
乙的方差为：S2乙==；
（2）由（1）可得两台机床出次品的平均数相同，
∵S2甲< S2乙，
∴甲机床出次品的波动性小.
本题主要考查了平均数与方差的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、（1）60 （2）61分
【解析】
（1）把各分数段的人数相加即可．
（2）用总分数除以总人数即可求出平均分．
【详解】
（1）（名）
故该班有60名学生．
（2）（分）
故这次测验的平均成绩为61分．
本题考查了条形统计图的问题，掌握条形统计图的性质、平均数的算法是解题的关键．
17、 (1) y=10x+3000（x≥0，且x为整数）；(2) 110件产品；(3) 超过150件.
【解析】
分析：(1).根据营销人员的工资由两部分组成，一部分为基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励10元，得出y与x的函数关系式即可；(2).利用某营销员某月工资为4100元，可求出他销售了多少件产品；(3).根据月工资超过4500元，求不等式解集即可.
此题考查了一次函数的综合应用；关键是读懂题意得出y与x之间的函数关系式，进而利用等量关系分别求解；一次函数及其图像是初中代数中比较重要的内容.
详解：∵销售人员的工资由两部分组成，一部分为基本工资，每人每月3000元；
另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励10元，
设营销员李亮月销售产品x件，他应得的工资为y元，
∴y=10x+3000（，且x为整数）；
（2）∵若该销售员的工资为4100元，
则10x+3000=4100，解之得：x=110，
∴该销售员的工资为4100元，他这个月销售了110件产品；
（3）根据题意可得：解得，
∴要使每月工资超过4500元，该月的销售量应当超过150件.
点睛：本题考查了一次函数的性质，熟记性质，会灵活运用性质是解题的关键.
18、详见解析
【解析】
根据AD=AB，OD=OB，AO=AO，推得△AOD≌△AOB，所以对角线AC，BD互相垂直．
【详解】
已知：菱形ABCD中，AC，BD交于点O，求证：AC⊥BD ．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OD=OB，
又∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOB（SSS），
∴∠AOD=∠AOB，
又∵∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=90°，
即 AC⊥BD ．故菱形的对角线互相垂直 ．
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．
故答案为：1．
此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
20、
【解析】
首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
【详解】
原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为2（x+1）（x﹣1）．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
21、90分．
【解析】
试题分析：根据加权平均数的计算公式求解即可．
解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）．
故答案为90分．
考点：加权平均数．
22、6
【解析】
∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，
∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，
∴CN+4+AN=10，
∴CN+AN=AC=6.
故答案为6.
23、-7
【解析】
先用根与系数的关系，确定m、n的和与积，进一步确定a的值，然后将m代入，得到，最后再对变形即会完成解答.
【详解】
解：由得：m+n=-5，mn=a，即a=2
又m是方程的根，则有，
所以+（m+n）=-2-5=-7
故答案为-7.
本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形，其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ；(2) ；(3)四边形ABCD为菱形，-2≤k≤2且k≠1．
【解析】
(1)将k=1代入解析式中求出解析式，再令x=1，求出B点坐标进而求出OB的长，再在Rt△AOB中使用勾股定理即可求解；
(2)①当k=3时，求出AB的解析式，进而求出点A的坐标，再根据对称性求出C点坐标，进而求出BC的解析式，再写出自变量的取值范围即可；
②先证明OB=OD，OA=OC，且AC⊥BD，即可证明四边形ABCD为菱形，进而求出其面积．
【详解】
解：(1)由题意知，将k=1代入y＝kx－3，
即直线AB的解析式为：y=x-3，
令x=1，求出B点坐标为(1,-3)，故OB=3，
令y=1，求出A点坐标为(3,1)，故OA=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理有：，
故答案为：；
(2)①当k=3时，直线AB的解析式为：y=3x-3，
令y=1，则x=1，求出点A的坐标为(1,1)，
令x=1，则y=-3，求出点B的坐标为(1,-3),
∵点C与点A关于y轴对称，故点C（-1，1），
设直线BC的解析式为：，代入B、C两点坐标：
，解得，故直线BC的解析式为：，
∴以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式为：，
故答案为：；
②四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵点B（1，-3），点D（1，3），故OB=OD，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OA=OC，
由对角线互相平分的四边形是平行四边形知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形；
令y＝kx－3中y=1，解得，∴A(，1)，则点C(，1)，
则AC=，
∴菱形ABCD的面积为，
解得：且，
故答案为：且．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中，熟练掌握一次函数的图像和性质及菱形的性质和判定是解决本题的关键．
25、（1）(−3,−4)；（2）（2）(3,2)或(−1,−2)；（3）见解析；
【解析】
（1）根据“可控变点”的定义可得点（-3，4）的“可控变点”的坐标；
（2）分两种情况进行讨论：当m≥0时，点M的纵坐标为2，令2=x-1，则x=3，即M（3，2）；当m<0时，点M的纵坐标为-2，令-2=x-1，则x=3，即M（-1，-2）；
（3）根据P（x，2x-2），当x<0时，点P的“可控变点”Q为（x，-2x+2），可得Q的纵坐标为-2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=-2x+2，据此可得当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象．
【详解】
(1)根据“可控变点”的定义可得,点(−3,4)的“可控变点”为点(−3,−4)；
故答案为：(−3,−4)；
(2)∵点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，
∴①当m⩾0时,点M的纵坐标为2,令2=x−1,则x=3,即M(3,2)；
②当m<0时,点M的纵坐标为−2,令−2=x−1,则x=3,即M(−1,−2)；
∴点M的坐标为(3,2)或(−1,−2)；
故答案为：(3,2)或(−1,−2)；
(3)∵点P为直线y=2x−2上的动点，
∴P(x,2x−2)，
当x<0时,点P的“可控变点”Q为(x,−2x+2)，
即Q的纵坐标为−2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=−2x+2，
∴当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象如下图；
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于分情况讨论理解题意.
26、（1）89分（2）当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高
【解析】
（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a＝0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；
（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，则乙的综合得分＝89（1−a）＋88a，甲的综合得分＝92（1−a）＋87a，再分别比较甲、乙的综合得分，甲的综合得分高时即当甲的综合得分＞乙的综合得分时，可以求得a的取值范围；同理甲的综合得分高时即当甲的综合得分＜乙的综合得分时，可以求得a的取值范围．
【详解】
（1）甲的演讲答辩得分＝＝92（分），
甲的民主测评得分＝40×2＋7×1＋3×0＝87（分），
当a＝0.6时，甲的综合得分＝92×（1−0.6）＋87×0.6＝36.8＋52.2＝89（分）；
答：当a＝0.6时，甲的综合得分是89分；
（2）∵乙的演讲答辩得分＝＝89（分），
乙的民主测评得分＝42×2＋4×1＋4×0＝88（分），
∴乙的综合得分为：89（1−a）＋88a，甲的综合得分为：92（1−a）＋87a，
当92（1−a）＋87a＞89（1−a）＋88a时，即有a＜，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高；
当92（1−a）＋87a＜89（1−a）＋88a时，即有a＞，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
答：当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
本题考查的是平均数的求法．同时还考查了解不等式，本题求a的范围时要注意“0.5≤a≤0.8”这个条件．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-2
1
4
7
10
甲
乙
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知点(-2, )，(-1, )，(1, )都在直线y=-3x+b上，则、、的值大小关系是（ ）
A．>>B．>>C．<
A．随的增大而增大B．经过第一，三，四象限
C．与轴交于D．与轴交于
3、（4分）正方形的一条对角线之长为3，则此正方形的边长是（ ）
A．B．3C．D．
4、（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）函数的图像经过一、二、四象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
6、（4分）若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠0B．x＝2C．x＞2D．x≠2
7、（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作交BC的延长线于点F，连结若，则EF的值为
A．3B．C．D．4
8、（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知平行四边形ABCD中，，，AE为BC边上的高，且，则平行四边形ABCD的面积为________．
10、（4分）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原参加旅游的同学有x人，则根据题意可列方程___________________________ .
11、（4分）在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是
12、（4分）如图，AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB，AD＝2，BC＝10，则EF＋PQ长为__________．
13、（4分）等腰三角形中，两腰上的高所在的直线所形成的锐角为35°，则等腰三角形的底角为___________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）明德中学在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费3000元，购买乙种足球共花费2100元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）为响应国家“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
15、（8分）甲、乙两台机床同时生产一种零件．在连续周中，两台机床每周出次品的数量如下表．
（1）分别计算两组数据的平均数与方差；
（2）两台机床出次品的平均数怎样？哪台机床出次品的波动性小？
16、（8分）八年级班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数如图所示(分数为整数，满分分)．请观察图形，回答下列问题：
（1）该班有____名学生：
（2）请估算这次测验的平均成绩．
17、（10分）某公司与销售人员签订了这样的工资合同：工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售一件产品，奖励工资10元.设某销售员销售产品x件，他应得工资记为y元.
（1）求y与x的函数关系式.
（2）该销售员的工资为4100元，他这个月销售了多少件产品？
（3）要使每月工资超过4500元，该月的销售量应当超过多少件？
18、（10分）求证：菱形的对角线互相垂直．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
20、（4分）因式分解：2x2﹣2＝_____．
21、（4分）在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩_____．
22、（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________.
23、（4分）一元二次方程的两根为，，若，则______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－3（k≠0）交x轴于点A，交y轴与点B．
（1）如图1，若k＝1，求线段AB的长；
（2）如图2，点C与点A关于y轴对称，作射线BC；
①若k＝3，请写出以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式；
② y轴上有一点D(0，3)，连接AD、CD，请判断四边形ABCD的形状并证明；若≥9，求k的取值范围
25、（10分）在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义：若y′= ,则称点Q为点P的“可控变点”。例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2).
结合定义，请回答下列问题：
(1)点(−3,4)的“可控变点”为点 ___.
(2)若点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为___；
(3)点P为直线y=2x−2上的动点,当x⩾0时,它的“可控变点”Q所形成的图象如图所示(实线部分含实心点).请补全当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象.
26、（12分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
表2 民主测评票数统计表（单位：张）
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）当a=0.6时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
先根据直线y=-1x+b判断出函数的图象特征，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】
∵直线y=-1x+b，k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵-2＜-1＜1，
∴y1＞y2＞y1．
故选B．
本题考查的是一次函数的图像与性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
2、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质，判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】
解：∵y＝x−2，k＝1，
∴该函数y随x的增大而增大，故选项A正确，
该函数图象经过第一、三、四象限，故选项B正确，
与x轴的交点为（2，0），故选项C错误，
与y轴的交点为（0，−2），故选项D正确，
故选：C．
本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
3、A
【解析】
根据正方形的性质和勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：设正方形的边长为a，
∵正方形的一条对角线之长为3，
∴a2+a2=32，
∴a=（负值已舍去），
故选：A．
本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
4、D
【解析】
由勾股定理的逆定理可判定△BAC是直角三角形，继而根据求出平行四边形ABCD的面积即可求解．
【详解】
解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，
S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
5、C
【解析】
函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，可得m+1<0，截距-（4m-3）>0，解不等式组可得答案．
【详解】
由已知得,函数y=(m+1)x−(4m−3)的图象在第一、二、四象限，
有
解之得：m<−1.
故答案选C.
本题考查已知一次函数经过的象限，求参数的取值范围.熟记一次函数，k和b与函数图象所在象限的关系是解决此题的关键.
6、D
【解析】
本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1．
【详解】
解：由代数式有意义可知：x﹣2≠1，
∴x≠2，
故选：D．
本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义．
7、B
【解析】
根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF=1
∵E是AB中点
∴AB=BC=2
∴BF=3
在Rt△BEF中，EF=.
故选B．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．
8、C
【解析】
根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【详解】
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、x2-1=（x+1）（x-1），正确；
D、等式不成立，故选项错误．
故选：C．
熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2或1
【解析】
分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可．
【详解】
①如图，高AE在△ABC内时，在Rt△ABE中，BE==9，
在Rt△AEC中，CE==5，
∴BC=BE+EC=14，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=1．
②如图，高AE在△ABC外时，BC=BE-CE=9-5=4，
∴S平行四边形ABCD=BC×AE=12×4=2，
故答案为1或2．
本题考查平行四边形的性质．四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
10、
【解析】
分析: 等量关系为：原来人均单价-实际人均单价=3，把相关数值代入即可．
详解: 原来人均单价为，实际人均单价为，
那么所列方程为,
故答案为：
点睛: 考查列分式方程；得到人均单价的关系式是解决本题的关键.
11、+、1
【解析】
设y=kx+b，把x=-2，y=-5；x=0，y=1代入得：
解之得即y=3x+1．
所以第三个键和第四个键应是+、1．
12、1
【解析】
由AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB，可得GH是梯形ABCD的中位线，EF是梯形AGHD的中位线，PQ是梯形GBCH的中位线，然后根据梯形中位线的性质求解即可求得答案．
【详解】
∵AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE＝EG＝GP＝PB
∴GH是梯形ABCD的中位线，EF是梯形AGHD的中位线，PQ是梯形GBCH的中位线
∵AD＝2，BC＝10
∴
∴
∴
故答案为：1．
本题考查了梯形中位线的问题，掌握梯形中位线的性质是解题的关键．
13、17.5°或72.5°
【解析】
分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：①如图，当∠BAC是钝角时，
由题意：AB=AC，∠AEH=∠ADH=90°，∠EHD=35°，
∴∠BAC=∠EAD=360°-90°-90°-35°=145°，
∴∠ABC=；
②如图，当∠A是锐角时，
由题意：AB=AC，∠CDA=∠BEA=90°，∠CHE=35°，
∴∠DHE=145°，
∴∠A=360°-90°-90°-115°=35°，
∴∠ABC=；
故答案为：17.5°或72.5°．
本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；（2）这所学校最多可购买25个乙种足球．
【解析】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元，根据数量=总价÷单价结合3000元购买的甲种足球数量是2100元购买的乙种足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过2950元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购进一个乙种足球需要元
依题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意
此时，
答：购买一个甲种足球需要50元，购进一个乙种足球需要70元；
（2）设这所学校可购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，
依题意得：
解得：
答：这所学校最多可购买25个乙种足球．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
15、（1）甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲的方差为：；乙的方差为：；
（2）两台机床出次品的平均数相同；甲机床出次品的波动性小.
【解析】
（1）先分别计算出两组数据的平均数，然后利用方差公式分别计算即可；
（2）根据（1）的数据进行比较得出答案即可.
【详解】
（1）甲的平均数为：；
乙的平均数为：；
甲的方差为：S2甲==；
乙的方差为：S2乙==；
（2）由（1）可得两台机床出次品的平均数相同，
∵S2甲< S2乙，
∴甲机床出次品的波动性小.
本题主要考查了平均数与方差的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、（1）60 （2）61分
【解析】
（1）把各分数段的人数相加即可．
（2）用总分数除以总人数即可求出平均分．
【详解】
（1）（名）
故该班有60名学生．
（2）（分）
故这次测验的平均成绩为61分．
本题考查了条形统计图的问题，掌握条形统计图的性质、平均数的算法是解题的关键．
17、 (1) y=10x+3000（x≥0，且x为整数）；(2) 110件产品；(3) 超过150件.
【解析】
分析：(1).根据营销人员的工资由两部分组成，一部分为基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励10元，得出y与x的函数关系式即可；(2).利用某营销员某月工资为4100元，可求出他销售了多少件产品；(3).根据月工资超过4500元，求不等式解集即可.
此题考查了一次函数的综合应用；关键是读懂题意得出y与x之间的函数关系式，进而利用等量关系分别求解；一次函数及其图像是初中代数中比较重要的内容.
详解：∵销售人员的工资由两部分组成，一部分为基本工资，每人每月3000元；
另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品奖励10元，
设营销员李亮月销售产品x件，他应得的工资为y元，
∴y=10x+3000（，且x为整数）；
（2）∵若该销售员的工资为4100元，
则10x+3000=4100，解之得：x=110，
∴该销售员的工资为4100元，他这个月销售了110件产品；
（3）根据题意可得：解得，
∴要使每月工资超过4500元，该月的销售量应当超过150件.
点睛：本题考查了一次函数的性质，熟记性质，会灵活运用性质是解题的关键.
18、详见解析
【解析】
根据AD=AB，OD=OB，AO=AO，推得△AOD≌△AOB，所以对角线AC，BD互相垂直．
【详解】
已知：菱形ABCD中，AC，BD交于点O，求证：AC⊥BD ．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OD=OB，
又∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOB（SSS），
∴∠AOD=∠AOB，
又∵∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=90°，
即 AC⊥BD ．故菱形的对角线互相垂直 ．
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．
故答案为：1．
此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
20、
【解析】
首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
【详解】
原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为2（x+1）（x﹣1）．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
21、90分．
【解析】
试题分析：根据加权平均数的计算公式求解即可．
解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）．
故答案为90分．
考点：加权平均数．
22、6
【解析】
∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，
∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，
∴CN+4+AN=10，
∴CN+AN=AC=6.
故答案为6.
23、-7
【解析】
先用根与系数的关系，确定m、n的和与积，进一步确定a的值，然后将m代入，得到，最后再对变形即会完成解答.
【详解】
解：由得：m+n=-5，mn=a，即a=2
又m是方程的根，则有，
所以+（m+n）=-2-5=-7
故答案为-7.
本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形，其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) ；(2) ；(3)四边形ABCD为菱形，-2≤k≤2且k≠1．
【解析】
(1)将k=1代入解析式中求出解析式，再令x=1，求出B点坐标进而求出OB的长，再在Rt△AOB中使用勾股定理即可求解；
(2)①当k=3时，求出AB的解析式，进而求出点A的坐标，再根据对称性求出C点坐标，进而求出BC的解析式，再写出自变量的取值范围即可；
②先证明OB=OD，OA=OC，且AC⊥BD，即可证明四边形ABCD为菱形，进而求出其面积．
【详解】
解：(1)由题意知，将k=1代入y＝kx－3，
即直线AB的解析式为：y=x-3，
令x=1，求出B点坐标为(1,-3)，故OB=3，
令y=1，求出A点坐标为(3,1)，故OA=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理有：，
故答案为：；
(2)①当k=3时，直线AB的解析式为：y=3x-3，
令y=1，则x=1，求出点A的坐标为(1,1)，
令x=1，则y=-3，求出点B的坐标为(1,-3),
∵点C与点A关于y轴对称，故点C（-1，1），
设直线BC的解析式为：，代入B、C两点坐标：
，解得，故直线BC的解析式为：，
∴以射线BA和射线BC所组成的图形为函数图像的函数解析式为：，
故答案为：；
②四边形ABCD为菱形，理由如下：
∵点B（1，-3），点D（1，3），故OB=OD，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴OA=OC，
由对角线互相平分的四边形是平行四边形知，四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形；
令y＝kx－3中y=1，解得，∴A(，1)，则点C(，1)，
则AC=，
∴菱形ABCD的面积为，
解得：且，
故答案为：且．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中，熟练掌握一次函数的图像和性质及菱形的性质和判定是解决本题的关键．
25、（1）(−3,−4)；（2）（2）(3,2)或(−1,−2)；（3）见解析；
【解析】
（1）根据“可控变点”的定义可得点（-3，4）的“可控变点”的坐标；
（2）分两种情况进行讨论：当m≥0时，点M的纵坐标为2，令2=x-1，则x=3，即M（3，2）；当m<0时，点M的纵坐标为-2，令-2=x-1，则x=3，即M（-1，-2）；
（3）根据P（x，2x-2），当x<0时，点P的“可控变点”Q为（x，-2x+2），可得Q的纵坐标为-2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=-2x+2，据此可得当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象．
【详解】
(1)根据“可控变点”的定义可得,点(−3,4)的“可控变点”为点(−3,−4)；
故答案为：(−3,−4)；
(2)∵点N(m,2)是函数y=x−1图象上点M的“可控变点”，
∴①当m⩾0时,点M的纵坐标为2,令2=x−1,则x=3,即M(3,2)；
②当m<0时,点M的纵坐标为−2,令−2=x−1,则x=3,即M(−1,−2)；
∴点M的坐标为(3,2)或(−1,−2)；
故答案为：(3,2)或(−1,−2)；
(3)∵点P为直线y=2x−2上的动点，
∴P(x,2x−2)，
当x<0时,点P的“可控变点”Q为(x,−2x+2)，
即Q的纵坐标为−2x+2，即Q的坐标符合函数解析式y=−2x+2，
∴当x<0时，点P的“可控变点”Q所形成的图象如下图；
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于分情况讨论理解题意.
26、（1）89分（2）当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高
【解析】
（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a＝0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；
（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，则乙的综合得分＝89（1−a）＋88a，甲的综合得分＝92（1−a）＋87a，再分别比较甲、乙的综合得分，甲的综合得分高时即当甲的综合得分＞乙的综合得分时，可以求得a的取值范围；同理甲的综合得分高时即当甲的综合得分＜乙的综合得分时，可以求得a的取值范围．
【详解】
（1）甲的演讲答辩得分＝＝92（分），
甲的民主测评得分＝40×2＋7×1＋3×0＝87（分），
当a＝0.6时，甲的综合得分＝92×（1−0.6）＋87×0.6＝36.8＋52.2＝89（分）；
答：当a＝0.6时，甲的综合得分是89分；
（2）∵乙的演讲答辩得分＝＝89（分），
乙的民主测评得分＝42×2＋4×1＋4×0＝88（分），
∴乙的综合得分为：89（1−a）＋88a，甲的综合得分为：92（1−a）＋87a，
当92（1−a）＋87a＞89（1−a）＋88a时，即有a＜，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高；
当92（1−a）＋87a＜89（1−a）＋88a时，即有a＞，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
答：当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
本题考查的是平均数的求法．同时还考查了解不等式，本题求a的范围时要注意“0.5≤a≤0.8”这个条件．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-2
1
4
7
10
甲
乙
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
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