2024年湖南省郴州市汝城县数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份2024年湖南省郴州市汝城县数学九上开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列计算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）在四边形ABCD中，AC＝BD．顺次连接四边形ABCD四边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定
3、（4分）如图，每个图形都是由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形面积为，第②个图形的面积为，第③个图形的面积为，…，那么第⑥个图形面积为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列根式中是最简根式的是（ ）
A． B． C． D．
5、（4分）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
6、（4分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折B．7折
C．8折D．9折
7、（4分）介于两个相邻整数之间，这两个整数是( )
A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6
8、（4分）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于x的一元二次方程x22x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是______ ．
10、（4分）当x _________时，分式有意义．
11、（4分）某干果店本周售出若干千克三种核桃，销售单价、销售量如图所示，则可估算出该店本周销售核桃的平均单价是_______元．
12、（4分）若分式的值为零，则__________.
13、（4分）已知关于x的一次函数同时满足下列两个条件：函数y随x的增大而减小；当时，对应的函数值，你认为符合要求的一次函数的解析式可以是______写出一个即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如果P 是正方形ABCD 内的一点，且满足∠APB＋∠DPC＝180°，那么称点P 是正方形 ABCD 的“对补点”.
（1）如图1，正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点M，求证：点M 是正方形ABCD 的对补点；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A（1，1），C（3，3）.除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.
15、（8分）计算: （1）； (2).
16、（8分）化简求值：，其中m＝﹣1．
17、（10分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2，并求出S．
18、（10分）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
(1)由图1通过观察、猜想可以得到线段AC与线段BC的数量关系为___，位置关系为__；
(2)保持图1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线AD、BE在直线MN的同侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明(第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用)；
(3)保持图2中的△ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有___关系.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____．
20、（4分）若函数是正比例函数，则m=__________.
21、（4分）已知一次函数经过，且与y轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为______.
22、（4分）命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为________________________
23、（4分）如图所示，点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，该一次函数的图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）问题情境：
平面直角坐标系中，矩形纸片OBCD按如图的方式放置已知，，将这张纸片沿过点B的直
线折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD交于点E．
数学探究：
点C的坐标为______；
求点E的坐标及直线BE的函数关系式；
若点P是x轴上的一点，直线BE上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
25、（10分）如图，已知是等边三角形，点在边上，是以为边的等边三角形，过点作的平行线交线段于点，连接。
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形。
26、（12分）已知下面一列等式：
；；；；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据二次根式的运算法则，化简各式进行.
【详解】
A、+，故A选项错误；
B、-4＜0，-9＜0，没有意义，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选：C．
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则
2、B
【解析】
先由三角形的中位线定理求出四边相等，进行判断．
【详解】
四边形EFGH的形状是菱形，
理由如下：
在△ABC中，F、G分别是AB、BC的中点，
故可得：FG＝AC，同理EH＝AC，GH＝BD，EF＝BD，
在四边形ABCD中，AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
故选B．
此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．
3、C
【解析】
观察图形，小正方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是1，然后求解即可．
【详解】
解：∵第①个图形的面积为1×2×1＝2，
第②个图形的面积为2×3×1＝6，
第③个图形的面积为3×4×1＝12，
…，
∴第⑥个图形的面积为6×7×1＝42，
故选：C．
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，并找到图形的变化规律．
4、B
【解析】
试题解析：A选项中，被开方数中含b2，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
B选项中，的被开方数不能因式分解，不含开方开的尽的因式，是最简二次根式，故本选项正确；
C选项中，被开方数含分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
D选项中，被开方数含能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式，故本选项错误.
故选B.
5、A
【解析】
由函数解析式可知函数关于y轴对称，当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即可求解．
【详解】
由已知可知函数y关于y轴对称，∴y轴与直线PM重合．当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即图象在x轴上方，所以点M是原点．
故选A．
本题考查了反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
6、B
【解析】
设可打x折，则有1200×-800≥800×5%，
解得x≥1．
即最多打1折．
故选B．
本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．
7、B
【解析】
根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案.
【详解】
∵9<15<16，
∴3<<4，
故选B.
本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．
8、C
【解析】
先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、62+72≠82，所以以6，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠82，所以以5，6，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、42+52=（）2，所以以，4，5为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，所以以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、m≤1
【解析】
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10、≠3
【解析】
解：根据题意得x-3≠0，即x≠3
故答案为：≠3
11、1
【解析】
根据题意，结合图形可知，所求单价即为加权平均数，利用加权平均数的定义计算解答即可
【详解】
由加权平均数得，24×25%+20×1%+10×60%=6+3+6=1，
故答案为：1．
考查了加权平均数的定义，熟记加权平均数的定义，掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
12、-1
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【详解】
解：分式的值为零，
则a+1=0，
解得：a=-1．
故答案为-1．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
13、(答案不唯一)
【解析】
先设一次函数,由一次函数y随x的增大而减小可得:,由当时,对应的函数值可得:,故符合条件的一次函数中,即可.
【详解】
设一次函数,
因为一次函数y随x的增大而减小,
所以,
因为当时,对应的函数值
所以,
所以符合条件的一次函数中,即可.
故答案为:.
本题主要考查一次函数图象和性质,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象和性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）证明见解析；
（2）对补点如：N（，）．证明见解析
【解析】
试题分析：(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到∠DMC＝∠AMB＝90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上
除（2，2）外的任意点均可,通过证明△DCN≌△BCN,得到∠CND＝∠CNB,利用邻补角的性质即可得出结论.
试题解析：
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD．
∴ ∠DMC＝∠AMB＝90°.
即 ∠DMC＋∠AMB＝180°．
∴ 点M是正方形ABCD的对补点．
（2）对补点如：N（，）．
说明：在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上
除（2，2）外的任意点均可.
证明（方法一）：
连接AC ，BD
由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（1，1），C（3，3）分别代入，
可求得直线AC的解析式为：y＝x．
则点N（，）是直线AC上除对角线交点外的一点，且在正方形ABCD内.
连接AC，DN，BN，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．
又∵ CN＝CN，
∴ △DCN≌△BCN．
∴ ∠CND＝∠CNB．
∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，
∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．
∴ 点N是正方形ABCD的对补点．
证明（方法二）：
连接AC ，BD，
由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．
设点N是线段AC上的一点（端点A，C及对角线交点除外），
连接AC，DN，BN，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．
又∵ CN＝CN，
∴ △DCN≌△BCN．
∴ ∠CND＝∠CNB．
∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，
∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．
∴ 点N是正方形ABCD除对角线交点外的对补点．
设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，
把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．
在1＜x＜3范围内，任取一点均为该正方形的对补点，如N（，）．
15、（1）6；（2）
【解析】
分析：(1)根据二次根式的乘法进行计算即可;（2）首先化简各式进而合并同类项求出即可.
详解：（1）(1)原式;
(2)（π+1）0-+||=1-2+ =1-；
点睛：本题考查了二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.
16、m﹣3，-2．
【解析】
直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
＝＝m﹣3，
把m＝﹣1代入得，原式＝﹣1﹣3＝﹣2．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
17、（1）见解析，A1，B1，C1的坐标分别为；（3，1），（1，﹣1），（2，2）；（2）见解析，2
【解析】
（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A2、C2得到△A2B2C2，然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算．
【详解】
（1）如图，△A1B1C1为所作；点A1，B1，C1的坐标分别为；（3，1），（1，﹣1），（2，2）
（2）如图，△A2B2C2为所作，．
本题考查了作图-旋转变换和轴对称变换，根据旋转的性质作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18、（1）AC=BC，AC⊥BC，；（2）DE=AD+BE，理由见解析；（3）DE=BE−AD.
【解析】
（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可证得△ADC≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系；
（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．
【详解】
(1)AC=BC，AC⊥BC，
在△ADC与△BEC中, ，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB.
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°−∠DCA−∠ECB=90°.
∴AC⊥BC，
故答案为：AC=BC，AC⊥BC；
(2)DE=AD+BE.理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°−∠BCE，
在△ACD与△CBE中, ，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，DC=EB.
∴DC+CE=BE+AD，
即DE=AD+BE.
(3)DE=BE−AD.理由如下：
∵∠ACD=∠CBE=90°−∠BCE，
在△ACD与△CBE中,
，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，DC=EB.
∴DC−CE=BE−AD，
即DE=BE−AD，
故答案为：DE=BE−AD.
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＞1
【解析】
观察函数图象，写出在y轴右侧的自变量的取值范围即可．
【详解】
当x＞1时，ax+b＜1，
即不等式ax+b＜1的解集为x＞1．
故答案为：x＞1
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20、2
【解析】
根据正比例函数的定义可得|m|-1=1,m+2≠0.
【详解】
因为函数是正比例函数，
所以|m|-1=1,m+2≠0
所以m=2
故答案为2
考核知识点：正比例函数的定义.理解定义是关键.
21、y=2x+1．
【解析】
用待定系数法，把（﹣1，2），（0，1）分别代入y=kx+b，可求得k,b.
【详解】
解：把（﹣1，2），（0，1）分别代入y=kx+b得，
，
解得，
所以，y=2x+1．
故答案为y=2x+1．
本题考核知识点：待定系数法求一次函数解析式. 解题关键点：掌握求函数解析式的一般方法.
22、矩形是对角线相等的平行四边形
【解析】
把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题。
【详解】
命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是矩形是两条对角线相等的平行四边形，
故答案为：矩形是两条对角线相等的平行四边形。
本题考查命题与逆命题，熟练掌握之间的关系是解题关键.
23、
【解析】
把点A（﹣3，4）代入y＝﹣3x+b求出点B的坐标，然后得到OB=5,利用A的坐标即可求出△AOB的面积.
【详解】
解: ∵点A（﹣3，4）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，
∴9+b=4，
∴b=-5，
∵一次函数图象与y轴的交点的纵坐标就是一次函数的常数项上的数,
∴点B的坐标为:（0，-5）,
∴OB=5,而A（﹣3，4）,
S△AOB= .
故答案为: .
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，解决本题的关键是找到所求三角形面积的底边以及底边上的高的长度.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)(10,6);(2) ), ;(3)见解析.
【解析】
(1)根据矩形性质可得到C的坐标；（2）设，由折叠知，，，在中，根据勾股定理得，，，在中，根据勾股定理得，，即，解得，可得；由待定系数法可求直线BE的解析式；（3）存在，理由：由知，，
，设，分两种情况分析:当BQ为的对角线时;当BQ为边时.
【详解】
解：四边形OBCD是矩形，
，
，，
，
故答案为；
四边形OBCD是矩形，
，，，
设，
，
由折叠知，，，
在中，根据勾股定理得，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
设直线BE的函数关系式为，
，
，
，
直线BE的函数关系式为；
存在，理由：由知，，
，
能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
当BQ为的对角线时，
，
点B，P在x轴，
的纵坐标等于点A的纵坐标6，
点Q在直线BE：上，
，
，
，
当BQ为边时，
与BP互相平分，
设，
，
，
，
即：直线BE上是存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点或．
本题考核知识点：一次函数的综合运用. 解题关键点：熟记一次函数性质和特殊平行四边形的性质和判定.
25、（1）见解析；（2）四边形是平行四边形，见解析.
【解析】
（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；
【详解】
证明：（1）∵和都是等边三角形，
∴，
，
又∵，
，
∴，
在和中，
∴；
（2）由①得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形.
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握性质、定理是解题的关键．
26、（1）一般性等式为；（2）原式成立；详见解析；（3）.
【解析】
（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
【详解】
解：（1）由；；；；…，
知它的一般性等式为；
（2），
原式成立；
（3）
.
解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分