四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，，等于( )
A. B. MC. ND.
2.若集合，，则集合( )
A. B. C. D.
3.函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则m的值可以为( )
A. B. C. D.
4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图为函数的图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知A、B是球O的球面上两点，，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知x，y满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A. 5B. C. D. 2
8.已知函数若，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是( )
A. 一个棱柱至少有六个面
B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
C. 棱台的各侧棱延长后交于一点
D. 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
10.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”．1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在区间上的奇函数，且，若a，，时，有若对所有，恒成立，则实数m的取值范围可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若不等式的解集是，则______.
13.已知复数其中i为虚数单位，则______.
14.设函数，其中，，若对任意的恒成立，有下述四个结论：
①；
②对任意的有成立；
③的单调减区间是，；
④存在经过点的直线与函数的图象不相交.
其中所有正确结论的编号为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分，并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
求这200户居民本次问卷评分的中位数；
若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
16.本小题12分
某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数若该食品在的保鲜时间为192小时，在的保鲜时间是24小时，
求k的值；
求该食品在的保鲜时间.
17.本小题12分
为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.
求m的值及用x表示S；
当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值.
18.本小题12分
将A地区使用滴滴出行的10000名乘客的年龄情况统计如图所示.
求这些乘客中年龄在的乘客人数；
求这些乘客的平均年龄同一组数据用该组区间的中间值代替；
现按照分层抽样的方法从这10000名乘客中年龄在的乘客中随机抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有1人年龄在上的概率.
19.本小题12分
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧
求曲线段FGBC的函数表达式；
曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，用表示平行四边形休闲区OMPQ面积，并求的OMPQ面积值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，，
故选：
直接根据并集的定义计算即可．
本题考查集合并集的运算，简单题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，属于基础题.
由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．
【解答】
解：，
故选
3.【答案】A
【解析】解：，而的图象按向量平移后得到，所以，故m可以为
故选：
本题可根据三角函数的平移变换及导函数进行分析即可求得答案．
本题考查三角函数的平移变换及导函数，注意按向量平移要注意方向．
4.【答案】B
【解析】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，
基本事件总数，
点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个，
则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为
故选：
基本事件总数，利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设PR的中点为A，RS的中点为B，
中，令，解得，所以；
令，解得，所以；
同理，；
所以，，；
所以
故选：
设PR的中点为A，RS的中点为B，求出点Q、A、B的坐标，
用坐标表示向量，再计算的值．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：取线段AB的中点H，连接、、、，如图所示：
由球的几何性质可知平面，平面，
因为，，则是边长为2的等边三角形，
因为H为AB的中点，则，且，同理可知，
因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，同理，
因为平面，所以，所以四边形为正方形，
故，
所以球O的半径为，
因此，球O的表面积为
故选：
取线段AB的中点H，连接、、、，分析出为等边三角形，四边形为正方形，求出球O的半径，利用球体的表面积公式可求得结果．
本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的性质和球的表面积的求法，考查了数形结合，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：作出可行域，如图所示：
由
得，图中
其中目标函数，即，由图可得：
当直线经过点时，目标函数取得最小值，
即，
，
所以当且仅当时取得等号．
故选：
作出可行域，结合几何意义分析出最小值的最优解，建立等式，根据基本不等式求解最值．
本题考查不等式相关知识，涉及线性规划和基本不等式知识，需要熟练掌握二元一次不等式组表示的平面区域，结合图象分析最优解，利用基本不等式求解最值需要注意考虑等号成立的条件，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，设，则，
，
则，
故函数为奇函数，
函数在R上为增函数，在R上为增函数，在R上为减函数，
故函数在R上为增函数，
故，即，
则有，
故有，解可得，即a的取值范围为
故选：
根据题意，设，求出的解析式，分析的奇偶性和单调性，可以将原不等式转化为，解可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误；
对于B项，因正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故B项正确；
对于C项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故C项正确；
对于D项，根据圆锥母线的定义可知，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线必是圆锥的母线，故D项正确．
故选：
根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断．
本题考查几何体的结构特征，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，，集合M中的，在集合N中没有对应的元素，不符合函数的定义；
对于B，，集合M中的和4，在集合N中没有对应的元素，不符合函数的定义；
对于C，，集合M中的任一元素x，在集合N中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义；
对于D，，集合M中的任一元素，在集合N中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义．
故选：
根据函数的定义是两个非空数集A、B，对应集合A中的任一元素，通过对应关系在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，判断即可．
本题考查了函数的定义与应用问题，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：是定义在上的奇函数，满足，
且当a，，，有
任取，则，
由，结合可知，，
即，所以在上递增，
所以，
由，可得，
即对任意恒成立．
设，则，
即，解得或，
所以实数m的取值范围为或
故选：
先根据题目给出的条件，判断是定义在区间上的单调函数，求出其最大值，代入中解出m的取值范围即可．
本题考查了求解多变量的不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：不等式的解集是，
，，是的两根，
，，
解得，
故答案为
由二次不等式的解集形式，判断出，是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a，c，求出的值．
本题考查一元二次不等式的应用，解答关键是理解二次不等式与相应二次方程之间的联系，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：
，
所以，可得
故答案为：
利用复数的乘法运算可计算出，再由共轭复数定义及模长公式即可得
本题主要考查复数的模，属于基础题．
14.【答案】①②③
【解析】解：
，
又，
由题意对任意的恒成立，且，，
所以对任意的恒成立，
即，
所以恒成立，又，即，
所以，故，
①：，，正确；
②：令，，解得，，当时，
所以是的一个对称中心，正确；
③：由，，所以，正确；
④：由题意得，要使过的直线与的图象不相交，
则此直线与x轴平行，又的振幅为，所以直线必与的图象有交点，错误；
所以正确结论的编号为①②③．
故答案为：①②③．
由题设可得对任意恒成立，结合基本不等式有，则，结合正弦型函数的性质判断各项的正误．
本题考查了三角恒等变换及三角函数性质，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
15.【答案】解：由图知，，解得
评分在的频率为；
评分在的频率为，故中位数在之间．
设这200户居民本次问卷评分的中位数为x，
则，
解得，
故这200户居民本次问卷评分的中位数为
由图知，评分在的频率为，
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为，
估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户．
由知，评分在的频数为，
评分在的频数为
按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，
则评分在内被抽取户，
分别记为，，评分在内被抽取户，分别记为，，
从中任意选取2户，有，，，，，，，，，，共10种选法，
其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，，，，，，，，，共9种，
这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率
【解析】在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出a的值，再根据中位数的公式计算得出结果；
先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数；
按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率．
本题主要考查频率分布直方图，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：由题设，则，可得，
所以；
由知：，
当，则，
所以小时．
【解析】由题设可得，即可求参数k；
由得，将代入求y即可．
本题主要考查函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，
则，解得，
显然建造费用为8x，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：
由知
，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层的厚度为时，总费用S取得最小值110万元．
【解析】利用给定条件，求出m的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和．
利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：这些乘客中年龄在的乘客人数为人，
这些乘客年龄的平均数为岁
由题意得：年龄在的分别有4人和2人，
其中年龄在的乘客记为A，B，C，D，年龄在的乘客记为a，b，
故随机抽取2人，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人年龄在上的有，，，，，，，，，共9种，
所求概率
【解析】根据频率乘以总数即可求解，
根据平均数的计算公式即可求解，
由列举法列举所有基本事件，即可结合古典概型的概率公式求解．
本题考查频率分布直方图的性质，平均数的求解，古典概型的概率公式的应用，属基础题．
19.【答案】解：由已知条件，得，
又，，
，
又当时，有，
，
曲线段FGBC的解析式为，；
由，得，
又，
，，
，
，
景观路GO长为千米；
如图，，，
，，
作轴于点，在中，，
在中，，
，
，，
当时，平行四边形面积的值为
【解析】由题意可得，，代入点求，从而求解析式；
令由求解x，从而求景观路GO的长；
作图求，从而求最值．
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属于中档题．