广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，（ ）
A． B． C． D.
2.已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A. B. C. D.
3若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（ ）
A．B． C． D．
6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则 min后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2 min后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．牛奶的温度降至35℃还需4 minD．牛奶的温度降至35℃还需2 min
7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）
A．0.475B．0.525C．0.425D．0.575
8．已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有3个零点
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本数据4，4，5，5，7的平均数为6
B．若随机变量满足，则
C．若随机变量服从两点分布，，则
D．若随机变量X服从正态分布，且，则
10. 若正数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．存在函数,使得对，都有
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知的展开式中，的系数为__________.
13.已知函数在区间上单调递减，则的最小值为__________.
14.如下图，正方形 A1B1C1D1 的边长为 14 cm，A2 ，B2 ，C2，D2 依次将 A1B1 ，B1C1 ，C1D1，D1A1 分为3:4的两部分得到正方形 A2B2 C2D2，依照相同的规律，得到正方形 A3B3 C3D3 、A4B4 C4D4 、 …、An BnCnDn . 一只蚂蚁从 A1 出发，沿着路径 A1A2A3…An 爬行，设其爬行的长度为 x，K 为正整数，且 x与K恒满足不等式 x≤K，则K的最小值是______________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a2+a4=b4+2， a1+a3=b2+b3.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：.
16．(13分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心；
(2)判断函数的单调性(不用证明)，若，求实数的取值范围．
(15分)大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A，B两种类型，且两种类型的题目数量相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A，B两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A类试题的概率均为，答对B类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．
(1)求甲两题均选择A类试题作答的概率；
(2)若甲第1题选择B类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望．
18．(17分)
设函数，
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(2) 讨论函数的单调性；
(3) 设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
19．(17分)
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．例如: 对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为;在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．
在复数集中解方程：；
(2)（i）在复数集中解方程：；
（ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（结果表示为不超过二次的实系数的多项式的乘积，不需要写证明过程）；
(3) 已知一元十次实系数多项式满足，求的值．2024-2025学年高三数学第一学期9月月考试卷参考答案
12．-2 13．1 14．21
15.解：（1）由题意得，解得： ……………………………4分
因为数列{an}是公差为3，数列{bn}是公比为2，所以， …………………………6分
（2）由（1）得： ……………………………8分
……………………………10分
易知在上单调递增，故当时，取最小值，
又恒成立，所以，. ………………………………………13分
16.解（1）：由题意，令， …………………1分
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， …………………2分
且， …………………4分
所以函数是奇函数， …………………5分
所以函数的图象关于点对称. …………………6分
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增（定义域不写也可以）， ……………9分
由（1）知函数是奇函数， ………………11分
又，即，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，， …………………13分
解得，所以实数的取值范围为. …………………15分
17．（1）若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率，
若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率，
故甲2题均选择类试题作答的概率； 分
（2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，
则， 分
， 分
， 分
故的分布列为：
分
则． 分
18．（1） ， 分
所以，切线斜率，切点坐标为 分
则曲线在点处的切线方程为，
即， 分
（2）令，所以，
当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增; 分
当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减. 分
（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，有， 分
又已知存在，使，
所以，
即存在，使， 分
解法1：函数的对称轴，①当时，在区间上单调递增，
所以，，，不存在；分
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，，不存在；分
③当时，在区间上单调递减，
所以，，； 分
综上，实数的取值范围是. 分
解法2：分离参数得：，设， 分
因为， 分
所以，当时，或，即函数的增区间为，;
当时，或，即函数的减区间为，，
所以，当时，函数为减函数，（直接先写出函数在区间上导数为负，也可以） 分
所以，，
所以，，即实数取值范围是. 分
所以，实数的取值范围是. 分
19．（1）方程，则，所以、，
即原方程在复数集中解为，； 分
（2）（i）因为，所以，
即，即，
所以，，、，
即原方程在复数集中解为，，，； 分
（ii）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，
为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，又与可为方程的两个虚根；与可为方程的两个虚根；
所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为. 分
（3）依题意可得，令，
因为十一次多项式方程有个根， 分
令， 分
所以，
令，可得，所以，
所以, 分
所以,， 分
因为,，所以, 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
C
D
C
D
B
D
BCD
ABC
ABC
0
1
2