2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学八年级（上）开学数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. (a2)4÷(−2a)2=14a4B. 5a2⋅a=5a3
C. .(a−1)2=a2+1D. (4a+b)(b−4a)=16a2−b2
2.肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米=10−9米，那么700纳米用科学记数法可表示为( )
A. 7×10−8B. 7×10−7C. 70×10−8D. 0.7×10−7
3.下列事件中是必然事件的是( )
A. 床前明月光B. 大漠孤烟直C. 手可摘星辰D. 黄河入海流
4.根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是( )
A. AB=5，BC=6，∠A=70°B. AB=5，BC=6，AC=13
C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5.如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM=3，则点C到射线OA的距离为( )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
6.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图，将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°)，沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′=74°，则∠ACD的度数为( )
A. 8° B. 9°
C. 10° D. 12°
8.将一副直角三角板按如图所示摆放，∠EFG=45°，∠MNP=60°，AB//CD，则下列结论不正确的是( )
A. GE//PN
B. ∠PNC=∠AFG
C. ∠FMN=150°
D. ∠MND=∠PNM
9.如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB=6，BC=5，AC=3，OF=2，则四边形ADOE的面积是( )
A. 9
B. 6
C. 5
D. 3
10.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的.已知BE：AE=3：1，正方形ABCD的面积为80.连接AC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ.则图中阴影部分的面积之和为( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知23×8=4n，则n= ______．
12.如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是______．
13.长方形的周长为20cm，其中一边为x cm(其中x>0)，面积为y cm2，则y关于x的关系式为______．
14.如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为2，则正方形的面积为______．
15.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
计算：
(1)(−3xy2)2⋅(−6x2y)÷(9x4y5)；
(2)899×901+1(简便运算)；
(3)−12021−|−23|−(2020−π)0+(−12)−3；
(4)(a+2b+1)(a+2b−1)．
17.(本小题5分)
先化简，再求值：[(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)]÷(−12b)，其中a=1，b=2．
18.(本小题6分)
如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
(1)过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；(只作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
19.(本小题7分)
如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
20.(本小题8分)
小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计).如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(ℎ)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______，小南家到该度假村的距离是______km．
(2)小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为______km/ℎ，图中点A表示_____________________________________．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是______km．
21.(本小题9分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
(2)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
(3)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD=BD，∠C=30°，请直接写出∠B的度数．
22.(本小题8分)
(1)问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则
①线段AD、BE之间的数量关系是______；
②∠BEC=______；
(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度；
(3)探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC=150°，∠DPB=30°，BP=6，CP=4，DP=8，求AD的长．
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.A
7.A
8.D
9.C
10.C
11.3
12.12
13.y=−x2+10x
14. 5
15.14
16.解：(1)(−3xy2)2⋅(−6x2y)÷(9x4y5)
=9x2y4⋅(−6x2y)÷(9x4y5)
=−54x4y5÷(9x4y5)
=−6；
(2)899×901+1
=(900−1)×(900+1)+1
=810000−1+1
=810000；
(3)−12021−|−23|−(2020−π)0+(−12)−3
=−1−8−1+(−8)
=−18；
(4)(a+2b+1)(a+2b−1)
=(a+2b)2−1
=a2+4ab+4b2−1．
17.解：[(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)]÷(−12b)
=[4a2+4ab+b2−(4a2−b2)]÷(−12b)
=(4a2+4ab+b2−4a2+b2)÷(−12b)
=(4ab+2b2)÷(−12b)
=−8a−4b，
当a=1，b=−2时，原式=−8×1−4×(−2)=−8+8=0．
18.解：(1)过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
(2)猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB．
19.解：(1)由题意可知，AC=300米，BC=400米，AB=500米，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=300×400500=240(米)，
答：山地C距离公路的垂直距离为240米；
(2)公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF，
则EC=FC=260米，DE=DF，
由(1)可知，CD=240米，
∵240米<260米，
∴有危险需要暂时封锁，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE= EC2−CD2= 2602−2402=100(米)，
∴EF=2DE=200(米)，
即需要封锁的公路长为200米．
20.解：(1)时间(t)；距离(s)；60；
(2)1；60；小南出发2.5小时后，离度假村的距离还有10km；
(3)30或45．
21.(1)证明：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠CAE，△ACE是等腰三角形，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2)解：如图1，

(3)解：如图2，

当AD=CD，AB=AD时，∠B=60°，
如图3，

当AD=AC，AD=BD时，∠B=15°，
如图4，

当AC=CD，AD=BD时，∠B=37.5°，
综上所述：∠B=60°或15°或37.5°．
22.解：(1)①AD=BE；
②120°；
(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE=AE−DE=15−7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°，
∴AB= AE2+BE2= 152+82=17；
(3)把△BPC绕点C逆时针旋转60°得△AEC，连接PE，如图所示，
则△AEC≌△BPC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，AE=BP=6，∠AEC=∠BPC=150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠AED=∠AEC−∠PEC=90°，
∵∠BPD=30°，
∴∠DPC=150°−30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△ADE中，AD= DE2+AE2= 122+62=6 5，
即AD的长为6 5．