2024-2025学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )
A. 6，7，8B. 5，6，7C. 4，5，6D. 7，24，25
2.在实数− 5，3.14，0，π2，227，− 9，0.1616616661…(两个1之间依次多一个6)中，无理数的个数是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
3.若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为( )
A. 13B. 119C. 7或17D. 13或 119
4.下列计算正确的是( )
A. 25=±5B. 4 3− 27=1C. 18÷ 2=9D. 24× 32=6
5.实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. a>bB. a−b>0C. a+b>0D. |a|>|b|
6.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB=17米，BC=8米，则标牌上“■”处的数字是( )
A. 6B. 8C. 10D. 11
7.如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm时，钟摆AD的长度是( )
A. 17
B. 24
C. 26
D. 28
8.已知x，y为实数，且 x−2+3(y−1)2=0，则下列式子的值最大的是( )
A. x+yB. x−yC. xyD. xy
9.如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1.现以点A为圆心.以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E(E在A的右侧)，则点E表示的数为( )
A. 5+1B. 3.2C. 5−1D. 13
10.我国清代数学家李悦借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形CBFG、正方形HDEF、正方形ABEJ，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若a+b=7，四边形ABFK与△DEL面积之和为7，则正方形ABEJ的面积为( )
A. 49B. 28C. 21D. 14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.9的算术平方根是______．
12.如图，一棵大树(树干与地面垂直)在一次强台风中于离地面6米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为______米.
13.如图，在数轴上点A表示的实数是______．
14.如图，若圆柱的底面周长是9cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是______cm．
15.中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(−1)2024−2×(−13)−2+ 25÷(−15)．
17.(本小题12分)
计算：
(1) 12+ 32−2 2；
(2)| 3−2|+ 12− 13；
(3) 18÷ 6−3 13；
(4)( 5+2)( 5−2)−(2 3−1)2．
18.(本小题6分)
如图，每个格子都是边长为1的小正方形，∠ABC=90°，四边形ABCD的四个顶点都在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)连接AC，试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积．
19.(本小题6分)
已知：x的两个平方根是a+3与2a−15，且2b−1的算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求a+b−1的立方根．
20.(本小题6分)
如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A、B之间的距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
(1)请判断△ABC的形状？
(2)求修建的公路CD的长．
21.(本小题10分)
学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
(1)求此时风筝的垂直高度EF；
(2)若站在点A不动，想把风不沿DC方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
22.(本小题10分)
阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如： 3× 3=3，( 6− 2)( 6+ 2)=6−2=4，我们称 3的一个有理化因式是 3， 6− 2的一个有理化因式是 6+ 2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：1 3=1× 3 3× 3= 33，
8 6− 2=8( 6+ 2)( 6− 2)( 6+ 2)=8( 6+ 2)4=2 6+2 2．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1) 13的有理化因式为______， 7+ 5的有理化因式为______(均写出一个即可)
(2)将下列各式分母有理化(要求写出变形过程)：
①3 15；
②112 5−3．
(3)请计算下列式子(要求写出计算过程)．
计算：23+ 3+25 3+3 5+27 5+5 7+⋯+22025 2023+2023 2025的结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、因为62+72≠82，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为52+62≠72，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
D、因为72+242=252，所以能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握上述内容是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：3.14是有限小数，0，− 9=−3是整数，227是分数，它们不是无理数；
− 5，π2，0.1616616661…(两个1之间依次多一个6)是无限不循环小数，它们是无理数，共3个；
故选：C．
无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得：斜边长= 52+122=13
故选：A．
本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长．
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的基本运用是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则进行计算，判断即可．
【解答】
解： 25=5，A错误；
4 3− 27=4 3−3 3= 3，B错误；
18÷ 2=3，C错误；
24× 32= 36=6，D正确，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：依题意得：−11，
∴a∴A，D错误；
∴a+b>0；
∴C正确；
a−b<0；
∴B错误；
故选：C．
由题意可知−11，故a、b异号，a0；由a本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC= AB2−BC2= 172−82=15(米)，
∴AC+BC−AB=15+8−17=6(米)，
故选：A．
利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设AB=AD=x cm，
根据题意可知，BC/​/EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF=8cm，
∴CE=BF=8cm，
∴AC=AD+DE−CE=x+6−8=(x−2)cm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，即x2=(x−2)2+102，
解得：x=26，
故选：C．
设AB=AD=x cm，根据题意可推出AC=(x−2)cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵ x−2+3(y−1)2=0，
∴x−2=0，y−1=0，
∴x=2，y=1，
∴x+y=2+1=3，x−y=2−1=1，xy=2×1=2，xy=21=2，
∴x+y的值最大，
故选：A．
根据非负数的性质求得x=2，y=1，分别代入求解，再进行判断即可．
本题考查实数大小比较，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，解答本题的关键是首先利用非负数的性质得出x，y的值．
9.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB=AE，
∴AB=AE= 5，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为 5+1．
故选：A．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=AE= 5，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，作JP⊥EG于点P，则∠JPK=∠JPE=90°，
∵四边形BCGF、四边形ABEJ、四边形DEFH都是正方形，
∴BA=BE，BC=BE，EJ=BE，∠CBF=∠ABE=∠BEJ=∠BFE=∠D=90°．
∴Rt△ABC≌Rt△EBF．
∴EF=CA=b．
∵∠EPJ=∠BFE=90°，
∴∠PJE=∠FEB=90°−∠PEJ，
又∵EJ=BE，
∴△EJP≌△BEF．
∴JP=EF=ED=b，PE=FB=a，
∴S△EJP+S△BEF=12ab+12ab=ab．
∵∠PJK+∠PJE=90°，∠DEL+∠FEB=90°，
∴∠PJK=∠DEL，
∵∠JPK=∠D=90°，
∴△PJK≌△DEL．
∴S△PJK=S△DEL，
∵S四边形ABFK+S△DEL=7，
∴S四边形ABFK+S△PJK=7，
∵BA=c，S正方形BEJA−(S△EJP+S△BEF)=S四边形ABFK+S△PJK，
∴c2−ab=7，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2−ab=7．
∴(a+b)2−3ab=7．
∵a+b=7，
∴49−3ab=7．
∴ab=14．
∴S正方形ABEJ=c2=7+ab=21．
故选：C．
作JP⊥EG于点P，易得Rt△ABC≌Rt△EBF，△EJP≌△BEF，△PJK≌△DEL，那么可得JP=EF=ED=b，PE=FB=a，S△PJK=S△DEL，进而根据a+b=7，四边形ABFK与△DEL面积之和为7，求得ab的值，整理可得正方形ABEJ的面积．
本题综合考查勾股定理的应用．把所求正方形的面积合理分割，是解决本题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：9的算术平方根是3，
故答案为：3．
根据算术平方根的定义即可求得答案．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2=10(米)，
∴AB+BC=6+10=16(米)，
即这棵大树在折断前的高度为16米．
故答案为：16．
先计算BC，再算AB+BC即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.【答案】− 10
【解析】解：由题意可得：BD=3，CD=1，
则BC= BC2+CD2= 32+12= 10，
故在数轴上点A表示的实数是：− 10．
故答案为：− 10．
直接利用勾股定理得出BC的长，再利用数轴上A点位置得出答案．
此题主要考查了实数与数轴，正确得出BC的长是解题关键．
14.【答案】15
【解析】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是9cm的长方形，连接AB，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是AB的长度，
由勾股定理得AB2=122+92=225，解得AB=15cm，
则这条丝线的最小长度是15cm，
故答案为：15．
先将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是9cm的长方形，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
15.【答案】3 5+3
【解析】解：对角线方向上的实数相乘的结果为5 2× 10× 2=10 10，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
A×5× 2=10 10，解得A=2 5，
B× 10×10=10 10，解得B=1，
5× 10×C=10 10，解得C=2，
2×10×D=10 10，解得D= 5，
∴A，B，C，D之和为2 5+1+2+ 5=3 5+3，
故答案为：3 5+3．
根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．
本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等是解题的关键．
16.【答案】解：原式=1−2×9+5×(−5)
=1−18−25
=−42．
【解析】先算乘方，负整数次幂，以及求算术平方根，再算乘除，最后算加减法即可．
本题主要考查了二次根式，实数的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 12+ 32−2 2
=2 3+4 2−2 2
=2 3+2 2；
(2)| 3−2|+ 12− 13
=2− 3+2 3− 33
=2+2 33；
(3) 18÷ 6−3 13
= 3− 3
=0；
(4)( 5+2)( 5−2)−(2 3−1)2
=5−4−12+4 3−1
=−12+4 3．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先化简，去绝对值，再合并同类二次根式即可；
(3)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(4)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
18.【答案】解：(1)∵AB=4，BC=3，CD= 32+42=5，AD= 12+72=5 2，
∴四边形ABCD的周长=4+3+5+5 2=12+5 2；
(2)如图，

∵AC= 32+425，CD=5，AD=5 2，
∴AC2+CD2=50=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴S△ACD=12AC⋅CD=252，
∵S△ABC=12BC⋅AB=6，
∴S四边形ABCD=S△ACD−S△ABC=252−6=132．
【解析】(1)根据勾股定理求出CD=5，AD=5 2，再根据四边形周长定义求解即可；
(2)根据勾股定理逆定理求出∠ACD=90°，再根据S四边形ABCD=S△ACD−S△ABC求解即可．
此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理等知识，熟练运用勾股定理逆定理、勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)解：∵x的平方根是a+3与2a−15，且2b−1的算术平方根是3，
∴a+3+2a−15=0，2b−1=9，
解得：a=4，b=5；
(2)∵a=4，b=5，
∴a+b−1=4+5−1=8，
∴a+b−1的立方根是2．
【解析】(1)根据平方根与算术平方根的定义即可求得a，b的值；
(2)将a，b的值代入a+b−1中计算后利用立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．
∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=15×2025=12(km)．
答：修建的公路CD的长是12km．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理，由AC2+BC2=AB2得到△ABC是直角三角形．
(2)利用△ABC的面积公式可得，CD⋅AB=AC⋅BC，从而求出CD的长．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：AB=DE=1.7米，
在Rt△BDF中，
由勾股定理得DF2=BF2−BD2=202−162=144，
∴DF=12(负值舍去)，
∴EF=DF+DE=12+1.7=13.7(米)；
(2)由题意得CF=18米，
∵DF=12米，
故CD=30米，
在Rt△BCD中，
∴BC= BD2+CD2= 162+302=34(米)，
∴BC−BF=34−20=14(米)，
故还需放出风筝线14米．
【解析】(1)在Rt△BDF中，利用勾股定理求出DF的长度，由EF=DF+DE即可求解；
(2)由题意得CF=18米，根据DF=12米，得到CD=30米，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长度，由BC−BF即可求解．
本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
22.【答案】 13 7− 5
【解析】解：(1)∵ 13× 13=13，
∴ 13的有理化因式可以为 13，
∵( 7+ 5)( 7− 5)=( 7)2−( 5)2=7−5=2，
∴ 7+ 5的有理化因式可以为 7− 5，
故答案为： 13， 7− 5；
(2)①原式=3× 15 15× 15
=3 1515
= 155；
②原式=11×(2 5+3)(2 5−3)(2 5+3)
=11×(2 5+3)11
=2 5+3；
(3)∵23+ 3=2×(3− 3)(3+ 3)(3− 3)=2×(3− 3)6=1− 33，
25 3+3 5=2×(5 3−3 5)(5 3+3 5)(5 3−3 5)=2×(5 3−3 5)30= 33− 55，
同理，27 5+5 7= 55− 77，
∴原式=1− 33+ 33− 55+ 55− 77+…+ 20232023− 20252025
=1− 20252025
=2025− 20252025．
(1)根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可；
(2)①分子、父母分别乘以 15即可；
②分子、父母分别乘以(2 5+3)即可；
(3)根据分母有理化的方法将原式化为1− 33+ 33− 55+ 55− 77+…+ 20232023− 20252025，再进行计算即可．
本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，二次根式混合运算的方法以及分母有理化因式的定义是正确解答的关键．报告
测量风筝的垂直高度EF
成员
组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具
皮尺等
示意图
方案
先测量水平距离BD，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长BF，最后测量放风等的同学的身高AB
数据
BD=16米BF=20米AB=1.7米
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