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山东省青岛市即墨区2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附解析）
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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.
注意事项：
1.答第I卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，
2.选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.
一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线y2=4x焦点坐标是
A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）
2. 已知四面体中，为中点，若，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
3. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（ ）
A. 0或B. 2或C. 2D. 0或2
5. 已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ）
A B. C. 4D. 2
6. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
7. 某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：）
A. 2024年B. 2025年C. 2026年D. 2027年
8. 曲线围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线与直线，下列说法正确的是（）
A. 当时，直线的倾斜角为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 若，则
10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列前项和，则数列为等比数列
B. 若的前项和，则数列为等差数列
C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则在上的投影向量为
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
12. 已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为，半径为
B. 切线
C. 直线的方程为
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为__________.
14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则__________.
15. 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则__________.
16. 如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
18. 是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）面积为6.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列.
19. 已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.
（1）若为中点，证明：面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21. 如图形状出现在南宋数学家杨浑所著《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
22. 已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.
（1）求和圆的方程；
（2）过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.
注意事项：
1.答第I卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，
2.选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.
一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线y2=4x焦点坐标是
A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）
2. 已知四面体中，为中点，若，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
3. 正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（ ）
A. 0或B. 2或C. 2D. 0或2
5. 已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（ ）
A B. C. 4D. 2
6. 已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
7. 某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：）
A. 2024年B. 2025年C. 2026年D. 2027年
8. 曲线围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线与直线，下列说法正确的是（）
A. 当时，直线的倾斜角为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 若，则
10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列前项和，则数列为等比数列
B. 若的前项和，则数列为等差数列
C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则在上的投影向量为
B. 若是四面体的底面的重心，则
C. 若，则四点共面
D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
12. 已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为，半径为
B. 切线
C. 直线的方程为
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为__________.
14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则__________.
15. 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则__________.
16. 如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
18. 是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）面积为6.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列.
19. 已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.
（1）若为中点，证明：面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21. 如图形状出现在南宋数学家杨浑所著《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
22. 已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.
（1）求和圆的方程；
（2）过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
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