09 思维拓展(三)　数学运算之解析几何设点、设线问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份09 思维拓展(三)　数学运算之解析几何设点、设线问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共4页。试卷主要包含了设点法，设线法等内容，欢迎下载使用。

1.设点法
所谓“设点法”,即以“点”为源头,设出曲线上点的坐标,利用点的坐标作为参数来解决问题,这种方法通常不需要联立直线与圆锥曲线的方程.比如涉及弦的中点问题中常见的“点差法”,就是“设点法”的典型.
2.设线法
所谓“设线法”,即以“线”为源头,设出直线方程,通过联立直线和圆锥曲线方程,利用方程思想,结合根与系数的关系解决问题,比如常见的求几何量的范围最值问题,定点定值问题等,该方法是解析几何问题的常规解法.
例 [2023·全国乙卷] 已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53,点A(-2,0)在C上.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
【深度挖掘】
解:(1)由题意可得b=2,a2=b2+c2,ca=53,解得a=3,b=2,c=5,
所以椭圆C的方程为y29+x24=1.
(2)证明:方法一(设线法):由题意可知,直线PQ的斜率存在,设直线PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由y=k(x+2)+3,y29+x24=1,消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0,
则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k<0,
可得x1+x2=-8k(2k+3)4k2+9,x1x2=16(k2+3k)4k2+9.
因为A(-2,0),所以直线AP:y=y1x1+2(x+2),
令x=0,解得y=2y1x1+2,即M0,2y1x1+2,
同理可得N0,2y2x2+2,则2y1x1+2+2y2x2+22=[k(x1+2)+3]x1+2+[k(x2+2)+3]x2+2=
[kx1+(2k+3)](x2+2)+[kx2+(2k+3)](x1+2)(x1+2)(x2+2)=
2kx1x2+(4k+3)(x1+x2)+4(2k+3)x1x2+2(x1+x2)+4=
32k(k2+3k)4k2+9-8k(4k+3)(2k+3)4k2+9+4(2k+3)16(k2+3k)4k2+9-16k(2k+3)4k2+9+4=
10836=3,
所以线段MN的中点是定点(0,3).
方法二(设点法):设P(x1,y1),M(0,yM),则直线AP:y=y1x1+2(x+2),则yM=2y1x1+2.
设Q(x2,y2),N(0,yN),同理可得yN=2y2x2+2.
设直线PQ:y=k(x+2)+3,线段MN的中点D(0,yD),
则yD=yM+yN2=k(x1+2)+3x1+2+k(x2+2)+3x2+2=2k+3(x1+2+x2+2)(x1+2)(x2+2).
由y=k(x+2)+3,y29+x24=1消去y得(4k2+9)(x+2)2+12(2k-3)(x+2)+36=0.
故(x1+2)+(x2+2)=12(3-2k)4k2+9,(x1+2)(x2+2)=364k2+9.
所以yD=2k+3(x1+2+x2+2)(x1+2)(x2+2)=3.
因此线段MN的中点为定点(0,3).
总结反思
设点设线的依据
【针对训练】
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(1)求抛物线C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在抛物线C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ的斜率的最大值.


2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足,证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.