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02 增分微练3 与球有关的切、接问题 【答案】作业 高考数学二轮复习练习
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2.C [解析] 设圆锥底面的半径为r,则2πr=12×2π×1,解得r=12,所以圆锥的轴截面是边长为1的正三角形,可得此正三角形内切圆的半径为13×1-r2=36,则圆锥内切球的半径R=36,所以圆锥内切球的表面积S=4πR2=4π×112=π3.故选C.
3.B [解析] 设截面的半径为r,球的半径为R,因为截面的面积为2π,所以πr2=2π,得r=2,又(R-1)2+r2=R2,所以(R-1)2+(2)2=R2,解得R=32,所以球O的表面积S=4πR2=4π×322=9π.故选B.
4.D [解析] 当截面平行于正方体的一个侧面时可得选项C,当截面过正方体的对角面时可得选项B,当截面与上下底面垂直且不平行于任何侧面、不过对角面时可得选项A,但无论如何都不能截出选项D,故选D.
5.2+26 [解析] 首先证明结论:棱长为a的正四面体的内切球半径为612a.如图,记正四面体ABCD的体积为V,高为h,每个面的面积为S,内切球的球心为O,内切球的半径为r,过点A作AQ⊥底面BCD,垂足为Q,连接DQ,则O在AQ上,Q是底面BCD的中心,QD=23a2-a22=33a,所以h=a2-3a32=63a,连接OB,OC,OD,则V=VO-ABC+VO-BCD+VO-CDA+VO-DAB,所以13Sh=4×13Sr,则r=14h=612a.设4个半径为1的球的球心分别为O1,O2,O3,O4,连接O1O2,O1O3,O1O4,O2O3,O2O4,O3O4,则四面体O1O2O3O4内切球的半径为66.设这4个球的外切正四面体为EFGH,则正四面体EFGH的内切球半径为1+66,可得正四面体EFGH的棱长为2+26.
6.C [解析] 如图,取A1B1的中点M,AB的中点N,连接C1M,MN,NC1,取MN的中点O,则O为正方形ABB1A1的中心,也为直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心,易知外接球的半径R=22.在平面C1MN中,过点M作MH⊥C1N,垂足为H.由题意知C1M⊥A1B1,MN⊥A1B1,C1M∩MN=M,所以A1B1⊥平面C1MN,又A1B1∥AB,所以AB⊥平面C1MN,因为AB⊂平面C1AB,所以平面C1AB⊥平面C1MN.又平面C1AB∩平面C1MN=C1N,MH⊥C1N,MH⊂平面C1MN,所以MH⊥平面C1AB.又O为MN的中点,所以O到平面C1AB的距离h'=12MH.在Rt△C1MN中,C1M=2,MN=4,则C1N=C1M2+MN2=22+42=25,所以MH=C1M·MNC1N=2×425=45,则球心O到平面C1AB的距离h'=25,因此平面C1AB截三棱柱ABC-A1B1C1的外接球所得截面的半径r=R2-h'2=8-45=65,所以截面的面积为365π.故选C.
7.D [解析] 要使圆锥的体积最大,则半径为6的球是圆锥的外接球.设圆锥的底面半径为r,则高为6+36-r2,所以圆锥的体积为13πr2(6+36-r2),令t=36-r2(0≤t<6),得r2=36-t2,所以V(t)=13π(36-t2)(6+t)=13π(-t3-6t2+36t+216),则V'(t)=13π(-3t2-12t+36)=-π(t2+4t-12)=-π(t-2)(t+6),则当0≤t<2时,V'(t)>0,当2
9.B [解析] 如图所示,取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD,又AE∩CE=E,AE,CE⊂平面AEC,所以BD⊥平面AEC,VA-BCD=13S△AEC·BD=13S△AEC·23=2,所以S△AEC=3,又AE=CE=(7)2-(3)2=2,所以S△AEC=12AE·CEsin∠AEC=12×2×2×sin∠AEC=3,所以sin∠AEC=32.由AE⊥BD,CE⊥BD,知∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,因为此角为钝角,所以∠AEC=2π3,所以AC=22+22-2×2×2×cs2π3=23=BD,因此四面体A-BCD可以放置在一个长方体中,四面体A-BCD的六条棱是长方体的六条面对角线,此长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球.设长方体有公共顶点的三条棱的长为a,b,c,则a2+b2=7,b2+c2=7,c2+a2=12,解得a=6,b=1,c=6,所以外接球的直径2R=a2+b2+c2=13,则外接球的半径R=132,外接球的表面积S=4πR2=13π.故选B.
10.AD [解析] ∵两个平行截面圆的周长分别是12π和16π,∴两圆的半径分别为6,8,则球心到两截面的距离分别为102-62=8,102-82=6.当这两个平行截面在球心同一侧时,截面圆间的距离为8-6=2;当这两个平行截面在球心两侧时,截面圆间的距离为8+6=14.故选AD.
11.2563π [解析] 设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的高为2,体积为8π,所以13π×r2×2=8π,解得r=23.设此球的球心为O,半径为R.当圆锥的顶点与底面在球心O的两侧时,如图①,此时R<2.因为圆锥SO1的底面半径O1A=23,高SO1=2,所以(2-R)2+(23)2=R2,解得R=4,与R<2矛盾,故此种情况舍去.当圆锥的顶点与底面在球心O的同侧时,如图②,此时R>2.因为圆锥SO1的底面半径O1A=23,高SO1=2,所以(R-2)2+(23)2=R2,解得R=4,符合题意.综上,此球的半径为4,体积V=43πR3=2563π.
12.43π [解析] 在如图所示的正八面体中,连接AC,BD,交于点O,连接EO,FO,因为四边形ABCD为正方形,所以O为AC的中点,也为BD的中点.因为EA=EC,ED=EB,所以EO⊥AC,EO⊥BD,又AC∩BD=O,所以EO⊥平面ABCD.同理FO⊥平面ABCD.易得EO=FO=AO=22AB,所以O为正八面体外接球的球心.设正八面体的外接球的半径为R,由正八面体的表面积为8×34AB2=123,得AB=6,即正八面体的棱长为6,所以R2+R2=(6)2,则R=3,外接球的体积V=43πR3=43π×33=43π.
13.13 [解析] 如图,取SA的中点O1,SC的中点O2,连接O1E,O1F,O2A,O2B.因为SA⊥平面ABC,AB,BC,AC⊂平面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥BC,SA⊥AC,因为AB⊥BC,SA∩AB=A,SA,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB,因为SB⊂平面SAB,所以BC⊥SB.在直角三角形SAC中,O2是斜边SC的中点,所以O2A=O2S=O2C.在直角三角形SBC中,O2是斜边SC的中点,所以O2B=O2S=O2C.所以O2是三棱锥S-ABC的外接球的球心,SC为该球的直径.因为AE⊥SB,O1是SA的中点,所以O1E=O1A=O1S.因为AF⊥SC,O1是SA的中点,所以O1F=O1A=O1S.所以O1是三棱锥S-FAE的外接球的球心,SA为该球的直径.设SA=AB=BC=a,则SC=SA2+AB2+BC2=3a,则S1=4π·SA22=a2π,S2=4π·SC22=4π·3a22=3a2π,所以S1S2=a2π3a2π=13.
14.D [解析] 连接AC,BD,交于点M,取EF的中点O,因为EA=ED=FB=FC,EF∥AB,所以O在平面ABCD内的射影为M,连接OM,则OM⊥平面ABCD.取BC的中点G,连接FG,作GH⊥
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15.B [解析] 当正四棱锥的顶点与底面在公共面的两侧时,如图甲(相交圆未按立体几何规则画出),设相交圆的圆心为M,点E为相交圆上的一点,也是两球的一个公共点,设H为底面ABCD的中心,连接ME,O1E,CH,OH,O1C,则M,O1都在OH上,设球O1的半径为r,∵相交圆的面积为π,∴相交圆的半径为1,即ME=1,∵正方形ABCD的边长为6,∴CH=3.在Rt△OME中,∵ME=1,OE=2,∴由勾股定理得OM2+ME2=OE2,即OM2+12=(2)2,可得OM=1,又OH=3,∴MH=2.设MO1=h(0
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