湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：吕跃 审题人：黄华清
考试时间：2024年9月19日
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 集合满足，则集合的个数为（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合包含关系，列举出集合所有可能的情况即可.
【详解】因为，
则集合可以为共7个，
故选：C.
2 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集及交集运算即可.
【详解】由题意得,所以.
故选：B.
3. 设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ③④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断①②④，通过举反例可判断②。
【详解】因为，所以，，所以，则①正确；
不妨取满足，但是，故②错误；
因为，则，所以，故③正确，④错误.
故选：D
4. 如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且，即且 ，
所以，阴影部分可表示为.
故选：D.
5. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记
是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断.
【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图，
对A：，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D错误；
故选：B.

6. 下列命题中真命题的个数是（ ）
①命题“，”的否定为“，”；
②“”是“”的充要条件；
③集合，表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．
【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；
②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误；
③集合，不是同一集合．错误，
正确的命题只有一个．
故选：B.
7. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.
【详解】如果，比如，则有，
根据定义，，
即“”不是“”的充分条件，
如果，则有，
，所以“”是“”的必要条件；
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
8. 对于集合，定义，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则，，
由定义可得：且，
且，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列式子中，使的充分条件可以是（ ）
A. x<1B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由，得，根据选项，结合充分条件的定义即可求解.
【详解】由，得，
又，
故选：BD.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“若，则”的是真命题
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，当时，，故B错误；
对C，由且能推出，充分性成立，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD．
11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则且
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为或
D. 若为常数，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元二次解的情况，即可判断A，若比值，即可代入求不等式的解集，即可判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，即可求解不等式，判断C，根据不等式解集的情况，即可确定，，再代入式子，转化为二次函数求最值.
【详解】A.若一元二次不等式的解集为，则且，故A正确；
B. 若，则，，，所以不等式，
等价于，与不等式的解集不同，故B错误.
C. 若，则，，，即，，
所以不等式，即，
整理为，得或，即或，故C正确；
D. 若为常数，则，，即，
则，当时，的最小值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，，则_______ .
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程求解结合集合的交集计算即可 .
【详解】因为,所以,
所以x=0或x=2,
所以或,
所以.
故答案为：.
13. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，解得或.对两个根进行分类讨论，即，，三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个正整数，即可得到答案；
【详解】令，解得或.
当，即时，不等式的解集为，则，解得；
当，即时，不等式无解，所以不符合题意；
当，即时，不等式的解集为，则，不合题设.
综上，的取值范围是.
故答案为：
14. 已知关于的不等式的解集为，则下列正确的序号是________
①a>0 ②不等式的解集是
③ ④不等式的解集为
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据不等式的解集得到判断①，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，判断②③，根据变形得到的解集即可判断④.
【详解】∵关于x不等式的解集为−∞,−2∪3,+∞，∴，①正确；
由题意，和3是关于x的方程的两根，
根据根与系数的关系得，则，
所以不等式，即，解得，②正确；
因为，③错误；
不等式，即，即，
解得或，④正确．
故答案为：①②④
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值的集合．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解．
（2）根据，可得不等式组进而即得．
【小问1详解】
当时，，所以，
,；
【小问2详解】
，，
则，解得：．
故实数取值的集合为.
16. 已知实数满足：
（1），求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）的取值范围为，的取值范围为；
（2）的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）根据同向不等式的可加性和可乘性即可求解范围；
（2）利用，求得，结合同向不等式的可加性即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，又因为，所以；
因为，所以，又因为，所以；
所以的取值范围为，的取值范围为；
小问2详解】
令，，
所以，解得，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
17. 已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，
（1）当时，求
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式可得，当时，解不等式，可得或，则，即可求得；
（2）由（1），可得或x≥1，由不等式的解，可得，因为，即可解得的取值范围.
【小问1详解】
由得，通分得，
即，所以，解得，
所以，
当时，不等式，即，解得或，
所以或，则，
所以.
【小问2详解】
因为，所以或x≥1，
不等式，解得或，
则，
因为，
因为，则，
所以，解得，
所以的取值范围为.
18. 已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】根据命题的真假，求实数的取值，再根据充分条件，转化为子集问题，即可求解.
【详解】由题意可知，，为真命题，
当时，，得不成立，
当时，，得，
所以，，
若“”是“”的充分条件，
当时，，得，
当时，，得，
综上可知，
19. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【小问1详解】
解：由不等式的解集为，
当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，不等式可化为，
要使得不等式的解集为，
则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：由不等式，可得，
当时，即时，不等式即为，解得，解集为；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为或；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为，
综上可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.