河南省马店市第二初级中学2023-—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份河南省马店市第二初级中学2023-—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了下列四个命题中等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个命题中
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等的四边形是矩形
正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2．（3分）关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
3．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．∠C＝∠AEDD．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是正方形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
5．（3分）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A．B．C．﹣1或3D．或﹣2
6．（3分）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个根，则m2+3m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
7．（3分）若，则直线y＝kx+k的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三象限
C．第二、三、四象限D．以上均不正确
8．（3分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm2，则丝绸花边的宽为（ ）
A．5cm或65cmB．10cm或5cmC．10cmD．5cm
9．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，则MG＝（ ）
A．2B．C．+1D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二.填空题（5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
12．（3分）某菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣8x+4＝0两个根，则这个菱形的面积为 ．
13．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，则楼高CD为 m．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝ ．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（9分）用适当的方法解下列方程：
（1）3（x﹣3）2＝12；
（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（3）3x2﹣x﹣1＝0．
17．（8分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且．连接CE，OE
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
19．（10分）阅读下列材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣5）＝9，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
20．（9分）如图，在△ABC中，点D，E，BC，AC边上，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设．
①若BC＝20，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是36，求△ABC的面积．
21．（9分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，根据销售经验，销售单价每提高1元
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 元；这种排球这个月的销售量是 个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
22．（10分）已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）的值为 ；
（2）试判断四边形BECF的形状，并说明理由；
（3）当∠A为多少度时，四边形BECF是正方形？画出草图，并证明你的结论．
23．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD＝ ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6
2023-2024学年河南省驻马店二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个命题中
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等的四边形是矩形
正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定方法，针对每一个命题进行分析，即可选出答案．
【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题；
②一组邻边相等的矩形是正方形，是假命题；
③对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题．
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．本题关键是要熟练掌握平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定方法．
2．（3分）关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根为0，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
【分析】根据一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0有一根为0和一元二次方程的定义，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】解：∵一元二次方程（m+2）x2+x+m4﹣4＝0有一根为5，
∴，
解得，m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的解和定义求出m的值．
3．（3分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．∠C＝∠AEDD．
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A＝∠A
∴当∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD＝AC：AB．
D选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
4．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是正方形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是矩形
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项A错误；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
5．（3分）已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A．B．C．﹣1或3D．或﹣2
【分析】分两种情况讨论：当AC＞BC和AC＜BC两种情况．
【解答】解：∵线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，
∴当AC＞BC时，AC＝＝﹣1，
当AC＜BC时，BC＝＝﹣1，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
故答案为：﹣1或8﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义是解题关键．
6．（3分）若m、n是一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两个根，则m2+3m+n的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【分析】由韦达定理和方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，代入原式＝m2+2m+m+n计算可得．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，m4+2m﹣8＝5，即m2+2m＝7，
则原式＝m2+2m+m+n＝2﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
7．（3分）若，则直线y＝kx+k的图象必经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三象限
C．第二、三、四象限D．以上均不正确
【分析】分类讨论：当a+b+c＝0，则可得k＝﹣1，利用一次函数的性质可以判断直线y＝﹣x﹣1的图象经过的象限；当a+b+c≠0，利用比例的性质可得k＝2，则可判断直线y＝2x+2的图象经过的象限，最后综合判断必经过的象限．
【解答】解：当a+b+c＝0，则有a+b＝﹣c＝＝﹣1，
∴直线y＝kx+k变为y＝﹣x﹣2，它经过第二，三；
当a+b+c≠0，所以k＝＝＝＝，
∴直线y＝kx+k变为y＝8x+2，它经过第一，二；
综上所述，所以直线y＝kx+k的图象必经过第二．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，直线与y轴的交点在x轴上方；当b＝0，直线经过坐标原点；当b＜0，直线与y轴的交点在x轴下方．同时考查了比例的性质和分类讨论思想的运用．
8．（3分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm2，则丝绸花边的宽为（ ）
A．5cm或65cmB．10cm或5cmC．10cmD．5cm
【分析】设丝绸花边的宽为x cm，根据丝绸花边的面积为650cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设丝绸花边的宽为x cm，
根据题意得：（60+40×2）x﹣2x3＝650，
整理得：x2﹣70x+325＝0，
解得：x8＝5，x2＝65（不符合题意，舍去），
∴丝绸花边的宽为2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，则MG＝（ ）
A．2B．C．+1D．
【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝3，根据相似三角形的性质求得AE＝2，CE＝，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到CM＝＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴AC＝＝3，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝2，
∴AE＝＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝，
∵AD∥CM，
∴△ADE∽△CME，
∴＝，
∴＝＝2，
∴CM＝＝BM，
在△CDM和△BGM中，
，
∴△CDM≌△BGM（SAS），
∴CD＝BG＝3，
∴MG＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；通过证明△BDE∽△DPE，可得∠EPD＝∠BDE＝45°，可求∠DPF＝∠BHP＝105°，可证△BHP∽△DPF，故④正确；由相似三角形的性质可得＝＝，故③错误，根据∠BPC＝∠EPF＝60°，得∠ABE＝30°，△BPC是等边三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE＝2AE②正确；即可求解．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故选：B．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二.填空题（5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣5＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞8，即（﹣2）2﹣5×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣5且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠3，
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．（3分）某菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣8x+4＝0两个根，则这个菱形的面积为 2 ．
【分析】设菱形的对角线长为a、b，先根据一元二次方程根与系数的关系得到ab＝4，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【解答】解：设菱形的对角线长为a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣8x+2＝0两个根，且Δ＝（﹣8）5﹣4×1×7＝48＞0，
∴ab＝4，
∴这个菱形的面积为．
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，x1x2＝．
13．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，则楼高CD为 10.5 m．
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故答案为10.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝ ．
【分析】先由＝＝，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明＝，又∠B＝∠B，可证明△DBE∽△ABC．进而可得相似比为，面积比＝＝，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．
【解答】解：∵＝＝，则设AD＝6m，CE＝3k，
∴＝，＝，
∴＝，
又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC．
相似比为，面积比＝＝，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣7a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE∽△ABC得出相似比是解题的关键．
15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2或1+ ．
【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时
①如图1，当∠MND＝90°时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴MN∥AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN＝DN，
∵AN＝AB＝1，
∴AD＝7AN＝2；
②如图2，当∠NMD＝90°时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM＝DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN＝DN，
∵∠A＝90°，AB＝AN＝8，
∴BN＝AB＝，
∴AD＝AN+DN＝8+，
综上所述，AD的长为2或8+．
故答案为：2或5+．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三.解答题（8个小题，共75分）
16．（9分）用适当的方法解下列方程：
（1）3（x﹣3）2＝12；
（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（3）3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）先把方程变形为（x﹣3）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0 或 2x﹣3﹣5＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）3（x﹣3）3＝12，
（x﹣3）2＝2，
x﹣3＝±2，
所以x6＝5，x2＝5；
（2）（2x﹣3）8＝5（2x﹣7），
（ 2x﹣3）4﹣5（2x﹣5）＝0，
（2x﹣4）（2x﹣3﹣8）＝0，
2x﹣5＝0 或 2x﹣2﹣5＝0，
所以x2＝，x8＝4；
（3）3x3﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）3﹣4×3×（﹣4）＝1+12＝13＞0，
∴x＝，
∴，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和公式法．
17．（8分）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 18° ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．
故答案为：100．
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°．
故答案为：18°．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且．连接CE，OE
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD＝10，求OF的长．
【分析】（1）由菱形的性质得OA＝OC＝AC，AC⊥BD，再证四边形OCED是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）证四边形OADE是平行四边形的，得OE＝AD＝10，再由矩形的性质得OF＝OE＝5即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，
∴∠COD＝90°，
∵DE＝AC，
∴OC＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，OA＝DE，
∵DE∥AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE＝AD＝10，
∵四边形OCED是矩形，
∴OF＝OE＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．（10分）阅读下列材料：
换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣5）＝9，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
【分析】（1）设 2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣5）＝9，利用因式分解法解方程得到t1＝6，t2＝﹣4，然后利用非负数的性质得到2x2+2y2＝6，从而得到x2+y2的值；
（2）由于（x+y）2＝x2+y2+2xy，则可利用整体代入的方法计算；利用完全平方公式得到（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后利用整体代入的方法计算，最后根据平方根的定义求解．
【解答】解：（1）设 2x2+5y2＝t，
则原方程变形为（t+3）（t﹣2）＝9，
整理，得t2﹣3t﹣24＝0，
解得t1＝2，t2＝﹣4（舍去），
∴7x2+2y4＝6，
∴x2+y5＝3；
（2）∵x2+y6＝3，xy＝1，
∴（x+y）5＝x2+y2+6xy＝3+2＝8，
∴（x﹣y）2＝x2+y7﹣2xy＝3﹣4＝1，
∴x﹣y＝±1．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．灵活运用完全平方公式是解决问题的关键．
20．（9分）如图，在△ABC中，点D，E，BC，AC边上，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设．
①若BC＝20，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是36，求△ABC的面积．
【分析】（1）由平行线性质可得到∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，则△BDE∽△EFC；
（2）①由EF∥AB，根据平行线分线段对应成比例可得，故可求得BE＝；
②证明△EFC∽△BAC，可得，从而可得S△ABC＝36÷＝81．
【解答】（ 1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C，
又∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴，
∵BC＝20，
∴，
∴BE＝．
②∵，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B，
∵∠C＝∠C．
∴△EFC∽△BAC，
∴，
∵S△EFC＝36，
∴S△ABC＝36÷＝81．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段对应成比例，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（9分）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，根据销售经验，销售单价每提高1元
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是 （20+x） 元；这种排球这个月的销售量是 （400﹣5x） 个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【分析】（1）利用每个排球获得的利润＝售价﹣进价，即可用含x的代数式表示出每个排球获得的利润；利用月销售量＝400﹣5×销售单价提高的价格，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用月销售总利润＝每个排球的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要使顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（60+x）中即可求出售价．
【解答】解：（1）依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x﹣40＝（20+x）元．
故答案为：（20+x）；（400﹣5x）．
（2）依题意得：（20+x）（400﹣5x）＝10500，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x1＝10，x3＝50．
又∵要使顾客得到实惠，
∴x＝10，
∴60+x＝60+10＝70．
答：售价应定为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）的值为 ；
（2）试判断四边形BECF的形状，并说明理由；
（3）当∠A为多少度时，四边形BECF是正方形？画出草图，并证明你的结论．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及平行线分线段成比例定理得出即可；
（2）利用四条边相等的四边形是菱形进而得出答案；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出CE⊥AB，进而得出四边形BECF是正方形．
【解答】解：（1）∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，
∴BD＝CD，∠BDE＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴BE＝AE，
∴的值为，
故答案为：；
（2）菱形；   
理由：∵BE＝AE，CF＝AE，
∴FC＝BE，
∵BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴BF＝FC＝BE＝EC，
∴四边形BECF是菱形；
（3）当∠A为45°时，四边形BECF是正方形，
理由：∵∠A＝45°，∠BCA＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴BC＝AC，
∵BE＝AE，
∴CE⊥BA，
∵四边形BECF是菱形，
∴四边形FBEC是正方形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形与正方形的判定方法是解题关键．
23．（12分）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD＝ ．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若，AB＝6
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝＝；
（3）解：①设AB＝3a，
∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，BC＝4a．
∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
②由①得：△CAE∽△BAD，AB＝3，＝，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴△BGF∽△CGA，
∴＝＝．
∴BF＝．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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