黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了设全集，集合，则，2 B，在中，“”是“”的，1 B等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.马戏表演中，小猴子模仿人类做引体向上运动的节目深受观众的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠并处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重约为（ ）参考数据：取重力加速度大小为.
A.9.2 B.7.5 C.8.7 D.6.5
3.在中，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某节数学课上，教师随机地从学生甲，乙，丙，丁中选择一名学生回答问题，已知甲，乙，丙，丁答对该题的概率分别为，则在此题答错的情况下，由乙回答此题的概率是（ ）
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示：
由表中数据求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论中不正确的是（ ）
A.与有正相关关系 B.回归直线经过点
C. D.当时，残差为0.2
6.记数列的前项和分别为，若是等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，圆台的上､下底面半径分别为，且，半径为4的球与圆台的上､下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，且，则的取值可以为（ ）
A. B. C.2 D.3
10.某校计划安排五位老师（包含甲､乙）担任周一至周四的值班工作，规定每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（ ）
A.若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种
B.若甲､乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种
C.若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种
D.若每天恰有一位老师值班，且如果甲､乙均值班，甲必须在乙之前值班，则不同的安排方法共有84种
11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A.
B.平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.若复数满足，则的最小值为__________.
14.已知是定义域为的函数，是奇函数，是偶函数，且满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）记的内角对应的边分别为，已知.
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值.
16.（15分）篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA全国超级联赛赛程正式公布，比赛将于4月13日正式打响，并于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到如下列联表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲､乙､丙､丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记第次触球者是甲的概率为，则.
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）试比较第24次与第25次触球者是甲的概率大小.
附：.
17.（15分）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且.
（1）证明：平面；
（2）是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且.
（1）求圆心的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
（2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围.
19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数，若在区间上的图象连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（如图，称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：.
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中.
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
哈尔滨市第三十二中学校2024年9月高三月考
参考答案
12. 13.4 14.
15.【答案】（1）是直角三角形（6分）
【详解】（1）由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形.
（2）由（1）知，是直角三角形，又，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，为等腰直角三角形，周长有最大值，最大值为.
16.【答案】（1）能认为喜爱篮球运动与性别有关（5分）
（2）（i）证明见解析（5分）；
（ii）第25次触球者是甲的概率大（5分）
【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）（i）由题意，
，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得，，
所以.
故第25次触球者是甲的概率大.
17.【答案】（1）证明见解析（6分）（2）存在，实数（9分）
【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为平面，且，所以平面.
（2）取棱的中点，连接，易证两两垂直，
故以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
故，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得.
平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为，
则，整理得，解得
或（舍去）.
故存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
18.【答案】（1），点的轨迹是焦点在轴上，实轴长､虚轴长均为的等轴双
曲线
（2）
【详解】（1）如图，设点，圆的半径为为到直线的距离，则.
根据题意，动点的轨迹就是点的集合
，
，即，整理得.
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长､虚轴长均为的等轴双曲线.
（2）设直线，
倾斜角大于，
设，
联立得，
故，
由题知，双曲线的焦点，
，
，
，
由得，
的取值范围是.
19.【答案】（1）证明见解析（5分）（2）①证明见解析（6分）；②实数的取值范围是.（6分）
【详解】（1）在曲线上取一点.
过点作曲线的切线分别交直线于，
则.
可得，即.
（2）①由函数，可得，
不妨设，则曲线在处的切线，
，即，
同理曲线在处的切线，
假设与重合，则，
代入化简可得，
由，得
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，，与上式矛盾，
即对任意实数及任意两个不相等的正数与均不重合.
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立.
因为，所以，设，
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数.
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是.5
6
8
9
12
16
20
25
28
36
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
A
B
C
A
D
A
BC
ACD
ABD