2024-2025学年浙江省湖州市吴兴区数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年浙江省湖州市吴兴区数学九年级第一学期开学监测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）当1＜a＜2时，代数式＋|1－a|的值是( )
A．－1B．1C．2a－3D．3－2a
2、（4分）如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB=BCB．AC⊥BDC．∠ABC=90°D．∠1=∠2
3、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都是相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形
4、（4分）在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是90B．中位数是90C．平均数是90D．极差是15
5、（4分）下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．2xC．D．
6、（4分）（2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列调查中，适合普查的事件是（ ）
A．调查华为手机的使用寿命v
B．调查市九年级学生的心理健康情况
C．调查你班学生打网络游戏的情况
D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率
8、（4分）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为( )
A．2.4B．3C．4.8D．5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果顺次连接四边形的四边中点得到的新四边形是菱形，则与的数量关系是___．
10、（4分）每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中，_____是常量，_____是变量．
11、（4分）已知a﹣2b＝10，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为___．
12、（4分）已知，为实数，且满足，则_____.
13、（4分）函数y=﹣的自变量x的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下：
(1)如果这20名女生体育成绩的平均分数是82分，求x、y的值；
(2)在(1)的条件下，设20名学生测试成绩的众数是a，中位数是b，求的值.
15、（8分）某中学图书室计划购买了甲、乙两种故事书．若购买7本甲种故事书和4本乙种故事书需510元；购买3本甲种故事书和5本乙种故事书需350元．
（1）求甲种故事书和乙种故事书的单价；
（2）学校准备购买甲、乙两种故事书共200本，且甲种故事书的数量不少于乙种故事书的数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
16、（8分）如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．
17、（10分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度AB为多少米？
18、（10分）正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连结．
（1）已知点在线段上.
①若，求度数；
②求证：.
（2）已知正方形边长为，且，请直接写出线段的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，若是的中点，且，则的长为_______．
20、（4分）若有意义，则x的取值范围是____．
21、（4分）一次函数与轴的交点坐标为__________．
22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示）
23、（4分）计算：＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）2018长春国际马拉松赛于2018年5月27日在长春市举行，其中10公里跑起点是长春体育中心，终点是卫星广场．比赛当天赛道上距离起点5km处设置一个饮料站，距离起点7.5km处设置一个食品补给站．小明报名参加了10公里跑项目．为了更好的完成比赛，小明在比赛前进行了一次模拟跑，从起点出发，沿赛道跑向终点，小明匀速跑完前半程后，将速度提高了，继续匀速跑完后半程．小明与终点之间的路程与时间之间的函数图象如图所示，根据图中信息，完成以下问题．(1公里=1千米)
（1）小明从起点匀速跑到饮料站的速度为_______，小明跑完全程所用时间为________；
（2）求小明从饮料站跑到终点的过程中与之间的函数关系式；
（3）求小明从起点跑到食品补给站所用时间．
25、（10分）善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，，，在同一直线上，且，，，，量得，求的长．
26、（12分）在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点.
若点在上（如图①），此时，可得结论：.
请应用上述信息解决下列问题：
当点分别在内（如图②），外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，，，，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
解：∵1＜a＜2，
∴=|a-2|=-（a-2），
|1-a|=a-1，
∴+|1-a|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．
故选B．
2、C
【解析】
根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】
A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC=90°不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选C．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3、D
【解析】
根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
【详解】
A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
熟练掌握特殊平行四边形的各自特点，矩形对角线相等，邻边垂直．菱形对角线垂直且平分对角，邻边相等．同时具备矩形和菱形的四边形是正方形．
4、C
【解析】
由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案：
【详解】
解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
极差是：95﹣80=1．
∴错误的是C．故选C．
5、C
【解析】
根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【详解】
解：、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，故本选项错误；
、2x的不含分母，因此它们是整式，而不是分式．故本选项错误；
、分母中含有字母，因此它们是分式，故本选项正确；
、的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故本选项错误．
故选：．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
6、B
【解析】
试题解析：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
7、C
【解析】试题解析：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；
B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；
C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；
D、调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率适合抽样调查，
故选C．
8、C
【解析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
如图，连接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选C．
此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
先证明EFGH是平行四边形，再根据菱形的性质求解即可.
【详解】
如图1所示，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HE∥AC，HE=AC，GF∥AC，GF=AC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四边形EFGH是平行四边形． 连接BD，如图2所示：
若四边形EFGH成为菱形，
则EF=HE，
由（1）得：HE=AC，
同理：EF=BD，
∴AC=BD；
故答案为：AC=BD．
本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
10、电影票的售价 电影票的张数，票房收入．
【解析】
根据常量，变量的定义进行填空即可．
【详解】
解：常量是电影票的售价，变量是电影票的张数，票房收入，
故答案为：电影票的售价；电影票的张数，票房收入．
本题考查了常量和变量，掌握常量和变量的定义是解题的关键．
11、1．
【解析】
将a2﹣4ab+4b2进行因式分解变形为（a﹣2b）2，再把a﹣2b＝10，代入即可.
【详解】
∵a﹣2b＝10，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝102＝1，故答案为：1．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式因式分解，求出相应的式子的值．
12、4
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件得出、的值，进而得出答案.
【详解】
、为实数，且满足，
，，
则.
故答案为：.
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出、的值是解题关键.
13、x＜2
【解析】
令2-x>0，解这个不等式即可求出自变量x的取值范围.
【详解】
由题意得，
2-x>0，
∴x＜2.
故答案为：x＜2.
本题考查了常量与变量，根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) x=5，y=7；(1)1.
【解析】
试题分析：（1）根据加权平均数的计算方法列式求出x、y的关系式，再根据x、y都是整数进行求解即可；
（1）先根据众数与中位数的概念确定出a、b的值，再代入代数式进行二次根式的化简即可求解．
试题解析：解：（1）平均数==81，整理得，8x+9y=103，∵x、y都是整数，∴x=5，y=7；
（1）∵90分的有7人，最多，∴众数a=90，按照成绩从低到高，第十个同学的成绩是80分，第十一个同学的成绩是80分，（80+80）÷1=80，∴中位数b=80，∴===1．
点睛：本题考查了加权平均数，众数与中位数的概念，本题根据x、y都是整数并求出其值是解题的关键．
15、（1）甲种故事书的单价是50元，乙种故事书的单价是40元；（2）当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱．
【解析】
（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；
（2）根据题意可以得到费用与购买甲种故事书本数之间的关系，然后利用一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：（1）设甲种故事书的单价是x元，乙种故事书的单价是y元，
，得，
答：甲种故事书的单价是50元，乙种故事书的单价是40元；
（2）当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱，
理由：设购买甲种故事书a本，总费用为w元，
w＝50a+40（200﹣a）＝10a+8000，
∵a≥（200﹣a），
解得，，
∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝8670，200﹣a＝133，
答：当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
16、见解析
【解析】
试题分析：根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠DCF=90°，再根据DE⊥DF得出∠1=∠2，从而说明三角形ADE和△CDF全等.
试题解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=90°
又∵DF⊥DE， ∴∠1+∠3=∠2+∠3 ∴∠1=∠2
∴△DAE≌△DCE ∴DE=DF
考点：(1)、正方形的性质；(2)、三角形全等判定
17、1200米
【解析】
试题分析：由题可看出，A,B,C三点构成一个直角三角形，AB,BC为直角边，AC，是斜边，可设AB=X,AC=10+X
因为BC=50
根据勾股定理可知
考点：勾股定理，三角函数的值
点评：本题属于勾股定理的基本运算和求解方法，在解题中需要合理的作图
18、（1）①；②见解析；（2）的长为或
【解析】
(1) ①根据正方形性质，求出；根据等腰三角形性质，求出的度数，即可求得.
②根据正方形对称性得到；根据四边形内角和证出；利用等角对等边即可证出.
（2）分情况讨论：①当点F在线段BC上时; ②当点F在线段CB延长线上时;根据正方形的对称性，证出；再根据等腰三角形的性质，求出线段NC，BN；利用勾股定理，求出BE、BD，进而求出DE.
【详解】
解：（1）①为正方形，
．
又，
．
②证明：正方形关于对称，
，
．

又，

又
，
，
．
（2）①当点F在线段BC上时，过E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，如图1所示：

∴N是CF的中点，
∴BF=1，∴CF=1

又∵四边形CDMN是矩形
∴为等腰直角三角形

∴
②当点F在线段CB延长线上时，如图2所示：
过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M
∵正方形ABCD关于BD对称


又∵


又
∴FC=3
∴
∴
∴ ,
综上所述，的长为或
本题考查了三角形全等、等腰三角形的性质、三线合一、勾股定理等知识点；难点在（2），注意分情况讨论；本题难度较大，属于中考压轴题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4
【解析】
延长F至G，使CG=AE，连接DG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出DE=DG，∠ADE=∠CDG，再证明△EDF≌△GDF，得出EF=GF，设AE=CG=x，则EF=GF=3+x，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程得出AE=2，从而求得BE的长即可．
【详解】
解：延长F至G，使CG=AE，连接DG、EF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=6，∠A=∠B=∠DCF=∠ADC=90°，
∴∠DCG=90°，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG，
∴∠EDG=∠CDE+∠CDG=∠CDE+∠ADE=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=45°，
在△EDF和△GDF中，，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF=3，
设AE=CG=x，则EF=GF=CF+CG=3+x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
解得：x=2，即AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4.
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了方程的思想，证明三角形全等是解本题的关键．
20、x≥1．
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵有意义，∴x≥1，
故答案为：x≥1．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
21、
【解析】
令y=0,即可求出交点坐标.
【详解】
令y=0，得x=1,
故一次函数与x轴的交点为
故填
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的性质.
22、（2n，1）
【解析】
试题分析：根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可：
由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
∴点A4n+1（2n，1）．
23、
【解析】
分析：应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可．
详解：=8﹣4+1=9﹣4．
故答案为9﹣4．
点睛：本题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），1.2；（2）S＝﹣10t+12（0.7≤t≤1.2）；（3）0.95
【解析】
（1）根据图象可知小明从起点匀速跑到饮料站用时0.7小时，根据“速度＝路程÷时间”即可解答；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小明从饮料站跑到终点的过程中S与t之间的函数表达式；
（3）根据题意，可以列出关于a的不等式，从而可以求得a的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：（1）小明从起点匀速跑到饮料站的速度为：km/h，小明跑完全程所用时间为：（小时）；
故答案为：；1.2；
（2）设明张从饮料站跑到终点的过程中S与t之间的函数表达式为S＝kt+b，
，解得，
即小明从饮料站跑到终点的过程中S与t之间的函数表达式为S＝﹣10t+12（0.7≤t≤1.2）；
（3）10﹣7.5＝2.5，
∴将S＝2.5代入S＝﹣10t+12，得
2.5＝﹣10t+12，得t＝0.95，
答：小明从起点跑到食品补给站所用的时间为0.95小时．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25、
【解析】
过F作FH垂直于AB，得到∠FHB为直角，进而求出∠EFD的度数为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，再利用勾股定理求出DF的长，由EF与AD平行，得到内错角相等，确定出∠FDA为30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出FH的长，进而利用勾股定理求出DH的长，由DH-BH求出BD的长即可．
【详解】
解：过点F作FH⊥AB于点H，
∴∠FHB=90°，
∵∠EDF=90°，∠E=60°，
∴∠EFD=90°-60°=30°，
∴EF=2DE=24，
∴，
∵EF∥AD，
∴∠FDA=∠DFE=30°，
∴，
∴，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠HFB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠HFB，
∴，
则BD=DH-BH=．
此题考查了勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
26、当点在内时，成立，证明见解析；当点在外时，不成立，数量关系为.
【解析】
当点在内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点在外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
【详解】
解：当点在内时，上述结论成立.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴；
当点在外时，上述结论不成立，此时数量关系为.
证明：∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，即，
又∵，，
∴.
本题解题关键：运用平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，结合多次等量代换，综合推理证明，特别注意的是点P在不同位置时，图形中线段的关系变化情况.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2