2024-2025学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高一新生入学分班质量检测数学试题【含答案】

这是一份2024-2025学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高一新生入学分班质量检测数学试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是( )
A．80B．40C．20D．10
2、（4分）点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a，则四边形EMCN的面积（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
3、（4分）已知 y1  x  5 ， y2 2x  1 ．当 y1  y2 时，x 的取值范围是（ ）
A．x  5B．x C．x  6D．x  6
4、（4分）如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′的长为（ ）
A．等于1mB．大于1mC．小于1mD．以上答案都不对
5、（4分）在□ABCD 中，点P在对角线AC上，过P作EF∥AB，HG∥AD，记四边形BFPH的面积为S1，四边形DEPG的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2B．S1=S2C．S16、（4分）如图，Rt△ABC中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．2或3.5B．2或3.2C．2或3.4D．3.2或3.4
7、（4分）某水资源保护组织对邢台某小区的居民进行节约水资源的问卷调查.某居民在问卷的选项代号上画“√”,这个过程是收集数据中的（ ）
A．确定调查范围B．汇总调查数据
C．实施调查D．明确调查问题
8、（4分）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（ ）
A．14B．13C．14D．14
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，那么此梯形较小的一个底角等于_________度．
10、（4分）观察分析下列数据：，则第17个数据是 _______ .
11、（4分）已知＝，＝，那么＝_____（用向量、的式子表示）
12、（4分）若分式的值为零，则x的值为_____．
13、（4分）若最简二次根式与可以合并，则a＝____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）黄连是重庆市石柱县的特产，近几年黄连的种植在石柱县脱贫攻坚战中发挥着重要的作用．今年6月，某药材公司与黄连种植户签订收购协议：收购5﹣6年期黄连和6年以上期黄连共1000千克，其中5﹣6年期的黄连收购价格为每千克240元，6年以上期的黄连收购价格为每千克200元
（1）若药材公司共支付黄连种植户224000元，那么药材公司收购的5﹣6年期黄连和6年以上期黄连各多少千克？
（2）预计今年10﹣12月黄连收割上市后，5﹣6年期黄连的售价为每千克280元，6年以上期黄连的售价为每千克250元；药材公司收购的5﹣6年期黄连的数量不少于6年以上期黄连数量的3倍，药材公司应收购5﹣6年期黄连多少千克才能使售完这批黄连后获得的利润最大，最大利润是多少？
15、（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油．在此次行驶过程中，行驶了450千米时，司机发现离前方最近的加油站有75千米的路程．在开往该加油站的途中，当汽车开始提示加油时，离加油站的路程是多少千米？
16、（8分）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
注：30～40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同
（1）请你把表中的数据填写完整；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？
17、（10分）解方程:
(1)；
(2).
18、（10分）某文具店用1050元购进第一批某种钢笔，很快卖完，又用1440元购进第二批该种钢笔，但第二批每支钢笔的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10支．
（1）求第一批每支钢笔的进价是多少元？
（2）第二批钢笔按24元/支的价格销售，销售一定数量后，根据市场情况，商店决定对剩余的钢笔全按8折一次性打折销售，但要求第二批钢笔的利润率不低于20%，问至少销售多少支后开始打折？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，EF是△BCD的中位线，且EF＝4，则AD＝___．
20、（4分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a=________．
21、（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为_____．
22、（4分）若关于x的一元一次不等式组的的解集为，则a的取值范围是___________．
23、（4分）一组数据按从小到大顺序排列为：3，5，7，8，8，则这组数据的中位数是 ，众数是 .
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=﹣2，求k的值；
（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．
25、（10分）在四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交边、、、于点、、、
(1)如图①，若四边形是正方形，且，易知，又因为，所以（不要求证明）
(2)如图②，若四边形是矩形，且，若，，，求的长（用含、、的代数式表示）；
(3)如图③，若四边形是平行四边形，且，若，，，则 ．
26、（12分）孝感市委市政府为了贯彻落实国家的“精准扶贫”战略部署，组织相关企业开展扶贫工作，博大公司为此制定了关于帮扶A、B两贫困村的计划．今年3月份决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如表：
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总运费为y元；
①试求出y与x的函数解析式；
②若运往A村的鱼苗不少于108箱，请你写出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少运费．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
设大小两个正方形的面积分别为a、b，得到a2-b2=40；又阴影部分面积=△AEC+△ADE
，然后使用三角形面积公式进行计算、化简即可解答。
【详解】
解：如图：设大小两个正方形的面积分别为a，b
则有a2-b2=40
又∵阴影部分面积=△AEC+△ADE
=
=
=
=20
故答案为C。
本题考查了几何图形中阴影面积的求法，关在于运用数形结合，将不规则图形化归为规则的几何图形的组合。
2、D
【解析】
根据题意过E作EK垂直于直线CD，垂足为K，再过E作EL垂直于直线BC，垂足为L，只要证明,则可计算.
【详解】
解：根据题意过E作EK垂直于直线CD，垂足为K，再过E作EL垂直于直线BC，垂足为L.
四边形ABCD为正方形
EL=EK




为直角三角形




故选D.
本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线.
3、C
【解析】
由题意得到x-5＞2x+1，解不等式即可．
【详解】
∵y1>y2，
∴x−5>2x+1，
解得x<−6.
故选C.
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握运算法则.
4、C
【解析】
由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【详解】
在直角三角形AOB中，
∵OA＝2，OB＝7
∴AB＝（m），
由题意可知AB＝A′B′＝（m），
又∵OA′＝4，根据勾股定理得：OB′＝（m），
∴BB′＝7﹣＜1．
故选C．
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
5、B
【解析】
【分析】先证四边形ABPE和四边形PFCG都是平行四边形，再利用平行四边形对角线平分
四边形面积即可.
【详解】因为，在□ABCD 中，点P在对角线AC上，过P作EF∥AB，HG∥AD，
所以，四边形边形ABPE和四边形PFCG都是平行四边形，
所以，S△ABC=S△CDA,S△AEP=S△PHA,S△PFC=S△CGP,
所以，S△ABC- S△AEP - S△PFC =S△CDA- S△PHA- S△CGP,
所以，S△BFPH=S△DEPG，即：S1=S2
故选：B
【点睛】本题考核知识点：平行四边形性质.解题关键点：平行四边形对角线平分四边形面积.
6、A
【解析】
求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE= AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=BD=cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分两种情况：
①当∠EDB=∠ACB=90°时，
DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，
E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm，
∴t=2s；
②当∠DEB=∠ACB=90°时，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=BC=1cm，
∴BE=BD=0.5cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5，
故选：A.
本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
7、C
【解析】
根据收集数据的几个阶段可以判断某居民在问卷上的选项代号画“√”，属于哪个阶段，本题得以解决．
【详解】
解：某居民在问卷上的选项代号画“√”，这是数据中的实施调查阶段，
故选：C．
本题考查调查收集数据的过程与方法，解题的关键是明确收集数据的几个阶段．
8、D
【解析】
24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．
【详解】
解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长=24-10=14，
∴EF=．
故选D．
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
过点D作DE∥AB，交BC于点E．根据等腰梯形的性质可得到△CDE是等腰三角形，根据三线合一性质即得到CF=DF，从而可求得其较小底角的度数．
【详解】
解：如图，DF是等腰梯形ABCD的高，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵AD//BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
∵DF⊥BC，
∴EF=CF，
∵BC-AD=2DF，
∴CF=DF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠C=1°．
故答案为：1．
此题考查等腰梯形的性质、梯形中常见的辅助线的作法、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10、
【解析】
分析：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，根据规律可以得到答案．
详解：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，所以第17个数据是：17×＝51．
故答案为：51．
点睛：本题考查了算术平方根，解题的关键是将所得二次根式变形，找到规律解答．
11、.
【解析】
根据，即可解决问题．
【详解】
∵，
∴．
故答案为.
本题考查向量的定义以及性质，解题的关键是理解向量的定义，记住：，这个关系式．
12、1
【解析】
由题意根据分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【详解】
解：，
则x﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1．
故若分式的值为零，则x的值为1．
故答案为：1.
本题考查分式的值为0的条件，注意掌握分式为0，分母不能为0这一条件．
13、1
【解析】
由于两个最简二次根式可以合并，因此它们是同类二次根式，即被开方数相同．由此可列出一个关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【详解】
解：由题意，得1+2a=5−2a，
解得a=1.
故答案为1.
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）收购的5﹣6年期黄连600千克，6年以上期黄连400千克；（2）收购5﹣6年期黄连750千克，销售利润最大，最大利润是42500元．
【解析】
（1）根据题意列方程或方程组进行解答即可，
（2）先求出利润与销售量之间的函数关系式和自变量的取值范围，再根据函数的增减性确定何时利润最大．
【详解】
解：（1）设收购的5﹣6年期黄连x千克，则6年以上期黄连（1000﹣x）千克，由题意得：240x+200（1000﹣x）＝224000，
解得：x＝600，
当x＝600时，1000﹣x＝400，
答：收购的5﹣6年期黄连600千克，6年以上期黄连400千克，
（2）设收购的5﹣6年期黄连y千克，则6年以上期黄连（1000﹣y）千克，销售利润为z元，由题意得：
z＝（280﹣240）y+（250﹣200）（1000﹣y）＝﹣10y+50000，
z随y的增大而减小，
又∵y≥3（1000﹣y），
∴y≥750，
当y＝750时，z最小＝﹣7500+50000＝42500元，
答：收购5﹣6年期黄连750千克，销售利润最大，最大利润是42500元．
考查一次函数的性质、一元一次方程等知识，正确列方程、求出函数表达式是解决问题的关键．
15、（1）该一次函数解析式为y=x+1；（2）离加油站的路程是10千米．
【解析】
（1）分析题意，首先根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，用总路程减去剩余油量为8升时行驶的路程即可解答本题。
【详解】
（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得，
解得：，
∴该一次函数解析式为y=x+1．
（2）当y=x+1=8时，
解得x=2．
即行驶2千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530-2=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
本题主要考查的是一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法.
16、（1）见解析；（2）见解析；（3）76（辆）．
【解析】
（1）根据频数÷总数=频率进行计算即可：36÷200=0.18，200×0.39=78，200﹣10﹣36﹣78﹣20=56，
56÷200=0.1．
（2）结合（1）中的数据补全图形即可．
（3）根据频数分布直方图可看出汽车时速不低于60千米的车的数量．
【详解】
解：（1）填表如下：
（2）如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）．
答：违章车辆有76辆．
17、 (1)，； (2) ，
【解析】
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用公式法求解即可.
【详解】
(1)

，
(2)
∵a=2，b=3，c=-1
∴Δ=9-4×2×(-1)=17>0

，
此题考查解一元二次方程，熟练掌握各种解法适用的题型，选择合适的方法解题是关键．
18、（1）15元;（2）1支.
【解析】
试题分析：（1）设第一批文具盒的进价是x元，则第二批的进价是每只1.2x元，根据两次购买的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）设销售y只后开始打折，根据第二批文具盒的利润率不低于20%，列出不等式，再求解即可．
试题解析：解：（1）设第一批每只文具盒的进价是x元，根据题意得：
﹣=10
解得：x=15，经检验，x=15是方程的解．
答：第一批文具盒的进价是15元/只．
（2）设销售y只后开始打折，根据题意得：
（24﹣15×1.2）y+（﹣y）（24×80%﹣15×1.2）≥141×20%，解得：y≥1．
答：至少销售1只后开始打折．
点睛：本题考查了列分式方程和一元一次不等式的应用，解答时找到题意中的等量关系及不相等关系建立方程及不等式是解答的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1．
【解析】
利用三角形中位线定理求出BC，再利用平行四边形的对边相等即可解决问题.
【详解】
∵EF是△DBC的中位线，
∴BC＝2EF＝1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝1，
故答案为1．
此题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题关键在于利用中位线的性质计算出BC的长度
20、1
【解析】
根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值．
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式
∴1+a=4a-2
解得：a=1
故答案为：1．
本题考查同类二次根式的应用，解题关键是得出1+a=4a-2．
21、
【解析】
根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP=EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP=EF=2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．
【详解】
解：连接AP，
∵AB2+AC2＝169，BC2＝169
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AP＝EF，∠EPF＝90°
又∵M是EF的中点
∴PM＝EF
∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．
根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小
此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP
∴AP＝
∴EF＝
∴PM＝
故答案为
本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF=AP
22、.
【解析】
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围.
【详解】
由得
因为解集为
所以
故答案为：
考核知识点：不等式组解集.会解不等式组是关键.
23、7 1
【解析】
根据中位数和众数的定义解答．
【详解】
解：数据按从小到大排列：3，5，7，1，1，所以中位数是7；
数据1出现2次，次数最多，所以众数是1．
故填7；1．
【点击】
本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、解：（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2），
∵△AOB≌△ACD，∴CD=DB=2，AO=AC=1。∴点D的坐标为（2，2）。
∵点D在双曲线（ x＞0）的图象上，∴k=2×2=4。
（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b），
∵△AOB≌△ACD，∴CD=OB= b，AO=AC=，
∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）。
∵点D在双曲线（ x＞0）的图象上，
∴，即k与b的数量关系为：。
直线OD的解析式为：y=x。
【解析】
试题分析：（1）首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线（ x＞0）的图象上求出k的值。
（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式。
25、（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得出结论；
（2）过作于，于，根据图形的面积得到，继而得出结论；
（3）过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得出，根据三角形的面积公式列方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图①,
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）如图②，过作于，于，
∵
∴
∵
，
∴，
∴；
（2）如图③，过作，，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
；
故答案为：．
本题考查的知识点是正方形的性质，通过作辅助线，利用面积公式求解是解此题的关键．
26、（1）这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆；（2）①y＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）；②使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元．
【解析】
（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【详解】
解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，
解得：．
故这15辆车中大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400（3≤x≤8，且x为整数）．
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥108，
解得：x≥7，
又∵3≤x≤8，
∴7≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝7时，y最小，
最小值为y＝100×7+9400＝10100（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、3辆小货车前往A村；1辆大货车、4辆小货车前往B村．最少运费为10100元．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
数据段
频数
频率
30～40
10
0.05
40～50
36
50～60
0.39
60～70
70～80
20
0.10
总计
200
1
目的地
费用
车型
A村（元/辆）
B村（元/辆）
大货车
800
900
小货车
400
600
数据段
频数
频率
30～40
10
0.05
40～50
36
0.18
50～60
78
0.39
60～70
56
0.1
70～80
20
0.10
总计
200
1