2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z1=1+3i，z2=3+i，则z1−z2在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值为( )
A. 12B. 32C. 3D. 2 3
3.已知向量a=(3,2)，b=(−1,1)，则|2a+3b|=( )
A. 10B. 5C. 58D. 130
4.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是( )
A. 16 2
B. 8 2
C. 16
D. 8
5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面面积是( )
A. 3 2B. 6 2C. 6 3D. 3 3
6.已知不共线的向量a、b，若向量a−kb与ka−b共线，则实数k的值为( )
A. 1B. ±1C. ± 2D. 2
7.如图，在△ABC中，AD=23AC，BP=13PD，若AP=λAB+μAC，则λ+μ的值为( )
A. 1112B. 34
C. 89D. 79
8.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB=25米，∠AOB=30°，则该塔的高度OP=( )
A. 25 2米B. 25 3米C. 50米D. 25 6米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z的虚部不为零，同时满足z⋅z−=1，则( )
A. |z−|=1B. z+1z−1为纯虚数
C. z在复平面内对应的点在实轴上D. |z−2−2i|的最大值为 2
10.已知a、b、c是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A. 非零向量a、b，满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
B. a⋅b≤|a|⋅|b|
C. 若a⋅c=b⋅c，则a−b不与c垂直
D. |a+b|≤|a|+|b|
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若sinAB. 若△ABC是锐角三角形，sinAC. 若a=10，b=9，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若B=60°，b2=ac，则△ABC是等边三角形
12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，下列说法正确的是( )
A. 该圆台轴截ABCD面面积为3 3cm2
B. 该圆台的体积为7 3π3cm3
C. 该圆台的表面积为10πcm2
D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若1+2i是实系数方程x2+ax+b=0的一个根，则a⋅b=______．
14.如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5,BC=8,CD=3,DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为 km．
15.已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为 3，则该正四棱锥的表面积为______．
16.已知梯形中ABCD，AD//BC，∠B=π3，AB=AD=2，BC=4，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则DP⋅DQ的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积．
18.(本小题12分)
若复数z1=1+ai(a∈R)，复数z2=3−4i．
(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；
(2)若a=2，求z1z2．
19.(本小题12分)
已知向量a=(2,−1)，|b|= 2．
(1)若(2a+b)⋅b=4，求a与b夹角的正弦值；
(2)若a⊥b，求向量b的坐标．
20.(本小题12分)
已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若(2a−c)csB−bcsC=0．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2，求a+c的取值范围．
21.(本小题12分)
已知在圆锥SO中，底面⊙O的直径AB=12，△SAB的面积为48．
(1)求圆锥SO的表面积；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60°，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．
(1)求BC；
(2)求AM与BN夹角的余弦值；
(3)过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将△ABC分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.A
8.B
9.AB
10.BD
11.ACD
12.ABD
13.−12
14.7
15.12
16.114
17.解：设圆柱的底面半径为r，则侧面展开图是一个长为2πr，宽为4的矩形，
依题意2πr4=tan60°，即r=2 3π，
所以该圆柱的体积为：πr2⋅4=4π×(2 3π)2=48π．
18.解：(1)由已知z1+z2=4+(a−4)i∈R，则a−4=0，解得a=4．
(2)当a=2时，z1z2=1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−5+10i25=−15+25i．
19.解：(1)因为a=(2,−1)，|b|= 2，所以|a|= 22+(−1)2= 5，
又(2a+b)⋅b=4，所以2a⋅b+b2=4，即2a⋅b+( 2)2=4，所以a⋅b=1，
设a与b夹角为θ，则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=1 5× 2=1 10，又θ∈[0,π]，
所以sinθ= 1−cs2θ=3 10，即a与b夹角的正弦值为3 1010；
(2)设b=(x,y)，因为|b|= 2，则 x2+y2= 2，
又a⊥b，所以a⋅b=2x−y=0，解得x= 105y=2 105
或x=− 105y=−2 105，所以b=( 105,2 105)或b=(− 105,−2 105)．
20.解：(1)∵(2a−c)csB−bcsC=0，
∴(2sinA−sinC)csB−sinBcsC=0，
∴2sinAcsB−sin(B+C)=0，
∵A+B+C=π，
∴sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，
∴2sinAcsB−sinA=0，
∵sinA>0，
∴csB=12，
∵B∈(0,π)，
∴B=π3；
(2)由B=π3，b=2，
可得：b2=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
又(a+c)2−3ac≥(a+c)2−34(a+c)2=14(a+c)2，
∴(a+c)2≤4b2=16，即a+c≤4，
又a+c>b=2，
∴△ABC的周长的范围为(2,4]．
21.解：(1)设圆锥SO的母线长为l，底面⊙O的直径为2r，所以2r=12，
因为△SAB的面积为48，所以S△SAB=12⋅2r⋅SO=48，解得SO=8，
由勾股定理，可得母线l= SO2+r2=10，
由圆锥的表面积公式有：S表=S侧+S底=πrl+πr2=60π+36π=96π；
(2)如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为D，
则DE⊥SB于E，DE=OD=R(其中R为球的半径)，
则△SED∽△SOB，可得DE：BO=SD：SB，即R6=8−R10，解得R=3cm，
所以球的体积V1=43πR3=36πcm3，圆锥的体积V2=13πr2ℎ=96πcm3，
圆锥体剩余的空间体积为V=V1−V2=60πcm3．
22.解：(1)在△ABC中，且AB=4，AC=10，由余弦定理得12=16+100−BC22×4×10，解得BC=2 19，(负根舍去)，故BC=2 19．
以A为原点，建立平面直角坐标系，易知A(0,0)，C(10,0)，
如图所示：

设B(x,y)，由两点间距离公式得x2+y2=16(x−10)2+y2=76，解得x=2，y=2 3，(负根舍去)，
故B(2,2 3)，由中点坐标公式得N(5,0)，M(6, 3)，
故AM=(6, 3)，BN=(3,−2 3)，设AM与BN的夹角为θ，
故csθ=18−6 36+( 3)2× 9+(−2 3)2=12 39× 21=4 9191．
(3)易知由于BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，而P是△ABC两条中线的交点，故P是△ABC的重心，所以BPBN=23，
设BEBA=p，BFBC=q，BP=23BN=13(BA+BC)=13(1pBE+1qBF)，
由于P在直线EF上，所以13(1p+1q)=1，即1p+1q=3，
而0故得1p(3−1p)=94−(1p−32)2≤941p(3−1p)=94−(1p−32)2≥94−(12)2=2，
所以pq=1(1p×1q)=11p×(3−1p)≥49，pq=1(1p×1q)=11p×(3−1p)≤12，
故得S△BEFS△ABC=12×BE×BF×sin∠ABC12×sin∠ABC×AB×BC=p×AB×q×BCAB×BC=pq∈[49,12]；
所以上下两部分的面积之比为，
因为pq∈[49,12]，所以上下两部分的面积之比的取值范围是[45,1]．