2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={x∈N|x≤5}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则∁U(A∪B)=( )
A. {1,5}B. {0,5}C. {1,2,3,4}D. {0,1,4,5}
2.复数z=i+31−i3在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知第二象限角α满足tanα⋅tan(α+π4)=23，则cs2α=( )
A. −45B. 45C. 35D. −35
4.已知正项数列{an}满足an+1=n+12nan，则a8a4=( )
A. 116B. 18C. 14D. 12
5.已知数列{an}各项为正数，{bn}满足an2=bnbn+1，an+an+1=2bn+1，则( )
A. {bn}是等差数列B. {bn}是等比数列
C. { bn}是等差数列D. { bn}是等比数列
6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是( )
A. 240B. 420C. 540D. 900
7.如图，A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2=a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA=3tan∠QBA，则椭圆的离心率为( )
A. 13B. 23C. 33D. 63
8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，已知M(4,6)，点N在圆C：x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为( )
A. 7 3+ 13B. 17 22+ 13C. 145+ 13D. 149+ 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2.若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则( )
A. AG⊥平面PBD
B. 直线FG和直线AB所成的角为π4
C. 当点T在平面PBD内，且TA+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆
D. 过点E，F，G的平面与四棱锥P−ABCD表面交线的周长为2 2+ 6
10.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M在棱DD1上，记平面BC1M截正方体所得的截面图形为Ω，则( )
A. 平面A1BC⊥平面B1C1D
B. 不存在点M，使得直线CM/​/平面BA1C1
C. B1M+CM的最小值为2 4+2 2
D. Ω的周长随着线段DM长度的增大而增大
11.已知函数f(x)=x3+ax+14，(a<0)，其中Ai(xi,yi)，i=0，1，2，3是其图象上四个不重合的点，直线A0A3为函数f(x)在点A0处的切线，则( )
A. 函数f(x)的图象关于(0,14)中心对称
B. 函数f(x)的极大值有可能小于零
C. 对任意的x1>x0>0，直线A0A3的斜率恒大于直线A0A1的斜率
D. 若A1，A2，A3三点共线，则x1+x2=2x0
12.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，g(x)的图象关于直线x=2对称，f(x)−g(2+x)=4，g(2)=3，则( )
A. f(−x)+f(x)=0B. f(2024)=7
C. g(2024)=−1D. k=12024f(k)=2024
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合M={x∈N|(x+2)(x−3)<0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N= ______．
14.已知函数f(x)=ex+e−x+csx，则不等式f(2m)>f(m−2)的解集为______．
15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若3S△MNF2=7S△MF1F2，且∠F2F1N=∠F2NF1，则C的离心率为______．
16.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2,3)，P(A1)=18，P(Ai+1|Ai)=2P(Ai)，P(Ai+1|Ai−)=18(i=1,2)，则P(A3)= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ex+asinx−1(a∈R)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若函数f(x)在x=0处取得极小值，求a的值；
(Ⅲ)若存在正实数m，使得对任意的x∈(0,m)，都有f(x)<0，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在正四棱锥S−ABCD中，SA=AB= 2，点O是AC的中点，点P在棱SD上(异于端点)．
(1)若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC；
(2)若二面角S−AC−P的余弦值为 55，求线段SP的长．
19.(本小题12分)
国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升，现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式，根据国家统计局公布的数据，对2013−2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y(单位：座)进行统计，得到如下表格：
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)；
(2)求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)，并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用(2)所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由，
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2
回归方程y​=b​x+a​中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x
参考数据：i=18yi=2292,i=18xi2=204,i=18yi2=730348,i=18xiyi=12041，5732=328329, 105≈10.25, 7369≈85.84
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=xk+1(lnx−λx)，其中k，λ∈R．
(1)若k=−1，讨论f(x)在[1,4]上的单调性；
(2)若存在正数k，使得∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2<0，求λ的取值范围．
21.(本小题12分)
已知抛物线C1：y2=4x−4与双曲线C2：x2a2−y24−a2=1(1(1)设A(x1,y1)，C(x2,y2)，求证：y1y2是定值；
(2)求|FQ||FP|的取值范围．
22.(本小题12分)
基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+…+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①∃M>0，an(1)若an=n+4n2，求数列{an}的最小项；
(2)若bn=12n−1，记Sn=i=1nbn，判断数列{Sn}是否具有性质P，并说明理由；
(3)若cn=(1+1n)n，求证：数列{cn}具有性质P．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AD
12.BD
13.{0,1,2}
14.(−∞,−2)∪(23,+∞)
15.57
16.3012048
17.解：(Ⅰ)由f(x)=ex+asinx−1(a∈R)，f′(x)=ex+acsx，
由f′(0)=1+a，f(0)=0，
所以曲线在(0,f(0))处的切线方程为y−0=(1+a)(x−0)，即y=(a+1)x，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y=(a+1)x；
(Ⅱ)由函数f′(0)=1+a=0，所以a=−1，此时f(x)=ex−asinx−1，f′(x)=ex−csx，
当x>0时，f′(x)=ex−csx>1−csx≥0，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
设g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex+sinx，设φ(x)=g′(x)，则φ′(x)=ex+csx，
所以，当x∈(−π2,0)，φ′(x)>0，所以g′(x)在区间(−π2,0)上单调递增，
又g′(−π2)=e−π2−1<0，g′(0)=1>0，故存在x0∈(−π2,0)使得g′(x0)=0，
所以当x∈(x0,0)时，g(x)所以f(x)在区间(x0,0)上单调递减，故函数在x=0时，取得极小值，所以a=−1，
所以a的值为−1；
(Ⅲ)①若a≥−1时，当x∈(0,π2)时，sinx>0，所以f(x)≥ex−sinx−1，
由(Ⅱ)可知，y=ex−sinx−1在区间(0,+∞)上单调递增，
所以ex−sinx−1>e0−sin0−1=0，所以f(x)在区间(0,π2)上恒成立，
此时不存在正实数m，使得对任意的x∈(0,m)都有f(x)<0，
所以当a≥−1不合题意，
②当a<−1时，f′(x)=ex+acsx，设ℎ(x)=f′(x)，则ℎ′(x)=ex−asinx，
所以当x∈(0,π2)时，ℎ′(x)=ex−asinx>ex+sinx>0，所以f′(x)在区间(0,π2)上单调递增，
而f′(0)=1+a<0，f′(π2)=eπ2>0，故存在m∈(0,π2)，使得f′(m)=0，
所以，当x∈(0,m)时，f′(x)<0，，即f(x)在区间(0,m)上单调递减，
所以，当x∈(0,m)时，f(x)所以a<−1符合题意，
综上所述，a的取值范围为(−∞,−1)．
18.(1)证明：由题意得，正四棱锥所有棱长均为 2，
因为P是SD的中点，
故CP⊥SD，AP⊥SD，又AP∩CP=P，且AP，CP⊂平面PAC，
故SD⊥平面PAC，又SD⊂平面SAD，
故平面SAD⊥平面PAC；
(2)如图，连接OB，易知OB，OC，OS两两垂直，
以O为原点，以OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A(0,−1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，D(−1,0,0)，
所以AC=(0,2,0),SD=(−1,0,−1)，
设SP=λSD,0<λ<1，则SP=(−λ,0,−λ)，
所以P(−λ,0,1−λ)，所以AP=(−λ,1,1−λ)，
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=−λx+y+(1−λ)z=0n⋅AC=2y=0，
令z=λ，则x=1−λ，所以平面PAC的一个法向量为n=(1−λ,0,λ)，
易知平面SAC的法向量为OB=(1,0,0)，
设二面角S−AC−P的平面角为θ，
则csθ=|cs|=|OB⋅n||OB||n|=|1−λ| (1−λ)2+λ2×1= 55，
即3λ2−8λ+4=0，解得λ=23或λ=2(不合题意，舍去)，
此时SP=23SD=2 23．
19.解：(1)x−=1+2+3+4+5+6+7+88=92,y−=22928=5732，
相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2=i=18xiyi−8x−⋅y− (i=18xi2−8x−2)(i=18yi2−8y−2)
=12041−8×92×5732 (204−8×814)(730348−8×3283294)=1727 42× 73690≈172720.5×85.84≈0.98，
因为y与x的相关系数r=0.98，接近1，所以y与x的线性相关程度很高，
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=18xiyi−8x−⋅y−i=18xi2−8x−2=12041−8×92×5732204−8×814=172742≈41.12，
a =y−−b x−≈5732−41.12×92=101.46，
又2024年对应的年份代码x=12，
当x=12时，y =41.12×12+101.46=594.9≈595，
所以预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为595．
(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由(2)所求的线性回归方程预测，理由如下(说出一点即可)：
①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．
20.解：(1)由题意得，f(x)=lnx−λx，x∈[1,4]，f′(x)=1x−λ=1−λxx．
若λ≤0，则f′(x)>0，此时f(x)在[1,4]上单调递增；
若0<λ≤14，则f′(x)≥0，此时f(x)在[1,4]上单调递增；
若λ≥1，则f′(x)≤0，此时f(x)在[1,4]上单调递减；
若14<λ<1，则当x∈[1,1λ)时，f′(x)>0，当x∈(1λ,4]时，f′(x)<0，
故f(x)在[1,1λ)上单调递增，在(1λ,4]上单调递减．
综上所述，当λ≤14时，f(x)在[1,4]上单调递增；
当14<λ<1时，f(x)在[1,1λ)上单调递增，在(1λ,4]上单调递减；
当λ≥1时，f(x)在[1,4]上单调递减．
(2)由题意得，∃k∈(0,+∞)，使得函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
f′(x)=(k+1)xk(lnx−λx)+xk+1(1x−λ)=xk[(k+1)lnx−λ(k+2)x+1]．
令F(x)=(k+1)lnx−λ(k+2)x+1，
问题即转化为：∃k∈(0,+∞)，∀x∈(0,+∞)，F(x)≤0．
①当λ≤0时，F′(x)=k+1x−λ(k+2)>0，且单调递增，
易知x→+∞，F(x)→+∞，不合题意，舍去．
②当λ>0时，因为F′(x)=k+1x−λ(k+2)，
∴F(x)在(0,k+1λ(k+2))上单调递增，在(k+1λ(k+2),+∞)上单调递减，
∴F(x)max=F(k+1λ(k+2))=(k+1)lnk+1λ(k+2)−k≤0．
即∃k∈(0,+∞)，使得lnλ≥lnk+1k+2−kk+1．
令G(k)=lnk+1k+2−kk+1=ln(k+1)−ln(k+2)+1k+1−1，
故G′(k)=1k+1−1k+2−1(k+1)2=−1(k+2)(k+1)2<0，
∴G(k)在(0,+∞)上单调递减，且当k→+∞时，G(k)=ln(1−1k+2)+1k+1−1→−1，
∴lnλ>−1，
∴λ>1e．
综上所述，实数λ的取值范围为(1e,+∞)．
21.解：(1)证明：(1)由A(x1,y1)，C(x2,y2)是直线AF与抛物线C1：y2=4x−4的两个交点，
显然直线AF不垂直y轴，点F(2,0)，
故设直线AF的方程为x=my+2，由x=my+2y2=4x−4消去x并整理得y2−4my−4=0，所以y1y2=−4为定值．
(2)由(1)知B(x1,−y1)，直线BC的斜率y2−y1−x1=y2+y1y22+44−y12+44=4y2−y1，方程为y+y1=4y2−y1(x−x1)，
令y=0，得点P的横坐标xP=y1(y2−y1)4+y12+44=y1y2+44=0，
设D(x3,y3)，
由x=my+2x2a2−y24−a2=1消去x得(4m2−m2a2−a2)y2+4m(4−a2)y+(4−a2)2=0，
所以4m2−m2a2−a2≠0Δ=16m2(4−a2)2−4(4−a2)2(4m2−m2a2−a2)=4a2(m2+1)(4−a2)2>0，
y1+y3=−4m(4−a2)4m2−m2a2−a2,y1y3=(4−a2)24m2−m2a2−a2，
而直线BD的方程为y+y1=y3+y1x3−x1(x−x1)，依题意m≠0，
令y=0，得点Q的横坐标xQ=y1(x3−x1)y3+y1+x1=y1(x3−x1)+x1(y3+y1)y3+y1=y1x3+y3x1y1+y3=y1(my3+2)+y3(my1+2)y1+y3=2my1y3+2(y1+y3)y1+y3=2m(4−a2)24m2−m2a2−a2+−8m(4−a2)4m2−m2a2−a2−4m(4−a2)4m2−m2a2−a2=(4−a2)−4−2=12a2，
因此|FQ||FP|=2−12a22=1−14a2∈(0,34)，
所以|FQ||FP|的取值范围是(0,34)．
22.解：(1)∵an=n2+n2+4n2≥33n2⋅n2⋅4n2=3，
当且仅当n2=4n2，即n=2时，等号成立，
∴数列{an}的最小项为a2=2+422=3；
(2)数列{Sn}具有性质P，
∵bn=12n−1=12n−1+2n−1−1≤12n−1，
∴Sn=i=1nbi≤i=1n12i−1=1+121+122+⋯+12n−1=1−12n1−12=2(1−12n)<2，
∴数列{Sn}满足条件①，
∵bn=12n−1>0，∴Sn∴数列{Sn}满足条件②．
综上，数列{Sn}具有性质P；
(3)证明：先证数列{cn}满足条件①：
cn=(1+1n)n=Cn0+Cn1⋅1n+Cn2⋅1n2+Cn3⋅1n3+⋯+Cnn⋅1nn．
当k≥2时，Cnk⋅1nk=n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)nk⋅k!
=nn⋅n−1n⋅n−2n⋯n−k+1n⋅1k!
≤1k!≤1k(k−1)=1k−1−1k，
则cn=(1+1n)n≤1+1+(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)=3−1n<3，
∴数列{Sn}满足条件①；
再证数列{cn}满足条件②：
cn=(1+1n)n=(1+1n)⋅(1+1n)⋯(1+1n)×1
<[(1+1n)+(1+1n)+⋯+(1+1n)+1n+1]n+1(1+1n>1，等号取不到)
=(n+1+1n⋅nn+1)n+1=(1+1n+1)n+1=cn+1，
∴{cn}为单调递增数列，∴数列{cn}满足条件②，
综上，数列{cn}具有性质P． 年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
垃圾焚烧无害化
处理厂的个数y
166
188
220
249
286
331
389
463