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江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题
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考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.
【详解】解不等式，得，
所以.
故选：B
2. 已知命题，则：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.
【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以：.
故选：C
3. 函数在区间上（ ）
A 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.
【详解】，即，
设，则单调递减，
且
故存在唯一一个使
故在上，，此时单调递减；
在上，，此时单调递增；
故在区间上先减后增.
故选：D
4. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式代入验证即可.
【详解】因为，而，
所以.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.
详解】由，可得，则，
则.
故选：D.
6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；
【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，
可得恒成立，故充分性成立；
取，满足恒成立，
但的解集为，故必要性不成立；
所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可.
【详解】设切点横坐标为，求导： 得，
由题意可得解得：，
所以，
所以时，的最大值为.
故选:C
8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解.
【详解】令可得，
在同一直角坐系中作出和的图象如下：
要使有3个零点，则，
由图可知：有一个零点，有2个零点，且，
即有一个零点，有2个零点，且
故，，
由于，故，
化简可得，平方解得，
由于，故，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个数；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；
(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.
【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；
对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；
对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；
对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；
故选：ABD
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
【答案】BC
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
所以公寓采光效果不变，故B正确；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，
又因为，所以，
因为，所以,
当时，采光效果不变，
所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误.
故选：BC.
11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（ ）
A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0
B. 若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在
C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造即可判断D选项.
【详解】对于A，，则，
当为奇函数时，则，即；
当为偶函数时，则，即，
即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；
对于B，当，时，不具有奇偶性，
满足的奇函数与偶函数存在，故B错误；
对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则，
，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确；
对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则，
，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.
【详解】设，则.
在上任取一点，
则函数在该点处的切线方程为：即.
只要不同，切线方程就不同.
故答案为：（答案不唯一）
13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________．
【答案】 ①. . ②.
【解析】
【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.
【详解】
如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，
因矩形的周长为24，则，对折后,易得,
设，则,在中，由勾股定理，，
整理得，即
的面积为，
因，则当且仅当时，，
此时时，.
故答案为：；.
14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.
【详解】时，，则.
．定义在上的函数满足：．
令，得到，即.
由于，则.
则要使得式子恒成立，则，解得或或者.
由于.则.
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，，
又，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，设，，
所以，
则，
则，
故；
【小问2详解】
，则，
则，
则，
又，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，故.
16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．
（1）请你在①和②中任选一个进行证明；
（2）在中，已知，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解.
【小问1详解】
若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
【小问2详解】
由已知，
可得，
即，
即，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以的面积.
17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点．
（1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
（2）求四边形的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率；
（2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.
【小问1详解】
由可知,椭圆上顶点为，即,
直线的斜率为，则直线的方程为：，
将其代入整理得，，解得，或，
因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：；
【小问2详解】
如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和，
利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形面积是面积的一半.
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为
代入，整理得：，显然，
设，则，
于是，
，
点到直线的距离为，
则四边形的面积为，
令，则，且，代入得，，
因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时.
18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
（1）概率；
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；
（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
【答案】（1），
（2）
分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出；
（2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出；
（3）分蓝方击中、和次三种情况讨论.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
的可能取值为，
因为，，
，
所以分布列为：
所以；
【小问3详解】
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.
19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明；
（2）是否存在正数c，对任意，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说
明理由；
（3）已知常数，证明：当x足够大时，总有．
【答案】（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.
（2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立.
（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.
【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上，
反之亦然，而点与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
（2）存在正数，对任意的，恒成立，
令，显然，
根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有，
当时，求导得，令，
求导得，函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
因此，；
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此函数在上单调递增，，
所以存在正数c，对任意的，总有，.
（3），不妨令，则不等式，
令，求导得，
当时，；当，
函数在上单调递增；在上单调递减，
当时，，，
当时，由，得是函数的一个零点，
又，而趋近于正无穷大时，趋近于，
因此存在大于的正数，使得，当时，，
所以对于，存在正数，使得，恒有；
，不妨令，，不等式，
令，则函数在上单调递增；在上单调递减，，
令，求导得，函数在上单调递增，值域为，
存在，使得，当，即时，，恒成立，
当，即时，函数有两个零点，
对于，恒成立，因此对于，存在正数，使得，恒成立，
取，对于任意的，成立，
所以当x足够大时，总有.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集运算可得.
【详解】解不等式，得，
所以.
故选：B
2. 已知命题，则：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.
【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以：.
故选：C
3. 函数在区间上（ ）
A 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.
【详解】，即，
设，则单调递减，
且
故存在唯一一个使
故在上，，此时单调递减；
在上，，此时单调递增；
故在区间上先减后增.
故选：D
4. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式代入验证即可.
【详解】因为，而，
所以.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.
详解】由，可得，则，
则.
故选：D.
6. 设，函数，则“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；
【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，
可得恒成立，故充分性成立；
取，满足恒成立，
但的解集为，故必要性不成立；
所以“关于x的不等式的解集为”是“恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设切点切点横坐标为，由题意列出的关系，进而得到，再由二次函数求最值即可.
【详解】设切点横坐标为，求导： 得，
由题意可得解得：，
所以，
所以时，的最大值为.
故选:C
8. 若函数的3个零点由小到大排列成等差数列，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为和的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中项求解.
【详解】令可得，
在同一直角坐系中作出和的图象如下：
要使有3个零点，则，
由图可知：有一个零点，有2个零点，且，
即有一个零点，有2个零点，且
故，，
由于，故，
化简可得，平方解得，
由于，故，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个数；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；
(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列曲线平移后可得到曲线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图像的平移变换可判断ABD，根据图像的伸缩变换可判断C.
【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；
对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；
对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；
对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；
故选：ABD
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
【答案】BC
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D.
【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，
依题意有，解得，
所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
所以公寓采光效果不变，故B正确；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，
所以，即,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，
又因为，所以，
因为，所以,
当时，采光效果不变，
所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误.
故选：BC.
11. 设函数的定义域关于原点对称，且不恒为0，下列结论正确的是（ ）
A. 若具有奇偶性，则满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0
B. 若不具有奇偶性，则满足奇函数与偶函数不存在
C. 若为奇函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
D. 若为偶函数，则满足的奇函数与偶函数存在无数对
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例，即可判断B选项；通过构造，即可判断C选项；通过构造即可判断D选项.
【详解】对于A，，则，
当为奇函数时，则，即；
当为偶函数时，则，即，
即满足的奇函数与偶函数中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；
对于B，当，时，不具有奇偶性，
满足的奇函数与偶函数存在，故B错误；
对于C，为奇函数时，令奇函数，偶函数，则，
，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故C正确；
对于D，为偶函数，令奇函数，偶函数，则，
，故存在无数对奇函数与偶函数，满足.故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设函数的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.
【详解】设，则.
在上任取一点，
则函数在该点处的切线方程为：即.
只要不同，切线方程就不同.
故答案为：（答案不唯一）
13. 已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则______________（用x表示），当的面积最大时，______________．
【答案】 ①. . ②.
【解析】
【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.
【详解】
如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，
因矩形的周长为24，则，对折后,易得,
设，则,在中，由勾股定理，，
整理得，即
的面积为，
因，则当且仅当时，，
此时时，.
故答案为：；.
14. 已知a为常数，且．定义在上的函数满足：，且当时，，则______________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意，先求出，再赋值得到，将转化为，运用不等式传递性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.
【详解】时，，则.
．定义在上的函数满足：．
令，得到，即.
由于，则.
则要使得式子恒成立，则，解得或或者.
由于.则.
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．
（1）求证：；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，，
又，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，设，，
所以，
则，
则，
故；
【小问2详解】
，则，
则，
则，
又，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，故.
16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①；②．
（1）请你在①和②中任选一个进行证明；
（2）在中，已知，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；
（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面积公式求解.
【小问1详解】
若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
【小问2详解】
由已知，
可得，
即，
即，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以的面积.
17. 分别过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点．
（1）当P为C的上顶点时，求直线PQ的斜率；
（2）求四边形的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）结合图形，易得，求得的斜率，由直线与椭圆的方程联立，求得点，即得直线PQ的斜率；
（2）结合图形，由对称性可知，四边形是平行四边形，四边形的面积是面积的一半，设直线的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出和点到直线的距离，得到四边形的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.
【小问1详解】
由可知,椭圆上顶点为，即,
直线的斜率为，则直线的方程为：，
将其代入整理得，，解得，或，
因点在x轴上方,故得点，于是直线PQ的斜率为：；
【小问2详解】
如图，设过点的两条平行线分别交椭圆于点和，
利用对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形面积是面积的一半.
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线的方程为
代入，整理得：，显然，
设，则，
于是，
，
点到直线的距离为，
则四边形的面积为，
令，则，且，代入得，，
因函数在上单调递增，故，当时，取得最小值为4，此时.
18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：
（1）概率；
（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；
（3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
【答案】（1），
（2）
分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出；
（2）求出的可能取值范围及对应的概率，求出；
（3）分蓝方击中、和次三种情况讨论.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
的可能取值为，
因为，，
，
所以分布列为：
所以；
【小问3详解】
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
若蓝方击中次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为，
所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.
19. （1）函数与的图象有怎样的关系?请证明；
（2）是否存在正数c，对任意，总有？若存在，求c的最小值；若不存在，请说
明理由；
（3）已知常数，证明：当x足够大时，总有．
【答案】（1）关于直线对称，证明见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.
（2）由零点，可得，再构造函数，利用导数证明时不等式恒成立.
（3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得.
【详解】（1）函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
令为函数图象上任意一点，即，则，因此点在函数的图象上，
反之亦然，而点与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
（2）存在正数，对任意的，恒成立，
令，显然，
根据指数函数与幂函数的增长特征，在上恒有，
当时，求导得，令，
求导得，函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
因此，；
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此函数在上单调递增，，
所以存在正数c，对任意的，总有，.
（3），不妨令，则不等式，
令，求导得，
当时，；当，
函数在上单调递增；在上单调递减，
当时，，，
当时，由，得是函数的一个零点，
又，而趋近于正无穷大时，趋近于，
因此存在大于的正数，使得，当时，，
所以对于，存在正数，使得，恒有；
，不妨令，，不等式，
令，则函数在上单调递增；在上单调递减，，
令，求导得，函数在上单调递增，值域为，
存在，使得，当，即时，，恒成立，
当，即时，函数有两个零点，
对于，恒成立，因此对于，存在正数，使得，恒成立，
取，对于任意的，成立，
所以当x足够大时，总有.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
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