2024年春 中考数学 习题课件 第四部分 图形的性质 第20课时 矩形、菱形、正方形

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1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以 1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动. 设点P的运动时间为t s，下列结论正确的是( )A. 当t＝4 时，四边形ABMP 为矩形B. 当t＝5 时，四边形CDPM 为平行四边形C. 当CD＝PM 时，t＝4D. 当CD＝PM 时，t＝4 或6
点拨：由题意得PD＝t cm，BM＝t cm，则AP＝AD－PD＝(10－t)cm，CM＝BC－BM＝(8－t)cm，当t＝4时，AP＝10－ 4＝6(cm)，BM＝4 cm，则AP≠BM，∴四边形ABMP不是矩 形，故A 错误；当t＝5 时，PD＝5 cm，CM＝8－5＝3(cm)，则PD≠CM，∴四边形CDPM 不是平行四边形，故B 错误；
如图①，当PM＝CD，且PM与CD不平行时，过点C作CE⊥AD 于点E，过点M 作 MF⊥AD 于点 F，则四边形 CEFM是矩形，∴ FM＝CE.∴ Rt△PFM ≌ Rt△DEC (HL).∴ PF＝DE＝10－8＝2(cm)，EF＝CM＝(8－t)cm.∴ AP＝10－2－2－(8－t)＝t－2(cm).又∵ AP＝(10－t)cm，∴ t－2＝10－t，解得 t＝6.
如图②，当 PM＝CD，且 PM//CD 时，四边形CDPM是平行四边形，∴ DP＝CM.∴ t＝8－t，解得 t＝4.综上，当CD＝PM 时，t＝4 或6，故C 错误，D 正确.
答案： D
2．[2023·十堰]如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD 上的点，且BE＝BF＝CG＝AH. 若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_______.
答案： 6
3．[2022·鄂州]如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60 °，DF＝6，求矩形ABCD的面积.
4．[2022·十堰]如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点O，E，F分别是OA，OC 的中点.
(1)求证：BE＝DF；
5．[2023·湘潭]如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( )A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
8．[2023·上海]在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD. 下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是( )A. AB∥CD B. AD＝BCC. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
9．[2023·常德]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE. 若∠FAC＝15°，则∠AED 的度数为( )A. 80° B. 90° C. 105° D. 115°
10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°. 动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF. 点E关于AD，AB的对称点分别为E1，E2；点F关于 BC，CD的对称点分别为F1，F2.
在整个过程中，四边形E1E2F1F2 形状的变化依次是( )A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
点拨：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90° .由对称得∠E1DA＝∠EDA，∠FDC＝∠F2DC，∵∠EDA＋ ∠FDC＝∠ADC＝90°，∴∠E1DA＋ ∠F2DC＝90°.∴∠E1DF2＝180°，即D 在E1F2 上，同理可得A，B，C分别在E1E2，E2F1，F1F2 上. 易知DC∥AB，∴∠ABD＝∠BDC＝60° .∴∠F2DC＝60°，
∴∠E1DB＝60°，同理∠F1BD＝60° . ∴∠E1DB＝∠F1BD，∴ E1F2∥F1E2.∵ O 为BD 的中点，∴ OB＝OD.又∵ OE＝OF，∴ DF＝BE，BF＝DE.由对称得DF2＝DF，DE1＝DE，BF1＝BF，BE＝BE2，∴ E1F2＝E2F1. ∴四边形E1E2F1F2是平行四边形. 如图①，当E，F，O 三点重合时，连接OC，易知DE1＝DF2＝CF1＝CF2，即F1F2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形.
∴ AE12＝3. 又∵ AD2＝12，DE12＝9，∴ AD2＝AE12＋DE12. ∴△ DE1A是直角三角形，且∠E1＝90° .∴四边形E1E2F1F2是矩形.如图③，当F，E分别与D，B重合时，易知△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形.∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形.
答案： A
11．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件_________，使得矩形ABCD 为正方形.
AB＝AD(答案不唯一)
12．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多个小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E 为BC 边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________.