北京市通州区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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2023年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交国.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角为120°
4. 已知函数，则（ ）
A. 当且仅当，时，有最小值
B. 当且仅当时，有最小值2
C. 当且仅当时，有最小值
D. 当且仅当时，有最小值.2
5. 下列命题中的假命题是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C D.
9. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知数列的前项和为，且，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若，则；
④若数列是单调递增数列，则的取值范围是.
A. 1B. 2C. 3D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数，则的定义域为____________.
12. 已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列的前9项和的值为__________.
13. 已知实数a，b满足关于x的不等式的解集为，且满足关于的不等式的解集为，则满足条件的一组a，b的值依次为______.
14. 在等腰中，，，则____________；若点满足，则的值为___________.
15. 已知函数，，给出下列四个结论：
①函数在区间上单调递减；
②函数的最大值是；
③若关于的方程有且只有一个实数解，则的最小值为；
④若对于任意实数a，b，不等式都成立，则取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数，.
（1）当时，若，求的值域
（2）若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调区间；
（3）比较与的大小，并说明理由.
18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，再从下面给出的条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一.
（1）求值；
（2）求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数取值范围.
20. 已知函数，，.
（1）求的值；
（2）求在区间上最大值；
（3）当时，求证：对任意，恒有成立.
21. 已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
（1）若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
（2）设数列的前项和为，求证：.