高考数学2025 概率与随机变量 专项练习12（天津专用）

这是一份高考数学2025 概率与随机变量 专项练习12（天津专用），共11页。
3.（2024南开区一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为__________；第二次抽到3号球的概率为__________
4.（2024和平区二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为__________；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为__________.
5.（2024滨海新区三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为______.这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率______.
6.（2024部分区二模）盒子里有大小和形状完全相同的个黑球和个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ______．
7.（2024河东区一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为__________；任找两个人，则小明有血可以输的概率为__________.
8.（2024河东区二模）甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球除颜色外，球的大小、形状完全相同先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则______，______.
9.（2024河西区三模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为______.
10.（2024红桥区一模）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为__________，本次比赛甲获胜的概率为__________ .
11.（2024北辰区三模） 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为___________；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为___________.
12.（2024河北区一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物C进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________.
13.（2024河北区二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为_______，第三天不玩手机的概率为_____________.
14. （2024南开区二模） 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为___________；3次结果中最多一次正面向上的概率为___________.
15.（2024河西区二模）某学校有A，B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐厅的概率均为.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则某同学第2天去A餐厅用餐的概率为__________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值___________.
16.（2024红桥区二模）某同学高考后参加国内3所名牌大学的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学招生考试的概率分别为，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为__________；该同学恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为__________.
2024天津各区高考数学模拟卷分类汇编—专题十二概率和随机变量答案
1.【答案】 ；
【解析】【分析】求出随机变量X的各个取值的概率，求期望，据此求即可.
【详解】由题意，X的可能取值为，
则，，
，，
所以；
党员甲能通过初试的概率为
故答案为：；
2.【答案】 ；
【解析】【分析】记“第i次举起该重量”分别为事件，“甲选手挑战成功”为事件 B，依题意X的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出
【详解】依题意随机变量X的可能取值为1、2、3，则；；
，
所以随机变量X的概率分布为
所以随机变量X的期望为
记“第i次举起该重量”分别事件，“甲选手挑战成功”为事件 B，
则，
，
所以，
所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为
故答案为：；
3.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，全概率公式，属于中档题.
根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，第二次抽到3号球为事件B，再利用全概率公式求解即可.
【解答】
解：根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，
第二次抽到1号球的概率，
记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
则，，，
记第二次抽到3号球为事件B，
所以第二次抽到3号球的概率为
故答案为：；
4.【答案】 ；
【解析】【分析】根据题意，设甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案．
【详解】根据题意，设甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，
则，，，
所以，，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，
则这个问题回答正确的概率
故答案为：；
5.【答案】
【解析】解：设事件A表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，
则，
设事件B表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件C表示“他们选择的景点不相同”，
则，，
所以
故答案为：；
利用古典概型的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设事件表示“第一次取到黑球”，事件表示“第二次取到黑球”，
则，，
所以，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以．
故答案为：；．
利用条件概率公式可求解第一空，由题意可知，的所有可能取值为，，，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式可求解第二空．
本题主要考查了条件概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
7.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查对立事件的概率公式，属于基础题.
根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空
【解答】
解：由于小明是B型血，所以血型为O，B的可以给小明输血，
故概率为，
小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为
，
所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为
故答案为：；
8.【答案】
【解析】解：甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球除颜色外，球的大小、形状完全相同
先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．
分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，
则，，
，
，，，
，，，
，，，
故答案为：，
先分别求出，，再由，能求出；分别求出，，，，，，从而求出，，，再由，能求出
故答案为：，
本题考查概率的求法，考查条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：令A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，
显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，由于，，
设，
由全概率公式得：，
而，故
故答案为：
令A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
10.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
利用古典概型、排列组合，能求出结果．
【解答】
解：到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率为
若甲获胜，分2种情况：
①甲连赢2局，其概率为，
②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为
故甲获胜的概率为
故答案为；
11.【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求；结合条件概率求.
【详解】设“第次是甲投篮”为事件，“投篮命中”为事件B，
由题意可知：，，
则，
所以第2次投篮的人是甲的概率为
；
且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为
.
故答案为：；.
12.【答案】 ；
【解析】【分析】
本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式，属于较易题.
根据题意，由概率的乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率.
【解答】
解：因为某地区烟民的肺癌发病率为，没有患肺癌的人其化验结果呈阴性，
则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为；
设事件A表示某地区烟民患肺癌，则，，
设事件B表示检验结果为阳性，
则，，
所以某烟民的检验结果为阳性的概率为：
，
所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为
故答案为：；
13.【答案】 ①. 0.3 ②. 0.55
【解析】
【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可.
【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，
所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为，
由全概率公式知第三天不玩手机的概率为.
故答案为：；
14.【答案】 ① ## ②. ##
【解析】
【分析】借助概率的乘法公式计算即可得.
【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数，
事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上，
事件为3次结果中最多一次正面向上，
则；
.
故答案为：；.
15.【答案】
16.【答案】 或； 或
【解析】【分析】根据恰好能通过其中2所大学招生考试的概率列方程，通过整体代入可得该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再利用基本不等式可得恰好通过两所大学招生考试的概率最大值.
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，
由得，，
所以，即，
解得或，即或，
又，，
，，
当时，该同学恰好通过两所大学招生考试的概率取得最大值
故答案为：
血型
A
B
AB
O
该血型的人占比
X
1
2
3
P