2024-2025学年河南省平顶山市第四十二中学数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年河南省平顶山市第四十二中学数学九年级第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）点P（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
2、（4分）已知平行四边形中，一个内角，那么它的邻角（ ）.
A．B．C．D．
3、（4分）用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为( )
A．B．
C．D．
4、（4分）一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，▱ABCD 的周长为 16 cm，AC，BD 相交于点 O，OE⊥AC交 AD 于点 E，则△DCE 的周长为（ ）
A．4 cmB．6 cmC．8 cmD．10 cm
6、（4分）某边形的每个外角都等于与它相邻内角的，则的值为（ ）
A．7B．8C．10D．9
7、（4分）点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a，则四边形EMCN的面积（ ）
A．a2B．a2C．a2D．a2
8、（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯顶端距离地面AO=12，梯子底端离墙角的距离BO=5m．亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，请问这个定值是 _______．
10、（4分）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是_____．
11、（4分）一组数据5、7、7、x中位数与平均数相等，则x的值为________．
12、（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=a，CE=b，H是AF的中点，那么CH的长是______．（用含a、b的代数式表示）
13、（4分）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（-1，4），则点C的坐标是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）用配方法解方程:x2-6x+5=0
15、（8分）如图，的顶点坐标分别为，.
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标
（3）若内一点绕原点逆时针旋转的上对应点为，请写出的坐标.(用含，的式子表示).
16、（8分）如图，在矩形中，点在边上，且平分.
(1)证明为等腰三角形;
(2)若，，求的长.
17、（10分）如图，点A的坐标为（﹣，0），点B的坐标为（0，3）．
（1）求过A，B两点直线的函数表达式；
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．
18、（10分）已知两地相距，甲、乙两人沿同一公路从 地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车，如图中分别表示甲、乙离开地的距离 与时间 的函数关系的图象，结合图象解答下列问题.
（1）甲比乙晚出发___小时，乙的速度是___ ；甲的速度是___.
（2）若甲到达地后，原地休息0.5小时，从地以原来的速度和路线返回地，求甲、乙两人第二次相遇时距离地多少千米？并画出函数关系的图象.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在中，若，点是的中点，则_____．
20、（4分）如图，函数y=3x和y=ax+4的图象相交于点A(1，3)，则不等式3x21、（4分）如图，一次函数与的图的交点坐标为（2，3），则关于的不等式的解集为_____.

22、（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .
23、（4分）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在四边形是边长为4的正方形点P为OA边上任意一点（与点不重合），连接CP，过点P作，且，过点M作，交于点联结，设.
（1）当时，点的坐标为（ ， ）
（2）设，求出与的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.
（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点的坐标（用的式子表示）
25、（10分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）
26、（12分）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数.
(1)当在什么样的范围内，直线与曲线必有两个交点.
(2)在（1）的情况下，结合图像，当时，请直接写出自变量x的范围（用含字母k的代数式表示）.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
解：根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．故应选A
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标
2、C
【解析】
根据平行四边形的性质：邻角互补，求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B=120°，
故选C．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，属于基础性题目．
3、A
【解析】
根据配方法的步骤逐项分析即可.
【详解】
∵x2+px+q=0，
∴x2+px=-q，
∴x2+px+=-q+，
∴.
故选A.
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4、C
【解析】
根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】
A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选C.
此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
5、C
【解析】
根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
【详解】
∵平行四边形ABCD，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC．
∵EO⊥AC，∴AE=EC．
∵AB+BC+CD+AD=16cm，∴AD+DC=8cm，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8（cm）．
故选C．
本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出AE=CE，主要培养学生运用性质进行推理的能力．
6、C
【解析】
设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案.
【详解】
设内角为x，则相邻的外角为x，
由题意得，x +x=180°，
解得，x=144°，
360°÷36°=10
故选：C.
本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键.
7、D
【解析】
根据题意过E作EK垂直于直线CD，垂足为K，再过E作EL垂直于直线BC，垂足为L，只要证明,则可计算.
【详解】
解：根据题意过E作EK垂直于直线CD，垂足为K，再过E作EL垂直于直线BC，垂足为L.
四边形ABCD为正方形
EL=EK




为直角三角形




故选D.
本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线.
8、A
【解析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故正确；
B、=0，故错误；
C、=1，故错误；
D、=3,故错误；
故选：A．
考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据勾股定理求出AB的长度，然后由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．
【详解】
解：在Rt△ABO中，AO=12，BO=5，
∴，
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴AB上的中点到墙角O的距离总是定值，
此定值为.
故答案为：.
本题考查了勾股定理的应用，以及斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边．
10、m≤1
【解析】
根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集．
【详解】
不等式组的解集是x＞1，得：m≤1．
故答案为m≤1．
本题考查了不等式组解集，求不等式组的解集，解题的关键是注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11、5或2
【解析】
试题分析：根据平均数与中位数的定义就可以解决．中位数可能是7或1．
解：当x≥7时，中位数与平均数相等，则得到：（7+7+5+x）=7，解得x=2；
当x≤5时：（7+7+5+x）=1，解得：x=5；
当5＜x＜7时：（7+7+x+5）÷4=（x+7）÷2，解得x=5，舍去．
所以x的值为5或2．
故填5或2．
考点：中位数；算术平均数．
12、
【解析】
连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【详解】
解：连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，
∠ACG=45°，∠FCG=45°，
∴∠ACF=90°，
∵BC=a，CE=b，
∴AC=a，CF=b，
由勾股定理得，AF==，
∵∠ACF=90°，H是AF的中点，
∴CH=，
故答案为：．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13、 (3,0)
【解析】
试题分析：此类问题是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
【详解】
根据点A的坐标即可确定正方形的边长，从而求得点C的坐标．
∵正方形ABCD，点A的坐标是（－1，4）
∴点C的坐标是（3，0）．
考点：坐标与图形性质．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、x1=5，x2=1．
【解析】
首先移项，把方程变形为x2-6x=-5的形式，方程两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边是完全平方式，右边是常数，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】
x2-6x+5=0
移项得，x2-6x=-5
x2-6x+9=-5+9，
∴（x-3）2=4，
∴x-3=±2，
解得x1=5，x2=1．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15、（1）见解析；（2），见解析；（3）.
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；
（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．
【详解】
解：(1)如图，为所作；
(2)如图，为所作，点的坐标为；
(3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为．
故答案为：（1）见解析；（2），见解析；（3）.
本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
16、（1）理由见解析；（2）
【解析】
（1）根据等腰三角形的判定定理证明即可.
（2）在三角形ABE中应用勾股定理可计算的BE的长，再结合三角形BCE为等腰三角形即可的BC=BE.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵EC平分，
，
即是等腰三角形.
（2）∵四边形ABCD是矩形，，
由勾股定理得：
本题主要考查等腰三角形的判定定理，难度系数较小，应当熟练掌握.
17、（1）过A，B两点的直线解析式为y=2x+3；
（2）△ABP的面积为或．
【解析】
（1）设直线l的解析式为y=ax+b，把A、B的坐标代入求出即可；
（2）分为两种情况：①当P在x轴的负半轴上时，②当P在x轴的正半轴上时，求出AP，再根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：（1）设过A，B两点的直线解析式为y=ax+b（a≠0），
则根据题意，得，
解得:，
则过A，B两点的直线解析式为y=2x+3；
（2）设P点坐标为（x，0），依题意得x=±3，
∴P点坐标分别为P1（3，0），P2（﹣3，0），
=，
=，
故△ABP的面积为或．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的应用，关键是能求出符合条件的两种情况．
18、（1）1，15，60；（2）42，画图见解析.
【解析】
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据题意画出函数图像，可以求得所在直线函数解析式和所在直线的解析式，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）由图象可得，甲比乙晚出发1小时，乙的速度是：30÷2＝15km/h，甲的速度是：60÷1=60km/h，
故答案为1，15，60；
（2）画图象如图.
设甲在返回时对应的所在直线函数解析式为：，
由题意可知，M(2.5，60)，N（3.5，0），
将点M、N代入可得： ，解得
甲在返回时对应的函数解析式为：
设所在直线的解析式为：，
∴，解得，
所在直线的解析式为：，
联立，
消去得
答：甲、乙两人第二次相遇时距离地42千米．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，正确识图并找出所求问题需要的条件．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先依据勾股定理的逆定理，即可得到是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论．
【详解】
解：，，，
，
是直角三角形，
又点E是AB的中点，
，
故答案为：1．
本题主要考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意运用：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
20、
【解析】
由题意结合图象可以知道，当x=1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
【详解】
解：两个条直线的交点坐标为A（1，3），
当x＜1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的上方，
当x＞1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的下方，
故不等式3x故答案为：x＜1．
本题主要考查正比例函数、一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
21、x＜2.
【解析】
根据不等式与函数的关系由图像直接得出即可.
【详解】
由图可得关于的不等式的解集为x＜2.
故填：x＜2.
此题主要考查函数与不等式的关系，解题的关键是熟知函数的性质.
22、
【解析】
试题分析：∵AB=12，BC=1，∴AD=1．
∴．
根据折叠可得：AD=A′D=1，∴A′B=13－1=2．
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，解得：．
23、
【解析】
连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长．
【详解】
解：连接AE，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=4，
设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
故答案为：．
本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）点的坐标为；（2）；（3），
，，
【解析】
（1）过点作，由“”可证，可得，，即可求点坐标；
（2）由（1）可知,设OP=x，则可得M点坐标为（4+x，x），由直线OB解析式可得N（x，x），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形，进而可求与的函数关系式；
（3）首先画出符合要求的点的图形，共分三种情况，第一种情况：当为底边时，第二种情况：当M为顶点为腰时，第三种情况：当N为顶点为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．
【详解】
解：（1）如图，过点作，
，且
，且，
，
点坐标为
故答案为
（2）由（1）可知
，
点坐标为
四边形是边长为4的正方形，
点
直线的解析式为：
，交于点，
点坐标为
，且
四边形是平行四边形

（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，
此时点的坐标为：，，，，，，其中，
理由：当（2）可知，，，轴，所以共分为以下几种请：
第一种情况：当为底边时，作的垂直平分线，与轴的交点为，如图2所示
，
，
第二种情况：如图3所示，
当M为顶点为腰时，以为圆心，的长为半径画弧交轴于点、，连接、，
则，
，
，
，，
，
，
，；
第三种情况，当以N为顶点、为腰时，以为圆心，长为半径画圆弧交轴正半轴于点，
当时，如图4所示，
则，
，
即，．
当时，
则，此时点与点重合，舍去；
当时，如图5，以为圆心，为半径画弧，与轴的交点为，．
的坐标为：，．
，
，
所以，综上所述，，，，，，，使是等腰三角形．
本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
25、见详解
【解析】
根据等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【详解】
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O．
求证：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD，OA=OC
∴OD⊥AC （三线合一）
即AC⊥BD．
本题考查菱形的性质、等腰三角形的三线合一．线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）将两个函数关系式消去y，得到关于x的方程，根据根的判别式大于0列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）由（1）可求出x的值，再根据k的值进一步求解即可.
【详解】
（1）

（2）由（1）得：
若由图像得：
若
由图像得：
此题考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分