2019-2020学年天津市滨海新区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市滨海新区九年级上学期数学期中试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（ ）
A. （﹣1，0）B. （1，0）C. （0，﹣1）D. （0，1）
【答案】A
【解析】
【分析】二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根，解方程即可．
【详解】二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，
解方程（x+1）2＝0，
得：x1＝x2＝﹣1，
∴二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）；
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、方程的解法；明确二次函数y＝（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2＝0的根是解题关键．
2. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.
故选C.
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
3. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 80°后得△AB′C′，则∠CAB′的度数为（ ）
A. 45°B. 80°C. 125°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，
∴∠CAB′＝∠CAB＋∠BAB′＝125°，
故选C．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
4. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A. y=（x+1）2+4B. y=（x﹣1）2+4
C. y=（x+1）2+2D. y=（x﹣1）2+2
【答案】D
【解析】
【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选D．
5. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，DC＝3，将△ADC绕点A按逆时针旋转到△AEF(A、B、E在同一直线上)，连接CF，则CF的长为( )
A. 5B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得∠FAC＝∠BAD＝90°，AF＝AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，在Rt△FAC中，利用勾股定理可求CF.
【详解】解：∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，
∴∠FAC＝∠BAD＝90°，AF＝AC，
∵在Rt△ADC中，AC＝＝5，
∴在Rt△FAC中，CF＝＝5.
故选D.
【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，证明△FAC是等腰直角三角形是解题的关键．
6. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
7. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点H，若∠AOC＝60°，OH＝1，则弦AB的长为( )
A. 2B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】在Rt△AOH中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH＝，然后利用垂径定理解答即可.
【详解】解：∵OC⊥AB于H，
∴AH＝BH，
在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，OH＝1，
∴AH＝OH＝，
∴AB＝2AH＝2
故选A.
【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．
8. 如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，OB在x轴正半轴上，∠AOB＝30°，把△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为( )
A. (﹣，﹣1)B. (﹣1，﹣2)
C. (﹣2，﹣1)D. (﹣1，﹣)
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作A1E⊥x轴于E，解直角三角形求出OE，EA1即可解决问题.
【详解】解：如图，作A1E⊥x轴于E，
在Rt△OAB中，OB＝，∠AOB＝30°，
∴AB＝1，OA＝2AB＝2，
∵∠AOA1＝150°，
∴∠A1OB＝120°，∠A1OE＝60°，
∴OE＝OA1＝1，A1E＝OE＝，
∴A1(﹣1，﹣)，
故选D.
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、旋转的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠C＝68°，则∠ABD的度数为( )
A. 34°B. 56°C. 68°D. 112°
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，然后根据三角形内角和定理计算即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠C＝112°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝(180°﹣∠A)＝34°，
故选A.
【点睛】本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
下列说法错误的是( )
A. 函数图象开口向下B. 抛物线的对称轴是直线x＝2
C. b2﹣4ac＞0D. 当x≥1时，y≥6
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.
【详解】解：由表格可得，
该函数的对称轴是直线x＝＝2，故选项B正确，
该函数的顶点坐标是(2，7)，有最大值，开口向下，故选项A正确，
该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，
当x≥1时，y≤7，故选项D错误，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A. ﹣4B. ﹣2C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.
【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选B．
【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：．
12. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x=1，经过点（-1，0），有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c=0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1）其中正确的结论有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先根据图象的开口确定a, c的符号，利用对称轴知b的符号（a0，b>0 ），根据图象看出x=1，x=-1，x=m时y的值，从而得出答案．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=﹣1时，y=0，
∴a﹣b+c=0，
即a+c=b，所以②错误；
把b=﹣2a代入a﹣b+c=0中得3a+c=0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1且m≠1，
∴x=1时，函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞am2+mb+c，
即a+b＞m（am+b），所以④正确．
故选C．
【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置.
二、填空题
13. 把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是______.
【答案】y＝﹣2(x+3)2
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可.
【详解】解：把抛物线y＝﹣2x2向左平移3个单位长度所得图象的解析式是y＝﹣2(x+3)2，
故答案为y＝﹣2(x+3)2.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14. 在半径为6cm的圆中，长为6cm的弦所对的圆周角的度数为______.
【答案】30°或150°
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，易得△AOB是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案.
【详解】解：如图，首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，
∵OA＝OB＝6cm，AB＝6cm，
∴OA＝AB＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，
∴所对的圆周角的度数为：30°或150°.
【点睛】此题考查了圆周角定理以及等边三角形判定和性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
15. 若点与点关于原点对称，则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数，可得关于a、b的方程组，解方程组即可求得答案.
【详解】由题意得：，
解得：，
所以a+b=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
16. 如图⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF=50°,则∠A=______.
【答案】80°
【解析】
【分析】连结ID、IF，如图，先根据圆周角定理得到∠DIF＝2∠DEF＝100°，再根据切线的性质得ID⊥AB，IF⊥AC，则∠ADI＝∠AFI＝90°，然后根据四边形内角和计算∠A的度数．
【详解】解：连结ID、IF，如图，
∵∠DEF＝50°，
∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠ADI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＋∠DIF＝180°，
∴∠A＝180°−100°＝80°．
故答案为80°.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
17. 如图，AB是圆O的弦，AB＝20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．
【答案】20
【解析】
【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则OA＝AB＝20，再根据三角形中位线性质得到MN＝AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝×20＝20，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN＝AC，
当AC为直径时，AC的值最大，
∴MN的最大值为20，
故答案为20．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
18. 如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为________________．
【答案】40°或 100°或 70°
【解析】
【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°．
【详解】∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=20°，
∴θ=2×20°=40°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=20°，
∴∠CBH=70°，
∴∠OBH=50°，
∴θ=2×50°=100°；
当PB=PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=20°，
∴θ=∠BOG=70°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°，
故答案为40°或100°或70°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
三、解答题
19. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，抛物线的顶点为点D，已知点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(0，﹣3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)求△ACD的面积.
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；D(1，-4)；(2)△ACD的面积是8.
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式，然后将解析式化成顶点式，可得点D坐标；
(2)首先求出点C坐标，然后由三角形的面积公式解答.
【详解】解：(1)把(﹣1，0)，(0，﹣3)分别代入y＝x2+bx+c，得：，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3，
故该二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3=(x-1)2-4，
∴点D坐标为(1，-4)；
(2)令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得x=-1或x=3，
∴C(3，0)，
∴AC＝4，
∴S△ACD＝AC•|yD|＝×4×4＝8，即△ACD的面积是8.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，难度不大，但需要一定的计算能力．
20. 四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，
求(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)求DE的长度；
(3)BE与DF的位置关系如何？请说明理由．
【答案】(1)旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；(2)DE= 4；(3)BE与DF是垂直关系．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD-AE计算即可得解；
（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．
【详解】（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，
即AE=AF=3，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；
可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；
（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ADF≌△ABE，
∴AE=AF=4，AD=AB=7，
∴DE=AD-AE=7-4=3；
（3）BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．理由如下：
延长BE交DF于G，
∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ABE+∠F=90°，
∴BE⊥DF，
∴BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．
【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4.
(1)求证：四边形OACD为菱形.
(2)求AD的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)AD=4.
【解析】
【分析】(1)由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形OACD为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，可得结论；
(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，在Rt△ABD中利用勾股定理即可求出AD的长.
【详解】(1)证明：∵OA⊥BC，
∴，
∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝∠CDB，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDA＝∠ADB＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°
∴AC＝AB＝BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，
∴AC∥OD，AC=OD，
∴四边形OACD为平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴四边形OACD为菱形；
(2)由(1)可知BD＝2AB＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝4.
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
22. 如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
(1)求证：DF垂直平分AC；
(2)求证：FC＝CE；
(3)若弦AD＝5cm，AC＝8cm，求⊙O的半径．
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
【详解】（1）由DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，则DF⊥AC，进而可知DF垂直平分AC；
（2）可先证△AGD≌△CGF，四边形ACED是平行四边形，即可证明FC=CE；
（3）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=
23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.
(1)分析数量关系填表：
(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.
【解析】
【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；
(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；
(3)根据二次函数的性质求出最值即可.
【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，
所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，
故答案为180﹣10x；
(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；
(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得.
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A(﹣，0)，B(，0)，C(0，).D，E分别是线段AC和CB上的点，CD＝CE.将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α.
(1)若0°＜α＜90°，旋转过程中当点A，D，E在同一直线上时，连接AD，BE，如图2.求证：AD＝BE，且AD⊥BE
(2)若0°＜α＜360°，D，E恰好是线段AC和CB上中点，在旋转过程中，当DE∥AC时，求α的值及点E的坐标.
【答案】(1)证明见解析；(2)α=45°时，点E的坐标为(1，)；α=225°时，点E的坐标为(﹣1，)
【解析】
【分析】(1)证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，则结论得证；
(2)由勾股定理求出AC长，可求出CD 的长，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，求出点E的坐标为(1，)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，求出点E的坐标为(﹣1，).
【详解】(1)∵点A(﹣，0)，B(，0)，C(0，)，
∴OC垂直平分AB，OA＝OB＝OC，
∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，
根据旋转的性质得，∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；
(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，
在Rt△AOC中，AC＝＝2，
∵D，E是线段AC和CB上的中点，
∴＝1，
如图1，当α＝∠ACO＝45°时，即∠ACO＝∠CDE＝45°，
∴AC∥DE，
此时点E的坐标为(1，)，
如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，
即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，
∴AC∥D′E′，
此时点E的坐标为(﹣1，).
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
25. 如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．
（1）b＝ ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）求直线AD的解析式；
（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．
【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式求得b的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；
（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D的坐标，利用点A、D的坐标来求直线AD解析式；
（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，易得AB＝4．结合三角形面积公式求得S△ABD＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．根据已知条件列出方程（﹣m2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m的值，即可求得点Q的坐标．
【详解】解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．
解得b＝2．
故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．
故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
故答案是：2；（﹣1，﹣4）．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．
当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，
∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．
设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．
把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得．
解得．
∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；
（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝4．
∴S△ABD＝×4×3＝6．
设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．
则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．
∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ•（1﹣m）+PQ•（m+2）＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．
当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，（﹣m2﹣m+2）＝3．
解得m1＝0，m2＝﹣1．
∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
﹣2
3
6
7
6
……
每台售价(元)
30
31
32
……
30+x
月销售量(件)
180
170
160
……
_____