河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了筒车是一种水利灌溉工具，已知平面向量，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ）
A．B．C．D．
3．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，实心正方体的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（ ）
A．9B．C．12D．
6．在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
7．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为
A．B．C．D．
8．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）

A．B．C．D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）
9．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．的值为0.035 B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89 D．估计成绩低于80分的有350人
10．已知平面向量，，则（ ）
A．当时，B．若，则
C．若，则D．若与的夹角为钝角，则
11．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 .
13．设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
14．如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（15分）15．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．
(1)证明：；
(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
（14分）16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
(1)应抽取小吃类商家多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；
②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
（15分）17．已知向量，且与的夹角为，
(1)求证：
(2)若，求的值；
(3)若与的夹角为，求的值．
（15分）18．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.

(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
（18分）19．我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中.
(1)若，求和的长；
(2)求关于的函数表达式；
(3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？数学答案
1．A【详解】令，则，，
所以
.
2．A【详解】取的中点，连接，，如图，
又为的中点，所以，，
同理可得，，
又，所以，则为与所成的角，
中，，所以与所成的角为.
3．D
4．D【详解】两圆锥的体积都为，
则其公共部分为，
故该正方体剩余部分的体积为.
5．B【详解】由题意可知，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
6．D【详解】解：，
，即，
且有意义即，
，
在中，为或，
7．B【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选：.

8．A【详解】如图，

过作直线与水面平行，
过 作，垂足为点，过 作，垂足为点，
设，，则，其中，
则，，
所以，，
所以，
整理可得，
因为，则，所以，，解得.
9．ABD【详解】易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为.
故第70百分位数落在区间，设第70百分位数为，
则，解得，所以正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计成绩低于80分的有人.故D错误.
10．ACD【详解】对A，当时，，所以，故A正确；
对B，若，则，解得，故B错误；
对C，若，则，解得，故C正确；
对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线，
解得且，即，故D正确，
11．ABD【详解】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
12．/
【详解】
13．2
【详解】，
它为纯虚数，则且，解得．
14．
【详解】把平面沿着展开与在同一平面上，
连接，则的最小值是，
因为，三棱柱是直三棱柱，
，，
，
因为，所以，
所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，故的最小值是.
15．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由底面，平面，得，
而，即直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
显然，即，所以.
（2），，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3），，
设平面的法向量，则，令，得，
所以点到平面的距离.
16．(1)28家
(2)① 487.5元；②280
【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家；
（2）①根据题意可得，解得，
设75百分位数为x，
因为，，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．
②，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．
17．(1)证明见解
(2)或
(3)
【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，
所以，即，
于是有，即
，解得或,
所以的值为或.
（3）由（1）知，，
因为
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，解得或（舍）,
所以的值为.
18．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
设，其中，，
若P是的中点，则，，，
于是，∴，即.
（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.
设是平面的一个法向量，
则取，得.
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时.
设（），而，由此得点，，
∵平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而.
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积.
19．(1)，
(2)，
(3)个
【详解】（1）注意到，又，
则.
则，
又，则，；
（2）由图，，
又由（1），则，
即，；
（3）由（2），.
则，则，
化简得：，解得或.
因，则，故，
设改造后停车位数量最大值为.
如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为.
则顶点到线段距离为：.
又由图及题意可得：，，
则.
注意到，则.
，则.
则，，又.
则，
令,
即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个.