湖北省黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试数学试题

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1. A 2. B 3. C4. B 5. D 6. D 7. C 8. A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. ABD 10. AD 11. ABD
11.解析：
A.a=1时，f'x=6x2-6x=6xx-1,
fx在-∞，0递增 ，0，1递减，1，+∞递增，
∴fx极大值=f0=b>0,fx极小值=f1=b-1<0,A正确；
B.由（1）知：f(x)在0，1递减，当x∈0,π时，0C.因为f1-x=2-fx,
所以fx关于12，1对称，则f12=1,得2b-a=2,C错误；
D.由题意知：f'x0=6x02-6x0+1-a=0， = 1 \* GB3 ①
又由fx0=fx1化简得：
(x0-x1)[2x02+x1x0+x12-3x0+x1+(1-a)]=0,
因为x0≠x1,所以2x02+x1x0+x12-3x0+x1+1-a=0， = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②化简可得,D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. m≤2
13. -1
14.34e-5,23e-4
14.解析：
分析fx=sinx-x+1,可知函数fx单调递减，在(0，1)中心对称，
得：f-x+fx=2,将不等式 f(axex)+f(-aex-x+2)>2，变形得
f(axex)>f(aex+x-2),所以得axex< aex+x-2,变形得：
aexx-1<(x-2),
ax-1<(x-2)ex,
据图可得：
a4-1<(4-2)e4a5-1≥(5-2)e5, 解得a∈34e-5,23e-4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：1证明：因为Sn=1-an,
所以Sn+1=1-an+1,
两式相减得：an=2an+1,分
所以数列an为等比数列，公比q=12,
当n=1时，a1=1-a1,所以a1=分
所以an=12n 分
（2）Sn=1-an,所以Sn=1-分
Sn2=1+14n-12n-1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
Tn=n+14+142+⋯+14n-212+122+⋯+12n⋯⋯⋯11分
=n+12n-1-13×4n-53⋯⋯⋯⋯⋯13分
16. 解：(1)f(x)=sinωx·csωx+cs2ωx=12sin2ωx+1+cs2ωx2=12sin2ωx+12cs2ωx+12= 22sin(2ωx+π4)+12，分
因为函数f(x)的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，即ω=1，分
所以f(x)= 22sin(2x+π4)+12，分
令-π2+2kπ⩽2x+π4⩽π2+2kπ(k∈Z)，
解得-3π8+kπ⩽x⩽π8+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ](k∈Z)，分
令2x+π4=kπ(k∈Z)，解得x=-π8+k2π(k∈Z)，
所以f(x)的对称中心为(-π8+k2π,12)(k∈Z);分
(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再向下平移12个单位，得到函数g(x)的图象，
则gx=fx-π8-12= 22sin2x-π8+π4+12-12= 22sin2x，分
所以函数g(x)的最小正周期为π，分
由xn+1-xn=π3(n∈N*)知，
gx1+gx2+gx3=gx4+gx5+gx6=⋯=gx2020+gx2021+gx2022,
gx1+gx2+gx3=22-24-24=0， 分
所以gx1+gx2+⋯+gx2024=gx2023+gx2024=gx1+gx2=24 . 分
17. 解：1fx的定义域为0，+∞, 分
f'x=2ax+32x-a+分
由题意知：f'1=a-32=-1,所以a=分
f1=34-a-3=-1+b,b=-分
2f'x=2ax+32x-a+3=(3x-2a)(x-2)2x
令f'x=0⟹x1=2,x2=23a,分
当a≤0时，
所以f(x)在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增； 分
当0所以f(x)在(0,23a)单调递增，(23a,2)单调递减，(2,+∞)单调递增；分
当a=3时，x1=x2=2,
f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)单调递增；分
当a>3时，0所以f(x)在(0,2)单调递增，(2,23a)单调递减，(23a,+∞)单调递增. 分
18. 解：1 1-csAsinA=1-1-2sin2A22sinA2csA2=2sin2A22sinA2csA2=tanA2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
sinA1+csA=2sinA2csA21+(2cs2A2-1)=2sinA2csA22cs2A2=tanA2 ,
故tanA2=1-csAsinA=sinA1+csA . ⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)
(i)由题意设b=aq,c=aq2,由三角形三边关系知
q>0a+aq>aq2a+aq2>aqaq+aq2>a ⋯⋯⋯⋯⋯8分
解之得：q∈5-12,5+12 分
（ii）
由(1)的结论可知
tanA2tanC2=sinA1+csA⋅1-csCsinC=sinAsinC⋅1-csC1+csA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
=ac⋅1-a2+b2-c22ab1+b2+c2-a22bc=a+c-ba+c+b=a+aq2-aqa+aq2+aq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
=1+q2-q1+q2+q=1+q2+q-2q1+q2+q=1-2q1+q2+q⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
=1-2q+1q+1∈[13,3-52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
故tanA2tanC2的取值范围为[13,3-52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
19.解：（1）当x≥1时，sinx当0即证 sinx构造φx=x-sinx,x∈(0,1).
φ'x=1-csx≥0. ∴φx在(0,1)单调递增，
φx>φ0=0,即※式成立
综上：|sinx|0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)当a>1时，hx=sinx-xa,h'x=csx-axa-1,
当x∈(0,1)时，csx单调递减，axa-1单调递增，
∴h'x在(0,1)单调递减， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又h'0=1>0,h'1=cs1-1<0,
∴h'x=0在(0,1)存在唯一零点，记为x0, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∴h(x) 在(0, x0)单调递增，在(x0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
∴hx0>h0=0,证毕. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
(3) fx0,即sinx∙sin1x0,
若sinx与sin1x异号，显然成立，只考虑sinx与sin1x同号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
又x=1时，sin21<1命题成立；x>1时，xa>1≥sinx∙sin1x，命题成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
故只需考虑x∈0,1时，sinx∙sin1x0 ※※ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
若0若a>1,取m∈N*,m>1x0,取x1=1(2m+12)π∈(0,x0),
sinx1∙sin1x1=sinx1sin2m+12π=sinx1>x1a(由（2）结论), ※※式不成立，⋯⋯⋯⋯⋯16分
综上：0