2024-2025学年湖南省邵阳市洞口县思源实验学校等校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市洞口县思源实验学校等校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形图
C. 斐波那契螺旋线D. 杨辉三角图
2.在平面直角坐标系中，将点P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为( )
A. (1,5)B. (5,5)C. (3,3)D. (3,7)
3.若A(x1,y1)，B(x2,y2)都在函数y=2024x的图象上，且0A. y1y2D. y1=−y2
4.下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5.已知abc≠0，并且a+bc=b+ca=c+ab=p，则函数y=px+p图象一定经过( )
A. 第一、二、三象限B. 第二、三象限C. 第二、三、四象限D. 第一、四象限
6.顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )
A. 平行四边形B. 对角线相等的四边形
C. 矩形D. 对角线互相垂直的四边
7.把方程3x2−12x−18=0配方，化为(x+m)2=n的形式应为( )
A. (x−4)2=6B. (x−2)2=4C. (x−2)2=10D. (x−2)2=0
8.反比例函数y=kx和一次函数y=kx+k在同一坐标系的图象可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，正确的是( )
A. DE//BC
B. △ADE∽△ABC
C. BC=2DE
D. S△ADE=12S△ABC
10.如果实数a，b分别满足a2+2a=2，b2+2b=2，则1a+1b的值是( )
A. 1B. 3+1C. − 3+1D. 3
11.如图，点P在函数y=kx(x>0,k>2,k为常数)的图象上，PC⊥x轴交y=2x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=2x于点B，当点P在y=kx(x>0,k>2,k为常数)的图象上运动时( )
A. △ODB与△OCA的面积相等B. 四边形PAOB的面积不会发生变化
C. PA与PB始终相等D. PAPC=PBPD
12.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论结论正确的是( )
A. △CAM～△DEMB. CD= 2BE
C. MP⋅MD=MA⋅MED. 2CB2=CP⋅CM
三、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
13.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______．
14.将方程2x(x−1)=3(x−5)化为一般形式______．
15.如图，点M是反比例函数y=ax(a≠0)的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为______．
16.如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．设AB=a，AC=x，则xa=a−xx，所以xa= 5−12，即ACAB= 5−12叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为m，下身长为n，为增加视觉美感，若图中m为2米，则n为______米．
17.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=2，BD=8，那么CD=______．
18.如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC=6，PQ=4，则PC+AQ的最小值为______．
19.如图，点P1(x1,y1)，点P2(x2,y2)，…，点Pn(xn,yn)在函数y=1x(x>0)的
图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn−1An都是等腰直角三角
形，斜边OA1，A1A2、A2A3，…，An−1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数)，
则点P2024的坐标是______．
四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−4x−5=0；
(2)(y−3)2=(2y−1)(y−3)．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.求证：△ADF∽△DEC．
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(1−2k)x2−2 k+1x=1有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根．
23.(本小题8分)
直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为20元的小商品进行直播销售.如果按每件30元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加4件．
(1)若每件售价为28元，则日销量是______件.
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
24.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
25.(本小题9分)
如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=k2x(x>0)的图象交于A(1,6)，B(3,m)两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出k1x+b(3)求△AOB的面积．
26.(本小题10分)
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求CEBD的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F.若AC=3，BC=4，BF=83，求CD的值．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.C
9.ABC
10.ABC
11.ABD
12.ABCD
13.六
14.2x2−5x+15=0
15.y=−8x
16.( 5−1)
17.4
18.2 13
19.(2 506+ 2023,2 506− 2023)
20.解：(1)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
∴x−5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=−1；
(2)(y−3)2=(2y−1)(y−3)，
(y−3)2−(2y−1)(y−3)=0，
(y−3)(y−3−2y+1)=0，
∴y−3=0或−2−y=0，
∴y1=3，y2=−2．
21.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC．
22.解：(1)方程整理为(1−2k)x2−2 k+1x−1=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=(−2 k+1)2−4×(1−2k)×(−1)>0，
解得k<2，
又1−2k≠0，k+1>0，
解得k≠12，k>−1
∴−1(2)根据题意知△=(−2 k+1)2−4×(1−2k)×(−1)=0，
解得k=2，
则方程为−3x2−2 3x−1=0，即3x2+2 3x+1=0，
则( 3x+1)2=0，
∴ 3x+1=0，
解得x1=x2=− 33．
23.(1)28；
(2)设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为(x−20)元，日销售量为20+4(30−x)=(140−4x)件，
根据题意得：(x−20)(140−4x)=(30−20)×20，
整理得：x2−55x+750=0，
解得：x1=25，x2=30(不符合题意，舍去)．
答：每件售价应定为25元．
24.解：(1)∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=90°−∠A=30°．
在Rt△CDF中，∠C=30°，CD=4t cm，
∴DF=12CD=AE=2t，
∵DF//AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60−4t=2t，解得：t=10，
即当t=10时，四边形AEFD是菱形；
(2)四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF=90°时，DE/​/BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t=152时，∠EDF=90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．
25.解：(1)∵A(1,6)，B(3,m)在y=k2x的图象上，
∴k2=6，
∴反比例函数的解析式是y=6x．
∴m=2．
∵A(1,6)，B(3,2)在函数y=k1x+b的图象上，
∴k1+b=63k1+b=2，
解得：k1=−2b=8．
则一次函数的解析式是y=−2x+8．
所以一次函数的解析式是y=−2x+8，反比例函数的解析式是y=6x；
(2)由图象得：当03时，k1x+b(3)∵直线y=−2x+8与y轴相交于点C，
∴C的坐标是(0,8)．
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC=12×8×(3−1)=8．
26.(1)证明：如图1，设DF与CF的交点为G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，
∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC(AAS)；
(2)解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，
∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=47；
(3)解：如图，过点A作GA//BC，延长CF交AG于点G，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵BF=83，
∴AF=AB−BF=73，
∵GA//BC，
∴△AFG∽△BFC，∠GAC=∠ACB=90°，
∴AGBC=AFBF=7383=78，
∴AG=78BC=72，
∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
又∵∠CAE+∠ADC=90°，
∴∠ACG=∠ADC，
∴△ACG∽△CDA，
∴ACCD=AGAC，
∴CD=AC2AG=972=187．