2024-2025学年河南省南阳市南召县八年级（上）开学数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市南召县八年级（上）开学数学试卷（含详解），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，解为x=1的是( )
A. x+1=1B. x−1=1C. 2x−2=0D. 12x−2=0
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在△ABC中，BC=5，∠A=80°，∠B=30°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF=4，则下列结论中错误的是( )
A. BE=4
B. ∠F=70°
C. AB//DE
D. DF=5
4.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 3，5，7C. 5，6，11D. 4，7，13
5.已知x、y满足方程组x−5y=20244x−2y=2025，则x+y的值为( )
A. 3B. 13C. 1D. 14
6.下列不等式中，与−x>1组成的不等式组无解的是( )
A. x>2B. x<0C. x<−2D. x>−3
7.小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正八边形D. 正六边形
8.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤(注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).设总共有x两银子，根据题意所列方程正确的是( )
A. 7x−4=9x−8B. x+47=x−89C. 7x+4=9x+8D. x−47=x+89
9.如图，五边形ABCDE的一个内角∠A=110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于( )
A. 360°
B. 290°
C. 270°
D. 250°
10.若关于x的不等式组x−a>01−2x>x−2有三个负整数解，则a的取值范围是( )
A. −4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知−13a>−13b，则a ______b.(填“>”、“<”或“=”号)
12.已知方程xm−2+m=0是关于x的一元一次方程，则m= ______．
13.由3x+y=5，得到用x表示y的式子为y=______．
14.如图，△ABD与△EBC全等，点A和点E是对应点，AB=1，BC=3，则DE的长等于______．
15.如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度α°(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α最小是______度.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程(组)：
(1)2x+13−5x−16=−1；
(2)x+2y=19x+y=7．
17.(本小题9分)
解不等式组：3x−1>−72x+13−1≤x−12．
18.(本小题9分)
在“五一”黄金周期间，小明小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话：爸爸说：“成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们总共有12人，共要350元.”小明说：“爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式买票是否更省钱.”票价：成人：35元一张；学生：按成人5折优惠；团体票(16人以上)，按成人票6折优惠.问题：
(1)他们一共去了几个成人？几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．
19.(本小题9分)
如图，在10×10方格中，每个方格的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
(1)作出与△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，画出旋转后的图形．
(3)作出△A3B3C3，使△A3B3C3和△ABC关于点C成中心对称．
20.(本小题9分)
如图(1)，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：三角形的内角和等于180°.如何用说理的方式证明该结论呢.如图(2)，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明：∠1+∠2+∠3=180°．
下面是证明该结论添加辅助线的两种方法，请你选择一种完成证明．
21.(本小题9分)
某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：
(1)求A、B两种型号的篮球的销售单价；
(2)若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A种型号的篮球最少能采购多少个？
22.(本小题10分)
如图1，直线AB与直线CD相交于O，∠AOC=30°，将一个含30°，60°角的直角三角板如图所示摆放，使30°角的顶点和O点重合，30°角的两边分别与直线AB、直线CD重合．
(1)将图1中的三角板绕着点O顺时针旋转90°，如图2所示，此时与∠COE互补的角有______；
(2)将图2中的三角板绕点O顺时针继续旋转到图3的位置所示，使得OF在∠BOD的内部，猜想∠BOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1中的直角三角板绕点O按每秒10°的速度顺时针旋转一周，在旋转的过程中，第x秒时，EF所在的直线恰好平行于OC，求x．
23.(本小题10分)
学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：
(1)如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小．
(2)如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．
答案解析
1.C
【解析】解：A、x+1=1的解为x=0，故A不符合题意；
B、x−1=1的解为x=2，故B不符合题意；
C、2x−2=0的解为x=1，故C符合题意；
D、12x−2=0的解为x=4，故D不符合题意；
故选：C．
分别解出各方程，即可得答案．
本题考查解一元一次方程，属于基础题，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，本题主要是移项和把未知数系数化为1，注意移项要变号．
2.C
【解析】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.D
【解析】解：由题意知，∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，
由平移的性质可知，AB//DE，∠F=∠ACB=70°，BC=EF，DF=AC，
∴BE+EC=EC+CF，即BE=CF=4，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
由题意知，∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，由平移的性质可知，AB//DE，∠F=∠ACB=70°，BC=EF，DF=AC，则BE=CF=4，然后判断作答即可．
本题考查了平移的性质，平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，平移的性质是解题的关键．
4.B
【解析】解：A、3+4<8，长度是3，4，8的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+5>7，长度是3，5，7的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、5+6=11，长度是5，6，11的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+7<13，长度是4，7，13的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
5.B
【解析】解：x−5y=2024①4x−2y=2025②，
②−①得，
3x+3y=1，
∴x+y=13，
故选：B．
根据二元一次方程组的解法，将方程组中的两个方程相减即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
6.A
【解析】解：∵−x>1，
∴x<−1；
A、x<−1x>2，无解，故此选项符合题意；
B、x<−1x<0的解集是x<−1，故此选项不符合题意；
C、x<−1x<−2的解集是x<−2，故此选项不符合题意；
D、x<−1x>−3的解集是−3故选：A．
根据不等式组的解集的确定方法逐项判断即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
7.C
【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺，故B不符合题意；
C、正八边形每个内角是180°−360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺，故C符合题意；
D、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故D不符合题意．
故选：C．
根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可得到结论．
本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
8.D
【解析】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得：
x−47=x+89，
故选：D．
根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用人数不变得出等量关系是解题关键．
9.B
【解析】解：∵∠A=110°，
∴∠A的外角为180°−110°=70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°−70°=290°，
故选：B．
10.C
【解析】解：不等式组整理得x>ax<1，
因为不等式组只有三个负整数解，
所以三个负整数解为：−3，−2，−1，
所以−4≤a<−3．
故选：C．
先解不等式组，再利用不等式组只有3负个整数解，即可得到关于a的不等式组，然后解关于a的不等式组即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
11.<
【解析】解：∵−13a>−13b，
∴a故答案为：<．
根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向发生改变，即可得出结果．
本题考查不等式的基本性质，解题的关键是在计算中，不等号的方向发生改变．
12.3
【解析】解：∵方程xm−2+m=0是关于x的一元一次方程，
∴m−2=1，
解得m=3，
故答案为：3．
由方程xm−2+m=0是关于x的一元一次方程，可得m−2=1，计算求解即可．
本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
13.−3x+5
【解析】解：方程3x+y=5，
解得：y=−3x+5，
故答案为−3x+5．
14.2
【解析】解：∵△ABD≌△EBC，AB=1，BC=3，
∴BE=AB=1，BD=BC=3，
∴DE=BD−BE=3−1=2，
故答案为：2．
根据全等三角形的对应边相等得到BE=AB=1，BD=BC=3，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15.60
【解析】解：360°÷6=60°
则这个图案绕着它的中心旋转60°或60°的倍数后能够与它本身重合，则α最小为60°．
故答案为：60．
先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
本题主要考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，掌握正六边形的中心角是解答本题的关键．
16.解：(1)2x+13−5x−16=−1，
去分母得，2(2x+1)−(5x−1)=−6，
去括号，得4x+2−5x+1=−6，
移项合并同类项，得−x=−9，
两边都除以−1得x=9；
(2)x+2y=19①x+y=7②，
①−②得：y=12，
把y=12代入②得，x=−5，
∴原方程的解为x=−5y=12．
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
(2)利用加减消元法解方程组即可．
本题主要考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组是关键．
17.解：3x−1>−7①2x+13−1≤x−12②，
解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤1，
故不等式组的解集为：−2【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解答本题的关键．
18.解：(1)设成年人去了x人，则学生去了(12−x)人，
由题意得：35x+35×50%(12−x)=350，
解得：x=8，
则12−x=4，
答：他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)购买团体票更省钱，理由如下：
∵35×60%×16=336<350，
∴应采用购买团体票的方式才更省钱．
【解析】(1)设成年人去了x人，则学生去了(12−x)人，由题意：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们总共有12人，共要350元．”列出方程，解方程即可；
(2)直接求出购买团体票16张所付钱数，进而比较得出答案．
此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．
19.解：(1)由轴对称的性质作图，如图1，△A1B1C1即为所作；

(2)由旋转的性质作图，如图2，△A2B2C即为所作；

(3)由中心对称的性质作图，如图3，△A3B3C3即为所作．

【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可；
(2)根据旋转的性质作图即可；
(3)根据中心对称性质作图即可．
本题考查了作图−旋转变换，作图−轴对称变换，熟练掌握作轴对称图形，作旋转图形，作中心对称图形是解题的关键．
20.证明：方法一：如图1，过点A作DE/​/BC，则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC(两直线平行，内错角相等)，

∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°(平角的定义)．
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.即三角形的内角和为180°；
方法二：如图2，过点C作CD/​/AB，

∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°，
即三角形的内角和为180°．
【解析】根据平行线的性质结合平角的定义，即可得证．
本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
21.解：(1)设A型号篮球的价格为x元、B型号的篮球的价格为y元，由题意得，
3x+8y=6225x+4y=402，
解得：x=26y=68．
答：A种型号的篮球销售单价为26元，B种型号的篮球销售单价为68元．
(2)设最少买A型号篮球m个，则买B型号篮球球(20−m)个，由题意得，
26m+68(20−m)≤1000，
解得：m≥847，
∵m为整数，
∴m最小取9．
∴最少购买9个A型号篮球．
答：若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，A种型号的篮球最少能采购9个．
【解析】(1)设A型号篮球的价格为x元、B型号的篮球的价格为y元，就有3x+8y=622和5x+4y=402，由这两个方程构成方程组求出其解即可；
(2)设最少买A型号篮球m个，则买B型号篮球球(20−m)个，根据总费用不超过1000元，建立不等式求出其解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解答本题的关键在于根据题意找到建立方程的等量关系以及建立正确的不等式．
22.(1)∠EOD、∠AOF
(2)∠BOE=∠DOF，
理由：因为直线AB与直线CD相交于O，∠AOC=30°，
所以∠BOD=∠AOC=30°，
因为∠EOF=30°，
所以∠BOE=∠EOF−∠BOF=30°−∠BOF，∠DOF=∠BOD−∠BOF=30°−∠BOF，
所以∠BOE=∠DOF．
(3)如图2(1)，EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的同侧，
因为∠COE=∠E=90°，∠AOC=30°，
所以∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，
所以10x=120，
解得x=12；
如图2(2)，EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的异侧，
因为∠COE=180°−∠E=90°，∠AOC=30°，
所以∠AOE=∠COE−∠AOC=60°，
所以10x=360−60，
解得x=30，
综上所述，x=12或x=30．
【解析】解：(1)由旋转得∠AOE=∠COF=90°，∠EOF=∠AOC=30°，
所以∠BOE=180°−∠AOE=90°，
所以∠COE=∠FOB=90°−∠EOF，
所以∠COE+∠EOD=180°，∠COE+∠AOF=∠FOB+∠AOF=180°，
所以与∠COE互补的角有∠EOD、∠AOF，
故答案为：∠EOD、∠AOF．
(2)∠BOE=∠DOF，
理由：因为直线AB与直线CD相交于O，∠AOC=30°，
所以∠BOD=∠AOC=30°，
因为∠EOF=30°，
所以∠BOE=∠EOF−∠BOF=30°−∠BOF，∠DOF=∠BOD−∠BOF=30°−∠BOF，
所以∠BOE=∠DOF．
(3)如图2(1)，EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的同侧，
因为∠COE=∠E=90°，∠AOC=30°，
所以∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，
所以10x=120，
解得x=12；
如图2(2)，EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的异侧，
因为∠COE=180°−∠E=90°，∠AOC=30°，
所以∠AOE=∠COE−∠AOC=60°，
所以10x=360−60，
解得x=30，
综上所述，x=12或x=30．
(1)由旋转得∠AOE=∠COF=90°，∠EOF=∠AOC=30°，可推导出∠COE=∠FOB=90°−∠EOF，则∠COE+∠EOD=180°，∠COE+∠AOF=∠FOB+∠AOF=180°，所以与∠COE互补的角有∠EOD、∠AOF，于是得到问题的答案；
(2)先根据“对顶角相等”证明∠BOD=∠AOC=30°，则∠BOE=∠DOF=30°−∠BOF；
(3)分两种情况求x的值，一是EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的同侧，则∠COE=∠E=90°，所以∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，于是得10x=120；二是EF/​/OC，且线段OE与射线OC在直线AB的异侧，则∠COE=180°−∠E=90°，所以∠AOE=∠COE−∠AOC=60°，于是得10x=360−60，解方程求出相应的x值即可．
此题重点考查相交线与平行线、对顶角相等、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”、旋转的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.解：(1)如图1，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠B=(5−2)×180°5=108°，
由题意可知，AM所在的直线是正五边形的对称轴，
∴∠BAM=∠EAM=12∠BAE=54°，
由翻折的性质可知，
∠BAF=∠B′AF=12∠BAM=27°，
∴∠AFB=180°−108°−27°=45°；
(2)由题意可知，所得到的正多边形的一个内角的度数为360°−108°−108°−24°=120°，
则这个正多边形的外角为180°−120°=60°，
所以这个正多边形的边数为360°60∘=6，
即这个正多边形是正六边形．
【解析】(1)根据正五边形的性质，翻折的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
(2)根据拼图和周角的定义求出正多边形的一个内角的度数，进而求出外角的度数，再根据外角和是360°确定正多边形的边数．
本题考查正多边形和圆，翻折的性质，掌握正五边形的性质，翻折的性质以及正多边形的外角和是360°是正确解答的关键．方法一
证明：如图，过点A作DE/​/BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD/​/AB．
购买学校
购买型号及数量(个)
购买支出款项(元)
A
B
甲
3
8
622
乙
5
4
402