北京市昌平区东方红学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(无答案)

这是一份北京市昌平区东方红学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了考试时间120分钟，直线被圆所截的弦长为，已知，分别为双曲线，函数，若对任意，等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷共3页，三大题21小题；卷面满分150分.
2.考试时间120分钟.
3.一律用蓝、黑色笔答题，一律答在答题纸上.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ）
A.1B.C.D.
3.二项式的展开式中常数项是（ ）
A.1B.4C.6D.0
4.设，是非零向量，则“或”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.直线被圆所截的弦长为（ ）
A.1B.C.2D.3
6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.B.在上单调递增
C.在上的最小值为D.直线是图象的一条对称轴
7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则双曲线的焦距为（ ）
A.B.C.D.
9.函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
10.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ）
A.36B.42C.72D.84
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数的定义域是______.
12.已知双曲线：，则的右焦点的坐标为______，的焦点到其渐近线的距离是______.
13.在中，若，，，则______.
14.已知两点，.点满足，则的面积是______；的一个取值为______.
15.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：
和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，（），有下列命题：
①直线为和的“隔离直线”.
②若为和的“隔离直线”，则的范围为.
③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”.
④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为.
其中所有正确命题的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本题满分14分）已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
条件①：；条件②：是的一个零点；条件③：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本题满分14分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19.（本题满分15分）已知椭圆：（）的一个顶点为，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，当时，求的值.
20.（本题满分15分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，讨论函数在上的单调性；
（3）证明：对任意的，有.
21.（本题满分15分）已知是无穷数列.给出两个性质：
①对于中任意两项，（），在中都存在一项，使；
②对于中任意项（），在中都存在两项，（）.使得.
（Ⅰ）若（），判断数列是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若（），判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由.
（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.