专题13.4 等腰三角形【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

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专题13.4 等腰三角形【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16359" 【题型1 利用等边对等角求解】  PAGEREF _Toc16359 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19123" 【题型2 利用等边对等角进行证明】  PAGEREF _Toc19123 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32277" 【题型3 利用三线合一求解】  PAGEREF _Toc32277 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc22865" 【题型4 利用三线合一证明】  PAGEREF _Toc22865 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc21860" 【题型5 格点中画等腰三角形】  PAGEREF _Toc21860 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc11780" 【题型6 找出图中的等腰三角形】  PAGEREF _Toc11780 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc6922" 【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】  PAGEREF _Toc6922 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc5879" 【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】  PAGEREF _Toc5879 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc8998" 【题型9 尺规作等腰三角形】  PAGEREF _Toc8998 \h 38 HYPERLINK \l "_Toc25571" 【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】  PAGEREF _Toc25571 \h 42知识点：等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 利用等边对等角求解】【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形ABCD中，AB=AD，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD边上的点B'处．若∠ACB=α，则∠DAB可表示为（   ）A．3α B．180°-α C．2α D．180°-2a【答案】B【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得AB'=AB，∠ACB'=∠ACB=α，由等腰三角形的性质得∠AB'D=∠ADB'，由三角形外角的性质得 ∠AB'D=∠ACB'+∠B'AC，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：由折叠得：AB'=AB，∠ACB'=∠ACB=α，∵ AB=AD，∴AB'=AD，∴∠AB'D=∠ADB'，∴∠B'AD=180°-2∠AB'D，∵∠AB'D=∠ACB'+∠B'AC=α+∠B'AC，∴∠B'AD=180°-2α+∠B'AC，=180°-2α-2∠B'AC，∴∠DAB=∠BAC+∠B'AC+∠B'AD=2∠B'AC+∠B'AD=2∠B'AC+180°-2α-2∠B'AC=180°-2α，故选：B．【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中AB=CD，EA=ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大16°，则∠BDE的变化情况是（   ）A．增大16° B．减小16° C．增大8° D．减小8°【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来∠AEC=x°，求出此时∠BDE=180-x2°，然后类似求出变化后∠B'D'E'=172-x2°，然后两角作差即可得出结论.【详解】解：设原来∠AEC=x°，则∠AED=180-x°∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=12180°-∠AED=x2°，∴∠BDE=180°-∠EDA=180-x2°，∠AEC增大16°后，∠A'E'C'=x+16°，∴∠E'A'D'=∠E'D'A'=12180°-∠A'E'D'=x2+8°，∴∠B'D'E'=180°-∠E'D'A'=172-x2°，∴∠B'D'E'-∠BDE=172-x2°-180-x2°=-8°，∴∠BDE的变化情况是减小8°，故选：D.【变式1-2】22-23八年级·浙江台州·期末）如图，△ABC与△ABD关于AB对称，∠ACB=90°，在AC上取一点E，使得DE=DC．若∠BDE=72°，则∠CBD的度数是（）A．132° B．135° C．150° D．162°【答案】A【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得∠BDC=∠BCD，设∠BDC=∠BCD=x°，得出∠CDE=72°-x°，再由等腰三角形的性质得∠DCE=∠DEC=54°+x°2．再由直角三角形的性质列出方程求解即可．【详解】解：∵△ABC与△ABD关于AB对称，∴∠BDC=∠BCD，设∠BDC=∠BCD=x°．∵∠BDE=72°,∴∠CDE=72°-x°，在△DEC中，∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=180°-7°-x°2=54°+x°2．又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-x°，∴54°+x°2=90°-x°,∴x=24,∴∠CBD=180°-24°×2=132°，故选：A【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于12 CD长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线FG．若直线FG经过点E，则∠C的度数为 ．【答案】36°/36度【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接AD、DE，如图，设∠C=α，利用基本作图得到ED=EC，则∠EDC=∠C=α，所以∠AED=2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=90°-12α，接着利用AB=AD得到∠ADB=∠B=90°-12α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°求出α=36°．【详解】解：连接AD、DE，如图，设∠C=α，由作法得EF垂直平分CD，∴ED=EC，∴∠EDC=∠C=α，∴∠AED=∠EDC+∠C=2α，∵CA=CB，AD=AE，∴∠B=12(180°-∠C)=90°-12α，∵AB=AD，AD=AE，∴∠ADB=∠B=90°-12α，∠ADE=∠AED=2α，∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∴90°-12α+2α+α=180°，解得α=36°，∴∠C=36°．故答案为：36°．【题型2 利用等边对等角进行证明】【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：2∠1+∠3=180°；(3)当AD∥EC时，求α的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)60°【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质等等：（1）先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，根据等边对等角得到∠1=∠AED，再由平角的定义推出∠AED+∠3+∠1=180°，据此即可证明2∠1+∠3=180°；（3）先由平行线的性质得到∠1=∠3，则根据（2）的结论可知∠1=∠3=60°，即可得到∠DAE=180°-2∠1=60°，即α=60°．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACESAS；（2）证明：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵AD=AE，∴∠1=∠AED，∵∠AEC=∠AED+∠3，∠ADB+∠1=180°，∴∠AED+∠3+∠1=180°，∴2∠1+∠3=180°；（3）解：∵AD∥EC，∴∠1=∠3，∵2∠1+∠3=180°，∴∠1=∠3=60°，∴∠DAE=180°-2∠1=60°，∴α=60°．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．(1)求证：∠BED=∠FDC；(2)若DE=DF，求证：BE=CD．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由三角形内角和与平角定义即可求解；（2）直接用AAS证明△ACE≌△DBF，再根据性质即可求解；此题考查了等腰三角形的，三角形内角和，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，　又∵∠EDF=∠B，∠BED+∠BDE=180°-∠B，∠FDC+∠BDE=180°-∠EDF∴∠BED=∠FDC；（2）在△BED和△CDF中∠B=∠C∠BED=∠CDFDE=DF，∴△ACE≌△DBFAAS，∴BE=CD．【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)已知 ∠E=∠ACD，求证：CD=2BF+DE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．(1)利用余角的性质，完善全等的条件，证明即可．(2)延长BF到G，使FG=BF，连接AG，证明△CGA≌△CDAASA证明即可．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△ABC≌△ADESAS．（2）如图，延长BF到G，使FG=BF，连接AG，∵AF⊥CB，∴AB=AG，∴∠ABF=∠G，∵AD=AB，∴AD=AG，由（1）得：△ABC≌△ADESAS，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵AC=AE，∴∠DCA=∠DEA，∴∠GCA=∠DCA，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠G=∠CDAAG=AD，∴△CGA≌△CDAAAS，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．  (1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．①证明：△ABD≌△ACE；②证明：AC平分∠BCE．(2)如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α,∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)α+β=180°或α=β【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．（1）①先证∠BAD=∠CAE，根据SAS即可证明△ABD≌△ACE；②根据等边对等角可证∠B=∠ACB，根据△ABD≌△ACE可得∠B=∠ACE，进而可证∠ACB=∠ACE；（2）分①点D在线段BC上，②点D在射线BC上，③点D在射线CB上，分别加以讨论即可．【详解】（1）证明：①∵ ∠DAE=∠BAC=90°，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴ ∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴ △BAD≌△CAE SAS；②∵ △ABC中，AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，由①得△BAD≌△CAE，∴ ∠B=∠ACE，∴ ∠ACB=∠ACE，∴ AC平分∠BCE．（2）解：α+β=180°，①点D在线段BC上，如图：  ∵ ∠DAE=∠BAC，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴ ∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴ △BAD≌△CAE SAS；∴ ∠B=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BCE=180°，∵∠BAC=α,∠BCE=β，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，如图：  ∵ ∠DAE=∠BAC，∴ ∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴ ∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴ △BAD≌△CAE SAS，∴ ∠B=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BCE=180°，∵∠BAC=α,∠BCE=β，∴α+β=180°；③当点D在射线CB上时，如图：  同理可得△BAD≌△CAE SAS，∴∠ABD=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+180°-∠ABD+∠ACE-∠BCE=180°，∴∠BAC=∠BCE．∵∠BAC=α,∠BCE=β，∴α=β；综上所述α，β之间的数量关系为：α+β=180°或α=β．【题型3 利用三线合一求解】【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)50°(2)∠CFD=12∠ABC【分析】此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．（1）先求得∠CFD的度数，进而求得∠C=65°，根据等腰三角形的性质得出∠C=∠A=65°，理由三角形内角和定理求得∠ABC=50°，根据同角的余角相等即可求得∠EDF=∠ABC=50°；（2）根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=12∠ABC．【详解】（1）解：∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC=∠AED=90°，在Rt△FDC中，∴∠C=90°-25°=65°，∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，∴∠ABC=180°-2×65°=50°，∵∠ABC+∠BDE=∠EDF+∠BDE=90°，∴∠EDF=∠ABC=50°；（2）∠CFD=12∠ABC，理由如下：∵AB=BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴∠CFD=12∠ABC．【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，连接CD，∠BAC的平分线交CD于点E，已知∠AEC=115°．求∠DAC和∠ACB的度数．  【答案】∠DAC=50°，∠ACB=80°【分析】先由等腰三角形的性质，得到∠CDA=90°，再由∠AEC=115°，可得到∠DAE的度数，进而求出∠DAC的度数，由三角形内角和定理可求出∠ACD的度数，由等腰三角形的性质可求出∠ACB的度数．【详解】解：∵AC=BC，点D为边AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，∴∠CDA=90°，∵∠AEC=115°，∠AEC=∠DAE+∠CDA，∴∠DAE=∠AEC-∠CDA=115°-90°=25°，∵ED是∠BAC的平分线，∴∠DAC=2∠DAE=50°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠DAC=40°，∴∠ACB=2∠ACD=80°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．  (1)试说明：BO=AO；(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．【答案】(1)见解析(2)15°【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．【详解】（1）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，所以AD是BC的垂直平分线，所以BO=CO，因为OE是AC的垂直平分线，所以AO=CO，所以BO=AO；（2）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD平分∠BAC，因为∠CAD=25°，所以∠BAD=∠CAD=25°，所以∠BAC=50°，因为OE⊥AC，所以∠AEF=90°，所以∠EFA=90°-50°=40°，所以∠BFO=180°-∠EFA=140°，因为AO=BO，所以∠OBA=∠BAD=25°，所以∠BOF=180°-∠BFO-∠OBA=15°．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．(1)当MD⊥BC时，①若ME=1，则点M到AB的距离为________；②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；(2)若BC=8，且△ABC的面积为40，求△CDM周长的最小值．【答案】(1)1，18(2)14【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据MD⊥BC，D是BC的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，可以求出点M到AB的距离，其次，可以判定BM=MC，再根据∠CMD=30°后，可以判定△BMC是等边三角形，进而去求周长．（2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于CD为定值，只要满足CM+MD最小即可，利用垂直平分线，转化成求AM+MD最小，即AM+MD≥AD，最后求出周长最小值．【详解】（1）①解：∵MD⊥BC，D是BC的中点；∴MD处垂直平分BC；连接AM；∵AB=AC；∴A，M，D三点共线；即AM平分∠BAC；∵ME⊥AC，ME=1；∴M到AB的距离为1．②解：由题可知BM=MC；∵∠CMD=30°；∴∠MCD=60°；∴△BMC是等边三角形；∵CD=3；∴BC=6；∴△MBC周长为18．（2）解：∵BC=8；∴CD=4；∵EF垂直平分AC；连接AM；∴MA=MC；即MD+MC=MA+MD;∵MA+MD≥AD；∴MA+MD+4≥AD+4；即只需求出AD长即可；∵12BC×AD=40；∴AD=10；∴△CDM周长的最小值为14．【题型4 利用三线合一证明】【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是中线，且DG⊥CE于G，2CD=AB．(1)求证：G是CE的中点；(2)求证∠B=2∠BCE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）连接DE，由直角三角形的性质可得DE=BE=12AB，由CE是中线得AB=2BE，进而可得DC=BE，即得DC=DE，再根据三角形三线合一即可求证；（2）由等腰三角形的性质得∠B=∠EDB，∠DEC=∠DCE，再根据三角形外角性质即可求证；本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连接DE，∵CE是△ABC的中线，∴DE是△ABD的中线，∵AD是高，∴∠ADB=90°，∴DE=BE=12AB，∵CE是中线，∴AB=2BE，∵2CD=AB，∴DC=BE，∴DC=DE，∵DG⊥CE，∴CE=EG，即G是CE的中点；（2）证明：∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∵DC=DE，∴∠DEC=∠DCE，∴∠EDB=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE．【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．(1)求证：AD⊥BC；(2)若∠BAC=72°，则∠CAD的度数为 ___________．【答案】(1)见解析(2)18°【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，从而可得AE=AC，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAE，∠C=∠AEC，根据三角形外角的性质可得∠C=∠AEC=2∠B，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：连接AE，∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，∴AE=BE，∵BE=AC，∴AE=AC，∵D为线段CE的中点，∴AD⊥BC；（2）解：∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，由（1）知，AE=AC，∴∠C=∠AEC=2∠B，∵∠BAC=72°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=36°，∠C=72°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°-∠C=18°．故答案为：18°．【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，C为线段 AB 上一点， AD∥EB，AC=BE，AD=BC， CF 平分 ∠DCE．(1)求证：△ACD≌△BEC；(2)问： CF与 DE的位置关系并证明．【答案】(1)见解析；(2)CF⊥DE，理由见解析．【分析】（1）根据SAS证明即可；（2）利用全等三角形的性质推出CD=CE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到CF⊥DE；此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】（1）∵AD∥EB， ∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中，AD=BC∠A=∠BAC=BE，∴△ACD≌△BECSAS ；（2）CF⊥DE，理由：∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB于点H，将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，BM是∠ABC的平分线，交AC于点M，交CH于点N，连接EN．  (1)AE=CN吗？为什么？(2)试说明BM垂直平分CE．【答案】(1)AE=CN；理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AH=BH=CH，根据折叠的性质得出∠ACE=∠ECH=22.5°．即可证明△ACE≌△CBNASA，即可求证AE=CN；（2）根据等腰直角三角形的性质得出EH=A'H，BH=CH，则BE=A'C，推出BE=BC，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB，∴∠A=∠ABC=∠ACH=∠BCH=45°，∴AH=BH=CH，∵将△ABC沿CE折叠，使点A落在直线CH上的点A'处，∴∠ACE=∠ECH=22.5°∵BM是∠ABC的平分线，∴∠CBM=∠ABM=22.5°，∴∠ACE=∠CBM，在△ACE和△CBN中∠A=∠BCNAC=BC∠ACE=∠CBN，∴△ACE≌△CBN(ASA)，∴AE=CN．（2）解：由（1）得，∠ACE=∠ECA'，∠BCN=∠A，∴∠ECA'+∠BCN=∠ACE+∠A，即∠BCE=∠BEC，∴BE=BC，∵BM是∠ABC的平分线，∴BM垂直平分CE．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等．【题型5 格点中画等腰三角形】【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（   ）个．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．【详解】解：如图所示：分三种情况：①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．【答案】(1)答案见解析（答案不唯一）(2)答案见解析（答案不唯一）【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．【详解】（1）解：如图1中，△APQ即为所求（答案不唯一）；（2）解：如图2中，△BPQ即为所求（答案不唯一）．【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个等腰△ABC，且使得点C为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰△ABC．【答案】答案见解析【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可【详解】解：如图，……[答案不唯一]【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．  要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；（2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；（3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；【详解】（1）解：如图：（2）解：如图：（3）解：如图所示：【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【题型6 找出图中的等腰三角形】【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠A=36°,∠B=72°，AC的垂直平分线交AC,AB于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答【详解】解：∵∠A=36°,∠B=72°∴∠ACB=180°-36°-72°=72°∴∠B=∠ACB=72°∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形；∵ED垂直平分线交AC∴AE=EC∴△AEC是等腰三角形；∴∠ECD=∠A=36°∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=72°-36°=36°,∴∠CEB=180°-∠B-∠BCE=72°∴∠CEB=∠B∴△CEB是等腰三角形，则图中等腰三角形的个数是3个，故选：B【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在△ABC中，已知边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，连接PA、PB、PC，则图中有 个等腰三角形．【答案】3【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．【详解】解：∵边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线交于点P，∴AP=PB,PB=PC，∴AP=PC，∴△ABP,△BPC,△APC都是等腰三角形；故答案为：3．【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．  (1)求证：△ADB≌△EBC；(2)直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)图中的等腰三角形有△BCD、△CDE【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键．（1）根据平行线的性质判定∠ADB=∠EBC，再由∠BDC=∠BCD可得BD=BC，再结合BE=AD，利用SAS即可证明结论；（2）根据（1）的结论可得CE=AB，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形．【详解】（1）解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC，∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，在△ADB和△EBC中，AD=BE∠ADB=∠EBCBD=BC，∴△ADB≌△EBCSAS．（2）解：∵由（1）可得BD=BC∴△BCD是等腰三角形，∵△ADB≌△EBC，∴CE=AB，又∵AB=CD，∴CE=CD，∴△CDE是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有△BCD、△CDE．【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，ΔABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连结CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD．∴△ABD是等腰三角形．∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=ED∴AC=AE∴△CDE、△ACE是等腰三角形；∵AC=AE，∠BAC=60°，∴∠ACE=60°，∵∠ACB=90∘，∴∠BCE=30°∴∠BCE=∠B∴△CEB是等腰三角形所以此图中有4个等腰三角形．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．【答案】见解析【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由∠DAC=∠BAC-∠DAB =126°-42° =84° =∠ADC，利用“等角对等边”即可得证．【详解】证明：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∴∠B=∠DAB，∵∠B=42°，∴∠B=∠DAB=42°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=84°；∵∠DAC=∠BAC-∠DAB=126°-42°=84°=∠ADC，∴CA=CD，∴△ACD为等腰三角形．【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．求证：△CDM是等腰三角形．【答案】见解析【分析】根据题意和图形，可以求得∠CDM=∠CMD，然后即可证明结论成立．【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=90°，∵∠BME=∠CMD，∴∠ABD+∠CMD=90°，∴∠CDB=∠CMD，∴CM=CD，∴△CDM是等腰三角形．【点睛】此题考查了等腰三角形的定义、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，∠MON=90°，点A,C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定；证明△AOC≌△ABD，得出∠ABD=90°进而可得∠OBE=∠BOE=30°，即可得证．【详解】证明：依题意△AOB,△ACD是等边三角形，∴∠OAB=∠CAD=60°，∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB，∴∠OAC=∠BAD，∵OA=BA，∠OAC=∠BAD，CA=DA，∴△AOC≌△ABDSAS，∴∠ABD=∠AOC=90°，∵∠MON=90°，∠AOB=∠ABO=60°，∴∠BOE=∠MON-∠AOB=90°-60°=30°，∠EBO=180°-∠ABD-∠ABO=180°-90°-60°=30°，∴∠OBE=∠BOE=30°，∴OE=BE．【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．  (1)求证：△BEC是等腰三角形；(2)用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)AB+BD=AC【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC=∠C，进而得出EB=EC，即可得出结论；（2）延长AB至F，使BF=BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F=∠C，再证明△AFD≌△ACD，根据全等三角形的性质得出AF=AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD=AC．【详解】（1）解：证明：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠ABC=80°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=40°，∴∠EBC=∠C，∴EB=EC，∴△BEC是等腰三角形．（2）AB+BD=AC，证明：延长AB至F，使BF=BD，连接DF，  ∴∠F=∠BDF，∵∠ABC=∠F+∠BDF=80°，∴2∠F=80°，∴∠F=40°，∵∠C=40°，∴∠F=∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△AFD≌△ACD(ASA)，∴AF=AC，∴AB+BF=AC，即AB+BD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为（    ）  A．50 B．55 C．60 D．65【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE=∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E作EM⊥BC于M，    ∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF=5，∴EM=EF=5，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE，∵ED∥AC，∴∠ACE=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC，∴CD=DE=13，∵BC=35，∴BD=BC-CD=35-13=22，∴S△EBD=12BD·EM=12×22×5=55，故选：B．【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，∠B=∠ACB，∠1=∠2，AE⊥CD交CD于F，交BC于点E，求证：AB=CE．【答案】见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．先证明△AFC≌△EFCASA，由全等三角形的性质可得出AC=EC，由等角对等边可得出AB=AC，等量代换AB=CE可得出进而即可得到结论．【详解】证明：∵AE⊥CD，∴∠AFC=∠EFC=90°，在△AFC和△EFC中，∠1=∠2CF=CF∠AFC=∠EFC，∴△AFC≌△EFCASA，∴AC=EC，∵∠B=∠ACB，∴AB=AC，∴AB=CE．【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若，EB=7，DC=9，ED=11，则FG= ．【答案】5【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，又∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，∴∠EBG=∠GBC，∠DCF=∠FCB，∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠DCF，∴EG=EB=7，FD=DC=9，∵FG=EG+FD-ED=7+9-11=5，故答案为：5．【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．求证：(1)DG=BG；(2)BE=GD+GF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD，先根据DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF， 可知∠ABD=∠DBC，再根据DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，进而可得出∠BDG=∠DBC，由等角对等边可知DG=BG；（2）先证明Rt△EBD≌Rt△FBDHL，得出BE=BF，根据BF=BG+GF，DG=BG，得出BE=DG+GF．【详解】（1）证明：连接BD，如图所示：∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF， ∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC， 又∵DG∥AB， ∴∠ABD=∠BDG， ∴∠BDG=∠DBC， ∴DG=BG；（2）解：在Rt△EBD和Rt△FBD中DE=DFBD=BD，∴Rt△EBD≌Rt△FBDHL，    ∴BE=BF，        ∵BF=BG+GF，又∵DG=BG，∴BE=DG+GF．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明Rt△EBD≌Rt△FBD．【题型9 尺规作等腰三角形】【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为12c，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）【答案】见解析【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线AE，在射线上截取AB=c，然后作AB的垂直平分线MN，垂足为O，再截取CO=12c，再连接AC、CB，△ABC即为所求．【详解】解：如图所示，△ABC即为所求．【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知∠MCN，点B是射线CM上一点，求作等腰三角形ABC，使得BC为等腰三角形的底边，点A在∠MCN内部，且点A到角∠MCN的两边距离相等．（尺规作图）【答案】见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以BC为底边的等腰三角形，则需要作线段BC的中垂线EF，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作∠MCN的角平分线CG，CG与直线EF相交于一点即为点A，连接AB，△ABC即为所求作的等腰三角形．【详解】解：如图，△ABC即为所求作的等腰三角形．【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有30°角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含45°角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①在CA上截取CD=CB， △BCD即为含45°角的直角三角形，②延长CB，并在CB上截取CD=CA， △ACD即为含45°角的直角三角形．【详解】解：①△BCD为含45°角的直角三角形，①△ACD为含45°角的直角三角形．【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰△ABC，使底边BC=m，腰AB=AC=n；（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键．根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作∠BAC的平分线，交BC于点D，根据SAS证明△BAD≌△CAD即可；证明法二：取BC的中点为D，连接AD，根据SSS证明△BAD≌△CAD即可；证明法三：过点A作AD⊥BC于点D，根据HL证明△BAD≌△CAD即可．【详解】如图，△ABC即为所求作的三角形．已知：如图，△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：法一：作∠BAC的平分线，交BC于点D∴∠BAD=∠CAD∵在△BAD和△CAD中AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD∴△BAD≌△CADSAS∴∠B=∠C．法二：取BC的中点为D，连接AD．∴BD=CD∵在△BAD和△CAD中AB=ACBD=CDAD=AD∴△BAD≌△CADSSS∴∠B=∠C法三：过点A作AD⊥BC于点D∴∠ADB=∠ADC=90°∵在Rt△BAD和Rt△CAD中AB=ACAD=AD∴Rt△BAD≌Rt△CADHL∴∠B=∠C．【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D在CA上，且DC=2，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使△APD为等腰三角形的点P有 个．【答案】4【分析】点P在AB上时，存在三种情况使△APD为等腰三角，点P在BC上时，存在一种情况使△APD为等腰三角形．【详解】解：①点P在AB上时，当AP=PD时，∵∠ACB=90°，AC=BC=6，∵DC=2，∴AD=4，∴∠A=∠PDA=45°,∴AP=PD=AD2=22；当AD=AP时，AP=AD=4；当DA=DP时，AP=2AD=42；②当点P在BC上时，存在DA=DP，综上，使△APD为等腰三角形的点P有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，∴当P在l上时满足PA=PB，作BC的中垂线交l于P1，满足P1B=P1C；作BP=BC与l交于P2、P3两点，满足P2B=BC，P3B=BC；作CP=BC与l交于P4、P5两点，满足P4C=BC，P5C=BC；满足题意的点P共5个，故选：D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.【答案】6【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．【详解】如图，第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA=PB；第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，交AC延长线上于点P；第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，在上边于CA延长线上交于点P；第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与AC的延长线交于点P；第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP=BA，与BC在左边交于点P；第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP=AB，与BC在右边交于点P；故符合条件的点P有6个点．故答案为：6．【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有（   ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】以A为圆心，以BA的长为半径画弧与直线m交于点D，此时BA=AD，同理以B为圆心以BA的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分线与直线m交于点F，此时BF=AF，据此可得答案．【详解】解：如图所示，以A为圆心，以BA的长为半径画弧与直线m交于点D，此时BA=AD，同理以B为圆心以BA的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时BC=BA，BE=BA，再作BA的垂直平分线与直线m交于点F，此时BF=AF，∴直线m上存在4个点C，使△ABC为等腰三角形，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．