高考数学二轮复习讲义——16隐零点问题

这是一份高考数学二轮复习讲义——16隐零点问题，共35页。学案主要包含了解读素养，典例剖析，整体点评等内容，欢迎下载使用。
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
（3）若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
4、隐零点问题求解，三步曲
①用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合单调性得到零点的取值范围；
②以零点为分界点，说明的正负，进而得到的最值表达式；
③将零点方程适当变形，整体代入最值式子，进行化简证明.
隐零点问题解决问题的基本思路是：形式上虚设、运算上代换、数值上估算.
名师解读《普通高中数学课程标准》（2020年修订版）
课标要求: 掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数.能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题.发展学生数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模核心素养.
运用隐零点解决不等式相关问题
【例1】（2022·天津·高考真题）
1．已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
【变1】
2．已知函数．
(1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值；
(2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：．
【变2】
3．已知，R．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
虚设零点解决不等式范围问题的解题思路
隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.
运用隐零点解决零点相关问题
【例1】（2020·全国·高考理）
4．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【变1】
5．已知函数，其中实数.
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若函数有唯一零点，求的值.
【变2】
6．已知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)判断函数的零点的个数
运用隐零点解决零点相关问题
在求函数f（x）在区间I上的零点时，会出现难以求出零点准确值的情况，导致解题过程将无法继续进行．但可这样尝试求解：先证明函数f（x）在区间I上存在唯一的零点（例如，函数f（x）在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点），这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出（当然，有时是可以求出但无需求出），所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．
[素养落地]---逻辑推理
1.【解读素养】逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.学生通过高中数学课程的学习，能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力.
【典例剖析】（2019·全国·高考理）
7．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
（2022·江苏苏州三中高三）
已知函数,（其中为自然对数的底数）．当时,恒成立,则正整数的最大值为 ．
（2022·福建三明一中高三）
已知函数．则的极值点有 个.
已知函数．当时，，则整数的最大值为 ．
11．已知定义在上的函数.
(1)求证：存在唯一的零点，且零点属于；
(2)若k∈Z，且对任意的恒成立，求k的最大值.
12．已知函数，．
(1)判断函数的单调性；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．
13．已知函数，．
(1)设函数，求的最大值；
(2)证明：．
（2022·北师大实验中学模拟）
14．设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
15．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.
16．已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)当时，证明：．
17．设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）
参考答案
1.【详解】（1），故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
（2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，故，
设，则，
故在上为增函数，而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故.
（ii）因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立.
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立.
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立.
故，即成立.
2.【详解】（1），所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
因为切线经过点，所以；解得．
（2）设，则，
设，则，
因为在上递增，
所以当时，，当时，
所以在上递减，在上递增，
所以，
令，则
所以在递减，
因为，所以，所以．
3.【详解】（1）由题意得的定义域为，，
①时，，在内单调递减，
②时，令得或（舍）
当，单调递减；当，，单调递增．
（2）由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，，故存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数有极大值，也即为最大值，
，
故，又，故，
又a为整数，故a的最小整数值为
4.【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设是的一个零点，且，则．
从而．
令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为（当时，），进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．
［方法三］：
设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为．
设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即．
综上，的所有零点的绝对值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为．
（ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意；
（ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为．
（ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设是的一个零点且，则是的另一个零点．
．
则，设，由判别式，所以方程有解．
假设实数满足．
由，得．与矛盾，假设不成立．
所以，所有零点的绝对值都不大于1．
【整体点评】（2）方法一：先通过研究函数的单调性，得出零点可能所在区间，再根据反证法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零点的定义以及零点存在性定理即可求出，是本题的最优解；方法三：利用零点的定义结合题意求出的范围，然后再由零点定义以及的范围即可求出所有零点的范围，从而证出；方法四：由函数的单调性讨论极大值极小值的符号，得出的范围，再结合零点存在性定理即可证出；方法五：设函数的一个零点为，满足，再设另一个零点为，通过零点定义找到的关系，再根据一元二次方程存在解的条件以及反证法即可推出矛盾，从而证出．
5.【详解】（1），
令
在上单调递增，即在上单调递增
；令，则，令，则
在上单调递减，在上单调递增
（2）；
令
在上单调递增，即在上单调递增
设，则
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减
所以；所以，即；所以
又 ，
所以存在唯一的，使得，即（1）
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增
所以，又因为函数有唯一的零点，
所以，即（2）
由（1）（2）得
即
令

又因为
所以函数在上单调递减，在上单调递增
而，则 代入（1）得
综上：
【点睛】导函数中利用函数的零点的情况求参数值或取值范围可通过以下步骤进行：
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；
（3）转化为两个熟悉的函数图像的关系问题，从而构建不等式求解.
6.【详解】（1）因为，
∴，
①若，因为，所有，
所以，不符合题意；
②若，由，
令，因为，
设方程两根为，
则，不妨设，
当时，在上，，单调递增，，不合题意；
所以，故，即，
这时，在上，，单调递减，
所以恒成立；
综上，a的取值范围是；
（2）当时，因为，所有，
所以，函数无零点；
当时，
（i）若，则，即，
由（1）知，在上单调递增，上单调递减，，
由，可知,
又，
所以存在使，
所以当时，有一个零点；
（ii）若，即时，则在上单调递减，，
无零点；
综上，当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
7.【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
8.【详解】解:由题知当时,
,即,
记,,
,
,
记
所以
即在上单调递增,
,
所以,使得,
即,所以,
当时,,,函数单调递减,
当时,,,函数单调递增,
所以
,
在上单调递减,
,,
所以当时,不等式对任意的恒成立,
所以正整数的最大值是3.
故答案为:3
【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:
(1):对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;
(2):然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;
(3):对新的函数进行求导求导求单调性;
(4):取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值异号为止;
(5):根据新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性.
9.【详解】解:由题知,
,,
①当时,,在上为增函数,不存在极值点;
②当时,令,
则,
故在上为增函数,
又因为当,,
,
所以必存在,使,
当时,为减函数,
当时,为增函数,
所以是的极小值点,
综上,当时,无极值点,
当时,有一个极值点,
故的极值点有0个或1个.
故答案为:0或1
10.【详解】当时，，即，
因为，所以只需，
令，，所以．
，
令，在上递增，
但无法求解，
故引入隐零点：，
根据零点存在性定理，，使得，
即．
当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
所以，故；
又在递增，，
所以，又，
所以整数的最大值是1．
11.【详解】（1）的定义域为，
，所以在上递增.
，
所以存在唯一的零点，且零点属于.
（2）由g（x）>k（x﹣1）对任意的x>1恒成立，
得：k，（x>1），
令h（x），（x>1），
则，
设f（x0）=0，则由（1）得：3