2024年江苏省常州市中考数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江苏省常州市中考数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的绝对值是( )
A. −12024B. 12024C. −2024D. 2024
2.若式子 x−2有意义，则实数x的值可能是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
3.计算2a2−a2的结果是( )
A. 2B. a2C. 3a2D. 2a4
4.下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A. d1与d2一定相等B. d1与d2一定不相等
C. l1与l2一定相等D. l1与l2一定不相等
6.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为( )
A. 50×108光年B. 5×108光年C. 5×109光年D. 5×1010光年
7.如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是( )
A. 垂线段最短
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”(单位：min/km).小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 第1km所用的时间最长B. 第5km的平均速度最大
C. 第2km和第3km的平均速度相同D. 前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.16的算术平方根是__________.
10.分解因式：x2−4xy+4y2=__________.
11.计算：1x+1+xx+1=__________.
12.若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为__________.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是__________.
14.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD.若∠BCD=20∘，则∠ABD=__________ ∘.
15.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=__________.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE=__________.
17.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20m，方差是s12m2.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s22m2，则s12__________ s22(填“>”、“=”或“<”).
18.“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率.小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过)，则车速v(km/h)的取值范围是__________.
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程组和不等式组：
(1)x−y=03x+y=4；
(2)3x−6<0x−1220.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x= 3−1.
21.(本小题8分)
某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命(完全充放电次数)，从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
(1)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
(2)根据上述信息，下列说法中正确的是______(写出所有正确说法的序号)；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t<600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t<400.
(3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量.
22.(本小题8分)
在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”.将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是______；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回)，乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.
23.(本小题8分)
如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形；
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是______.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A(−1,n)、B(2,1).
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求△OAB的面积.
25.(本小题8分)
书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、dm.若装裱后AB与AD的比是16：10，且a=b，c=d，c=2a，求四周边衬的宽度.
26.(本小题10分)
对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”.
(1)如图1，B、C、D是线段AE的四等分点.若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是______，d=______(写出符合条件的一种情况即可)；
(2)如图2，等边三角形ABC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是(−1,0)、(1,0)、(0,4)，以点G为圆心，r为半径画圆.若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围.
27.(本小题10分)
将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上(端点除外)，边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H.
(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是______；
(2)如图2，若EF//BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由.
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C.
(1)OC=______；
(2)如图，已知点A的坐标是(−1,0).
①当1≤x≤m，且m>1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s−t=2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ=∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC.若DQ=PC，求点P的横坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2024的绝对值是2024，
故选：D.
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵式子 x−2有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
则−1，0，1不符合题意，2符合题意，
故选：D.
根据二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：2a2−a2=a2，
故选：B.
利用合并同类项法则计算即可．
本题考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．
故选：B.
由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．
本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知：当点P在∠AOB的平分线上时，d1与d2一定相等，
故选：A.
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上判断即可．
本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等的逆命题也成立．
6.【答案】C
【解析】解：50亿光年=5000000000光年=5×109光年，
故选：C.
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选：A.
根据垂线段最短判断即可．
本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的性质是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故选项A说法正确，不符合题意；
第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意；
第2km和第3km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意；
前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D.
根据“速度=路程÷时间”解答即可．
本题考查一次函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
9.【答案】4
【解析】解：16的算术平方根是4，
故答案为：4.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，据此即可求得答案．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】(x−2y)2
【解析】解：x2−4xy+4y2
=x2−4xy+(2y)2
=(x−2y)2.
故答案为：(x−2y)2.
根据完全平方公式分解因式得出答案．
本题考查了运用公式法分解因式．解题的关键是熟练掌握公式法分解因式，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11.【答案】1
【解析】解：原式=1+xx+1=1.
故答案为：1.
利用同分母的分式的加减法法则计算即可．
本题考查了分式的加减法，掌握“同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减”是解决本题的关键．
12.【答案】y=10−2x(2.5【解析】解：∵等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x，
∴y+2x=10，2x>y，x>0，y>0，
由y+2x=10，得：y=10−2x，
由2x>y，得：2x>10−2x，解得：x>2.5，
由y>0，得：10−2x>0，解得：x<5，
∴x的取值范围是：2.5∴底边长y与腰长x的函数表达式为：y=10−2x(2.5故答案为：y=10−2x(2.5依题意得y+2x=10，2x>y，x>0，y>0，由y+2x=10得y=10−2x，由2x>y得2x>10−2x，解得x>2.5，由y>0得10−2x>0，解得x<5，则x的取值范围是2.5此题主要考查了等腰三角形的性质，函数关系式，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，函数关系式，三角形三边关系是解决问题的关键，利用三角形三边关系求出自变量x的取值范围是解决问题的难点，也是易错点．
13.【答案】(−2,−1)
【解析】解：过点A，C分别作x轴的垂线AE，CF，如图，
∴∠AEO=∠CFO=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵点A的坐标是(2,1)，
∴OE=OF=2，AE=CF=1，
∴点C的坐标为：(−2,−1)，
故答案为：(−2,−1).
过点A，C分别作x轴的垂线AE，CF，根据正方形的性质可得△AOE≌△COF，即可得出OE=OF，AE=CF，进而求出点C的坐标．
本题考查正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
14.【答案】70
【解析】解：∵BD=BD，
∴∠BAD=∠BCD=20∘.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ABD=90∘−20∘=70∘.
故答案为：70∘.
先利用圆周角定理得出∠BAD的度数，再根据AB为圆的直径，得出∠ADB的度数，据此可求出∠ABD的度数．
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：连接DE，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE=10，
∴AE= DE2−AD2= 100−64=6，
∴AB=AE+BE=16，
∴tan∠ABD=ADAB=12，
故答案为：12.
由线段垂直平分线的性质可得BE=DE=10，由勾股定理可求AE=6，由锐角三角函数可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，
∴CD=12AC=3，
∴BD= BC2+CD2=5，
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴CD=DF=3，CE=EF，∠EFD=90∘，
∴BF=BD−DF=2，∠BFE=90∘，
设CE=x，则EF=x，BE=BC−CE=4−x，
在Rt△BFE中，由勾股定理，得：(4−x)2=x2+22，
解得：x=32，
∴CE=32，
故答案为：32.
勾股定理求出BD的长，折叠得到CD=DF，CE=EF，∠EFD=90∘，设CE=x，在Rt△BFE中，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】>
【解析】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为20m，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，
∴s22=910s12，
∴s12>s22.
故答案为：>.
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了方差和算术平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
18.【答案】54≤v≤72
【解析】解：vkm/h=v3.6 m/s.
根据题意得：v≥4032×v3.6≥48044×v3.6≤880(44+60)×v3.6≥880，
解得：54≤v≤72，
∴车速v(km/h)的取值范围是54≤v≤72.
故答案为：54≤v≤72.
利用路程=速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过)，可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v(km/h)的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
19.【答案】解：(1){x−y=0①3x+y=4②，
①+②，得：4x=4，
∴x=1，
将x=1代入①得：y=1，
∴该方程组的解为：x=1y=1；
(1)3x−6<0x−12解不等式3x−6<0，得：x<2，
解不等式x−12−1，
∴该不等式组的解集为：−1【解析】(1)对于方程组{x−y=0①3x+y=4②，①+②得4x=4，由此解出x=1，再将x=1代入①求出y的值即可得出该方程组的解；
(2)对于不等式组3x−6<0x−12−1，由此可得该不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键．
20.【答案】解：原式=x2+2x+1−x2−x
=x+1；
当x= 3−1时，
原式= 3−1+1= 3.
【解析】将原式利用完全平方公式，单项式乘多项式法则计算后再合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可．
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
(2)①②；
(3)2000×520=500(个)，
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
【解析】解：(1)见答案；
(2)①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次，故正确；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t<600，故正确；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数为350×2+450×3+550×10+650×520=540，故不正确；
∴①②是正确的；
故答案为：①②；
(3)见答案．
(1)根据抽样调查和普查的特点即可得出答案；
(2)分别根据频数分布表，中位数和加权平均数判断即可；
(3)用总数乘以样本中完全充放电次数在600次及以上的个数所占的百分比即可．
此题主要考查了全面调查与抽样调查，频数分布表，中位数，加权平均数和用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．
22.【答案】解：(1)13；
(2)列表如下：
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：(石头，剪子)，(剪子，布)，(布，石头)，共3种，
∴甲取胜的概率为36=12.
【解析】解：(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是13.
故答案为：13.
(2)见答案．
(1)由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=EF，
∴△ABC≌△DFE(SSS)，
∴∠ACB=∠DEF，
即∠GCE=∠GEC，
∴GE=GC，
∴△GEC为等腰三角形；
(2)AD//l.
【解析】(1)见答案；
(2)AD与l的位置关系是：AD//l，理由如下：
连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，如图所示：

则∠AMB=∠DNF=90∘，AM//DN，
∵△ABC≌△DFE，
∴∠ABM=∠DFN，
在△ABM和△DFN中，
∠AMB=∠DNF=90∘∠ABM=∠DFNAB=DF，
∴△ABM≌△DFN(AAS)，
∴AM=DN，
∴四边形AMND为平行四边形，
∴AD//l.
(1)先依据“SSS”判定△ABC和△DFE全等，得∠ACB=∠DEF，由此得GE=GC，进而即可得出结论；
(2)连接AD，过A作AM⊥直线l于M，过D作DN⊥直线l于N，则∠AMB=∠DNF=90∘，AM//DN，根据△ABC≌△DFE得∠ABM=∠DFN，进而可依据“AAS”判定△ABM和△DFN全等，则AM=DN，由此可得四边形AMND为平行四边形，然后再根据平行四边形的性质可得出AD与l的位置关系．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于点A(−1,n)、B(2,1)，
∴m=−1×n=2×1，
∴m=2，n=−2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
∵一次函数y=kx+b的图象过A(−1,−2)、B(2,1)，
∴−k+b=−22k+b=1，解得k=1b=−1，
∴一次函数解析式为y=x−1.
(2)如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y=x−1中，当y=0时，x=1，
∴C(1,0)，即OC=1，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×1×1+12×1×2=32.
【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)先求出直线与x轴的交点坐标，再根据S△AOB=S△BOC+S△AOC代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
25.【答案】解：由题意得，AB=(1.2+c+d)m，AD=(0.8+a+b)m，
∵a=b，c=d，c=2a，
∴AB=(1.2+c+d)m=(1.2+4a)m，AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m，
∵AB与AD的比是16：10，
∴(1.2+4a)：(0.8+2a)=16：10，
∴a=0.1，
∴b=0.1，c=d=0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m.
【解析】根据题意得到AB=(1.2+c+d)m，AD=(0.8+a+b)m，根据a=b，c=d，c=2a，得到方程，解方程即可得到结论．
本题考查了比例线段，正确地理解题意，列出代数式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)BD，1；(答案不唯一)
(2)作图如图所示，
(3)∵点D、E、G的坐标分别是(−1,0)、(1,0)、(0,4)，
∴OD=OE=1，OG=4，
∴DE=2，DG=EG= 12+42= 17，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE=2<3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG−GF，EF≥EG−GF，
∴ 17−GF≥3，
∴GF≤ 17−3，
即0当DE在圆内时，
则GF− 17≥3，
∴GF≥ 17+3，
∴r≥ 17+3；
综上：0【解析】解：(1)由题知AB=BC=CD=DE=1，
∴AC=BD=CE=2，
∴线段AC的“平移关联图形”可以是BD，也可以是CE，
当线段AC的“平移关联图形”是BD时，d=1，
当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d=2；
故答案为：BD，1或者CE，2；(两种情况任填一种即可).
(2)作图如图所示，
作法提示：①在AB延长线上截取BA′=BA，
②再分别以B和A′为圆心，BA′长为半径画弧交于点C′，
③连接BC′和A′C′，则△BA′C′即为所求；
理由：∵AB=A′B=BC′=A′C′，△ABC是等边三角形，
∴△BA′C′为等边三角形，
∴△ABC≌△BA′C′(SAS)，
∵平移距离为2，
∴△BA′C′是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2.
(3)见答案；
(1)根据平移的性质求解即可；
(2)在AB延长线上截取BA′=BA，再分别以B和A′为圆心，BA′长为半径画弧交于点C′，连接BC′和A′C′，则△BA′C′即为所求；
(3)根据题干可知要在⊙G找一点F，使DF=EF≥3，分两种情况，DE在圆内或圆外讨论即可求解．
本题主要考查了平移的性质、尺规作图、点圆最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27.【答案】解：(1)菱形；
(2)∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC=∠DEF=∠C=60∘，AC=BC=6cm，
∵EF//BC，
∴∠CHE=∠DEF=60∘，
∴∠ABC=∠CHE，
∴BG//EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C=∠CHE=60∘，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH=CH=2xcm，则BH=(6−2x)cm，HT=12CH=x cm，
∴ET= EH2−HT2= 3x cm，
∴S重叠=S四边形BHEG=BH⋅ET= 3x(6−2x)=−2 3(x2−3x+94−94)=−2 3(x−32)2+9 32，
∵−2 3<0，
∴当x=32时，S重叠有最大值，最大值为9 32cm2；
(3)AE=BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴AM=FN=12DF=12AC=3cm，EF=AB=6cm，
∴由勾股定理可得NE= EF2−FN2=3 3cm，BM= AB2−AM2=3 3cm，
∴EN=BM，
在Rt△NBE和Rt△MEB中，
EN=BMBE=BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB(HL)，
∴NB=ME，
∴FN+BN=AM+ME，即AE=BF.
【解析】解：(1)如图所示，连接BE，CD，
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ACB=∠EDF=60∘，
∴B、D、C、E四点共圆，
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC=90∘，
∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，
又∵DE=BC=6cm，
∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴EH=BH，
∴∠HBE=∠HEB=30∘，
∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30∘，
∴BG//EH，BH//EG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH=BH，
∴四边形BHEG是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)连接BE，CD，先证明四边形BHEG是平行四边形，再根据EH=BH，得出四边形BHEG是菱形；
(2)过点E作ET⊥HC，设EH=CH=2xcm，则BH=(6−2x)cm，HT=12CH=x cm，ET= EH2−HT2= 3x cm，S重叠=S四边形BHEG=BH⋅ET= 3x(6−2x)=−2 3(x2−3x+94−94)=−2 3(x−32)2+9 32，得出当x=32时，S重叠有最大值，最大值为9 32cm2；
(3)过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，证明Rt△NBE≌Rt△MEB(HL)，得到NB=ME，得出FN+BN=AM+ME，即AE=BF.
本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)3；
(2)将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=−1−b+3，则b=2，
即抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x=1，
①当1≤x≤m，且m>1时，函数值y随x的增大而减小，
∴x=1时，y取得最大值，即s=−1+2+3=4，
当x=m时，y取得最小值为t=−m2+2m+3，
∵s−t=2，
∴4−(−m2+2m+3)=2，
解得：m=1+ 2或m=1− 2(舍)；
②设点P(m,−m2+2m+3)，则点D(m,0)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=3x+3，
当点P在x轴上方时，如下图，
∵∠DPQ=∠ACO，
∴AC//PQ，
∴直线PQ的表达式为：y=3(x−m)−m2+2m+3，
则点Q(0,−m2−m+3)，
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2=m2+(−m2−m+3)2，PC2=m2+(−m2+2m)2，
∵DQ=PC，即m2+(−m2−m+3)2=m2+(−m2+2m)2，
解得：m=−1(舍去)或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q(0,−m2+5m+3)，
则DQ2=m2+(−m2+5m+3)2，PC2=m2+(−m2+2m)2，
m2+(−m2+5m+3)2=m2+(−m2+2m)2，
解得：m=−1(舍去)或7− 734(舍去)或7+ 734；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或7+ 734.
【解析】解：(1)由抛物线的表达式知，当x=0时，y=3，
C(0,3)，
即OC=3，
故答案为：3；
(2)①见答案；
②见答案．
(1)由抛物线的表达式知，c=3，即可求解；
(2)①当1≤x≤m，且m>1时，抛物线的对称轴x=1时，取得最大值，即s=4，当x=m时，y取得最小值为t=−m2+2m+3，即可求解；
②当点P在x轴上方时，由∠DPQ=∠ACO，得到直线PQ的表达式为：y=3(x−m)−m2+2m+3，则点Q(0,−m2−m+3)，即可求解；当点P在x轴下方时，同理可可解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．完全充放电次数t
300≤t<400
400≤t<500
500≤t<600
t≥600
充电宝数量/个
2
3
10
5
石头
剪子
布
石头
(石头，剪子)
(石头，布)
剪子
(剪子，石头)
(剪子，布)
布
(布，石头)
(布，剪子)