高考数学一轮复习(新教材新高考)第12讲利用二阶导函数解决函数问题(高阶拓展)专项练习(学生版+解析)

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命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 y=fx 在区间 a,b 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 a,b 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 a,b 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
考点一、二阶导与函数单调性
1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
(1)当时，讨论单调性；
(2)证明：有唯一极值点，且.
考点二、二阶导与函数极值、最值
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，是函数的极值点，证明：；
(2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围．
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若，求f(x)在（，0）上的极值；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围
2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若有两个相异的实根，证明：.
考点三、二阶导与不等式证明
1．（2023春·湖北·高三十堰一中校联考期中）已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；
②求证：．
考点四、二阶导与函数零点或方程的根
1．（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）已知，.
(1)求方程的根的个数；
(2)证明：.
1．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）已知函数 ，
(1)若时，求证：函数）只有一个零点；
(2)对时，总有恒成立，求k的取值范围．
2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．
考点五、二阶导与参数综合问题
1．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数，的导函数为．
(1)若存在极值点，求的取值范围；
(2)设的最小值为，的最小值为，证明：．
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.
(1)求函数的极值；
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.
2．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
3．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)若函数在内存在极值，求的取值范围；
(3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小值为，求a的值；
(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·湖北武汉·高三武汉市吴家山中学校联考期中）已知函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数在原点处的切线方程是
B．是函数的极大值点
C．函数在上有个极值点
D．函数在上有个零点
二、多选题
2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在单调递增B．在处取得极小值
C．在恒成立D．在处的切线斜率为
三、填空题
3．（2023春·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考期中）设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
4．（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为 ．
四、解答题
5．（2022秋·陕西延安·高三校考阶段练习）已知函数，.
(1)若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，求在上的最小值.
6．（2023春·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
7．（2021·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
8．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）已知函数，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极小值，求的值；
(3)若存在实数，使对任意的，都有，求的取值范围.
9．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数且.
(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；
(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.
10．（2022·江苏·高三期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【能力提升】
1．（2022秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知函数．
(1)若在处的切线l与直线平行，求切线l的方程；
(2)证明：当时，对任意的恒成立．
2．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.
(1)若单调递增，求的取值范围；
(2)设曲线在处的切线与曲线交于另一点，若恒成立，求的取值范围.
3．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求整数的最大值．
4．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．
5．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知函数在处取到极值．
(1)求的值以及函数的单调递减区间；
(2)若，且，试比较与0的大小关系，并说明理由．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中e为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为.
(1)求实数m，n的值；
(2)证明：对任意的，有.
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求b的值；
(2)若，且，，求证：．
8．（2023·湖北·统考二模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
9．（2022秋·云南玉溪·高三云南省通海县第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点（），
（ⅰ）求证；（为自然对数的底数）；
（ⅱ）若满足，求a的最大值.
10．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考三模）已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
第12讲 利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
二阶导的定义
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
曲线的凹凸性
设函数 y=fx 在区间 a,b 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 a,b 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 a,b 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。
解决这类题的常规解题步骤为:
求函数的定义域;
求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
构造求 , 求 ;
列出 的变化关系表;
根据列表解答问题。
考点一、二阶导与函数单调性
1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是
(2).
【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；
（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】（1），，
，恒成立，
所以在递增.
所以当，；
，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是.
（2），
①当时，由（1）知有且只有一个零点.
②当时，，则在区间上单调递减，
所以至多有一个零点.
③当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以，
所以无零点.
④令，当时，，
所以在区间上单调递减，
所以，有，
所以，则.
当时，，，
又因为的图象在区间上连续不间断，
所以，使得，即.
令，，
所以在区间上单调递增，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以.
令.
，
又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，
所以有且只有2个零点.
综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可.
2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调性．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,
（2）利用导数确定函数的单调区间.
【详解】（1），
．
，．
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，
则．
令，得；
令，得．
在上单调递减，在上单调递增．
，，，
当时，，即．当且仅当时等号成立，
当时，函数单调递减．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)利用二次求导讨论，即可求解；
(2)先对函数求导可得，再对函数求导，根据零点的存在性定理知存在唯一的使得，得出的取值情况，进而得出的单调性，则有唯一的极小值点，且，即可求解.
【详解】（1）若，，所以，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）的定义域为，，
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，当时，，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值点，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以有唯一极值点，且.
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数或二阶导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶导数研究新函数的性质即可解决问题.
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中
(1)当时，讨论单调性；
(2)证明：有唯一极值点，且.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明见解析.
【分析】（1）首先确定定义域，再应用二阶导数的符号判断的单调性，进而分区间判断的符号，即可确定的单调性.
（2）求的二阶导，根据其符号知在上单调递增，令得到，构造结合其单调性，注意利用导数研究的符号，再用放缩法判断、的符号，即可判断零点的唯一性，进而得到，结合基本不等式求证.
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，，
所以在上单调递增，又，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，，，则在上单调递增，至多有一个零点，
令，其中，则，
当时，，单调递增.
当时，，单调递减，
所以，即，于是，
令，则，两边取自然对数可得，
令，则在上单调递增.
故，又，
所以在上有唯一零点，则有唯一零点，即有唯一极值点.
下证：
因为，所以，可得，
所以，当且仅当时等号成立，
综上，有唯一极值点且，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造，结合单调性、零点存在性定理判断零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式.
考点二、二阶导与函数极值、最值
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数；
（2）首先利用零点，将等式转化为，再构造函数，再利用导数，讨论的取值，结合端点取值，即可求的取值范围.
【详解】（1）由题可得设，，
①当时，递增，且，所以有一个变号零点，
②当时，在上递增，在上递减，且，
[1]当时，即时，所以无变号零点；
[2]当，即时，，
由取，则，所以有两个变号零点；
综上：当时，有1个极小值点，无极大值点；
当时，有1个极小值点和1个极大值点；
当时，无极值点.
（2）时，即即有两个不同的根，
，，
，
即，即，
.
下证对恒成立，
设，
①当时，，
；
②当时，，
使得时，，所以在上，，在上，，不存在使不等式成立；
综上：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)若，是函数的极值点，证明：；
(2)设函数，若函数与函数的单调区间相同，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先得到，设函数，进而得到，结合，即可得到函数的单调性，进而求证；
（2）与（1）同理可先得到函数的单调性，进而得到函数的单调性，进而得到对任意恒成立，即恒成立，再结合最值进行求解.
【详解】（1）证明：由题意，，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
所以，命题得证.
（2）由，
所以，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，；当时，.
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，则，
所以对任意恒成立，即恒成立，
所以，将带入上式，
整理得，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围为．
【点睛】方法点睛：在利用导数分析函数的单调性时，常常遇见参数的干扰，导致无法进行常规分析导函数的正负，这时经常使用对导函数再次求导的方法进行分析，再结合一些特殊值确定导函数的正负，从而求解.
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若，求f(x)在（，0）上的极值；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围
【答案】(1)极大值是，无极小值
(2)
【分析】(1)先求导数,再根据导数正负求单调性,最后导数为零时求极值即可;
(2)根据单调性求最值,把在上恒成立转化为最小值大于等于0,分情况讨论求解可得.
【详解】（1）若x，则，令，，
则，令
则
,
所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减，
又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减．
又，所以f(x)的极大值是
（2）由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减，
易知为偶函数．
所以f'(x)在上单调递增，又
当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意;
当，即时，，又，
存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减，
在单调递增，故，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若有两个相异的实根，证明：.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）通过二次求导确定的导函数有唯一零点，进而确定的单调区间以及极值；
（2）先将题中等式变形为，通过构造函数有两个不同零点确定参数m的范围，再将方程的两相异实根代入，并令，将原不等式中和m均替换为t表示，最后构造关于t的函数，利用求导判断不等式成立即可.
【详解】（1）因为
所以，
令，
则，
因为，所以，所以在单调递增，又因为，
所以当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，取得极小值无极大值.
（2）因为有两个相异实根，
即有两个相异实根，
令，则，
当时，，当时，
所以在单调递减，单调递增，
因为，故.
当时，当时，，
设，则，
故当时，，
故当时，，
故当，有两个不同的零点，
所以
因为有两个相异实根，所以，令，则，
所以，所以
又因为，要证，
只需证，
因为，所以只需证.即证，
因为，所以只需证，即证，
令，则
所以在上单调递增，
，即当时，成立.
所以.
【点睛】本题主要考查双变量问题，难度较大，解题关键在于通过实根建立方程，再借助换元将双变量转化为单变量，进而构造函数将恒成立问题转化为最值问题，求导确定单调性，使问题得到解决.
考点三、二阶导与不等式证明
1．（2023春·湖北·高三十堰一中校联考期中）已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用二次导数讨论函数在单调性，由单调性可证；
（2）先根据在处的导数符号可得，然后利用放缩放判断导数符号，再根据单调性即可验证；
（3）利用不等式，结合放缩法和裂项相消法可证.
【详解】（1），记，
，故单调递增，
又，单调递增，
所以，即.
（2），，若时，，则存在区间，使得单调递增，
故必有，即，验证：当时，.
由（1）可知，
，即在上单调递增，满足题意，
综上，.
（3）由（2）可知，当，时，，取，
则①，
.
②，，
综上.
【点睛】本题不等式直接证明难度较大，对于此类不等式经常需要进行适当的放缩，本题难点在于利用（2）中结论，以及不等式问题中一些常见结论进行转化，要求学生熟记常见结论并能灵活运用.
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式；
（2），结合（1）中的结论再分和讨论即可.
【详解】（1），令，则．
∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．
又，
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴．∴．
（2）．
由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．
（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴，即．
（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．
①当时，．当时，；
当时，；
当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴．不符合题意．
②当时，．当时，有恒成立，
故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．
③当时，．当时，；当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
∴．不符合题意．
综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；
②求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)①在处的切线方程；在处的切线方程；②证明见解析
【分析】（1）首先构造函数，求导得，利用导数证明在上恒成立，即得在上恒为增函数，进而证明出，即得证结论.
（2）①首先对求导得，令并将代入，，利用导数可得当时，单调递增，当时，单调递减，又因为，所以得，，最后根据导数的几何意义分别求解在处与处的切线方程即可.
（2）②首先通过构造函数与，利用导数判断切线与函数图象的位置关系，进而得到m，n关于a的不等式，最后借助不等式的性质证明不等式
【详解】（1）令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，所以．
（2）（2）①由题可得，
则．令，
当时，，则，
令，则，所以在R上单调递减，
又，，
所以存在，使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以，，
因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
在处的切线方程为．
②令，
则，
令，则，所以在R上单调递增，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
即；
令，则，
令，
则，所以在R上单调递增，
又，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，
即．
所以当时，曲线在，处的切线，均不在图象的下方，
所以，
，
得，．
所以，即．
【点睛】关键点点睛：解决本题第②问的关键是巧用第①问中所求切线方程，构造函数与，通过利用导数分析判断
切线与函数图象的位置关系列不等式，得到m，n关于a的不等式，最后借助不等式的性质证明不等式
考点四、二阶导与函数零点或方程的根
1．（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）已知，.
(1)求方程的根的个数；
(2)证明：.
【答案】(1)2个
(2)证明见解析
【分析】（1）原问题可转化为求函数零点的个数，求出.二次求导得出的单调性以及极值情况，然后分以及，根据的单调性，结合端点处的导数值，即可得出的单调性，从而得出该区间内零点的个数.进而研究，根据复合函数的单调性，可得出的单调性，根据零点存在定理即可得出该区间内零点的个数.在内，根据正弦函数的范围可得恒成立，即可得出答案；
（2）先推得，然后由已知可得出.进而代入求和化简可得出.
【详解】（1）由题意可转化为求函数零点的个数.
则定义域为，且.
（ⅰ）令，，
则，.
因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知在上单调递减.
又，，
根据零点存在定理可知，，使得.
所以，当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，为的极大值点，
即：在区间上存在唯一的极大值点.
①当时，
由的单调性，可知在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减.
又，所以为在上的唯一零点；
②当时，
由的单调性，可知在上单调递增，在上单调递减.
又，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，不存在零点.
又，，
根据零点存在定理可知，，使得.
当时，有，所以在上单调递增；
当时，有，所以在上单调递减.
又，，
所以在上恒成立，此时不存在零点；
（ⅱ）当时，函数单调递减，函数单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减.
又，，
所以.
根据零点存在定理可知，在上存在零点.
又在上单调递减，
所以，在上存在唯一零点；
（ⅲ）当时，，，
所以，
所以在上不存在零点.
综上所述，有且仅有2个零点，
所以，方程的根的个数为2.
（2）因为，
又由（1）知：，
所以，，
所以，.
又，
所以.
【点睛】方法点睛：研究函数的零点：求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，结合端点处（或特殊点处）函数值的符号，结合零点存在定理，分区间研究，即可得出.
1．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）已知函数 ，
(1)若时，求证：函数）只有一个零点；
(2)对时，总有恒成立，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导数确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求解，
（2）将问题等价转化为 在定义域内单调递增，构造函数，只需要证明，进而分离参数，问题转化成，只恒成立，利用导数求解最值即可.
【详解】（1）由得，
记，
则当时，，当时，，
因此在单调递增，在单调递减，故，
当时，，所以，因此，所以在定义域 单调递减，而，因此函数）只有一个零点
（2）不妨设，则由得，
故函数 在定义域内单调递增，
记，则 ，即，
所以，
记，只需要 恒成立即可，
，
记，，
所以在单调递增，，
所以存在，使得，即，所以，
由于，所以，
令，由于当时，，且函数 均为单调递增的函数，所以
由得，所以，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 ，
故
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 分类讨论参数.
2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导函数求单调性，结合即可求解.
（2）由题意可得，若是方程的根，则是方程的根，所以，，再利用导函数求的最小值即可.
【详解】（1）由题意可得，
记，则，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点0．
（2）由可得，
若是方程的根，则是方程的根，
因为，都单调递增，
所以，，
设，，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，即的最小值为．
故原不等式成立.
【点睛】当函数的一阶导数符号不好判断时，常利用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而得到一阶导数大于0和小于0的区间.
考点五、二阶导与参数综合问题
1．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数，的导函数为．
(1)若存在极值点，求的取值范围；
(2)设的最小值为，的最小值为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先求的导数，得到的解析式，再求的导数，由存在极值点，可知有实数根，把转化为两个函数和有交点的问题，通过求导讨论单调性可知，只需即可有交点，得到不等式解出的取值范围；
(2)由(1)可得 的单调性，由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，再由，可设的零点，从而得到的单调性，得出的最小值，由把证明转化为证明，通过作差，讨论的单调性可得，即可证明结论.
【详解】（1）因为函数，
所以，
即.
则，
存在极值点，即有实数根，即有实数根，即有实数根，
令，则，
所以在上单调递减.
因为在上单调递增，
所以要使在上有实数根，
只需，即即可，解得，
所以的取值范围为.
（2）由(1)知， 在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以存在，使.
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，.
因为，
，
所以存在，使.
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
即
令，要证，只需证.
因为
令，，则，
所以在上单调递增，，所以，
所以，
即，即.
【点睛】难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数进行二次求导.
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有三个零点，其中.
(i)求实数的取值范围；
(ii)求证：.
【答案】(1)极大值为,极小值为.
(2)(i) ；(ii)证明见解析.
【分析】(1)先求的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.
(2) (i)先把 化为，则除1外还有两个零点，通过求导讨论的单调性，当时， 在单调递减，不满足，舍去. 当时，除1外还有两个零点，则不单调，可求出实数满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合题意的实数的取值范围；(ii) 由题意得，结合(i)可知，再用基本不等式证明结论.
【详解】（1）当时，，定义域为.
，
令，得或；
令，得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
因此，当时，有极大值，并且极大值为,
当时，有极小值，并且极小值为,
（2）(i)，
，，则除1外还有两个零点，
，
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去.
当时，除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，
则，，所以，
当或时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点,
综上，实数a的取值范围为.
(ii)证明:因为，
所以若，则，所以，，
又，所以，
，当且仅当时不等式取等号.
所以.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.
(1)求函数的极值；
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况，求函数的极值；
（2）根据不等式构造函数，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论的取值范围，判断函数的单调性，利用，即可求实数的取值范围.
【详解】（1），
当时，，函数单调递减，无极值；
当时，由得，
当时，，当时，，
所以在区间单调递减，在单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；
（2），关于的不等式恒成立，
设，则，，
（ⅰ）当时，，单调递增，
，当时，，
所以存在，使，所以在上单调递减，
当时，矛盾；
（ⅱ）当时，令，解得：，
在区间单调递减，在单调递增，
若，即时，在单调递增，，在上单调递增，，满足条件；
若时，在上单调递减，此时，
在上单调递减，，矛盾
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用二阶导数讨论，由的正负，讨论函数的单调性，转化为判断是否成立.
2．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将原问题转化为恒成立，构造函数，求导可得，分类讨论当、和时函数的性质，即可得出函数的性质，进而得到a的范围.
【详解】（1）当时，，
，.
曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）恒成立，
恒成立.
构造函数，
则，且.
令，得.
且.
①当时，存在，
则在上单调递减，
故存在，有，不符合题意.
②当时，令.
则，
所以单调递增，则.
所以在上单调递增，又，所以在上单调递增.
又，所以恒成立，符合题意.
③当时，，
所以在上单调递增，又，所以在上单调递增.
又，所以恒成立，符合题意.
综上所述，.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
3．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)若函数在内存在极值，求的取值范围；
(3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）对函数求导，根据在点处的切线与轴平行，得出导函数为0，即可求出的值.
（2）对函数求导，由函数在内存在极值，得出导函数为0，转换成，构造新函数，求其取值范围，即可得到的取值范围.
（3）由对任意的实数恒成立，代入，求得，构造新函数并求其取值范围，即可得到实数的取值范围.
【详解】（1）由题意
在中，
∵曲线在点即处的切线与轴平行，
∴
解得：
（2）由题意及（1）得
在中，
函数在内存在极值
∴当时，解得：
在中
，
∴函数单调递减，
∴
∴的取值范围为：
（3）由题意及（1）（2）得
在中，，
对任意的实数恒成立，
∴即恒成立
在中，
在中，，
∴函数单调递增，
∴
∴单调递增，
∵恒成立
∴
∴实数的取值范围为
【点睛】关键点点睛：构造新函数并求导，分离参数解决函数的恒成立问题
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若的最小值为，求a的值；
(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据函数的最小值列等式，再利用函数的单调性求a的值；
（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理证明函数有两个零点，结合对数运算寻找函数的两个零点之间的关系，即可根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）由题意得的定义域为，，
令，则，所以函数在上单调递增．
因为，所以，，所以存在唯一的，使得，
即，所以，
当时，，单调递减；当，，单调递增．
所以，
所以，即，
易知单调递增，且， 所以，所以．
（2）当时，，，显然单调递增，
又，，所以存在唯一的，使得，即，所以，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因为，，，所以有两个零点，，
不妨设，则，．
因为，
所以， 所以也是的零点，
因为且只有两个零点和，所以．
所以.
【点睛】方法点睛：（1）运用导数可以研究函数图象的切线、函数的单调性、函数的最值和极值、函数的零点，证明不等式等．运用导数解决问题时一定要有定义域优先意识；
（2）本题寻找函数的两个零点之间的关系较难，故当综合法受阻时，可借助分析法猜测两个零点之间的关系，再进一步验证.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·湖北武汉·高三武汉市吴家山中学校联考期中）已知函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数在原点处的切线方程是
B．是函数的极大值点
C．函数在上有个极值点
D．函数在上有个零点
【答案】D
【分析】通过导数的几何意义判断选项A，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B，进一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D，构造函数，通过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.
【详解】∵，∴定义域为，
∴，
对于A，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率，
∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A说法正确；
对于B，令，解得或，
当时，，在区间和单调递增；
当时，，在区间单调递减，
∴在时取得极大值，在时取得极小值，
∴是函数的极大值点，故选项B说法正确；
对于C，∵，∴，
令，则，
令，则当时，，
∴在上单调递增，
且，，
∴，使，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴在上的最小值为，
∵，∴，，∴，
又∵，
∴，使，，使，
∴当时，，在区间和上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴函数的极大值点为，极小值点为，
∴函数在上有个极值点，故选项C说法正确；
对于D，由选项B的判断知，的极大值为，极小值为，
又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：
如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点，
即方程有三个实数解，
即函数有个零点，故选项D说法错误.
综上所述，说法错误的选项为D.
故选：D.
二、多选题
2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在单调递增B．在处取得极小值
C．在恒成立D．在处的切线斜率为
【答案】BC
【分析】由已知可得.构造，可得出的单调性以及极值情况，即可判断A、B、C项，求出，根据导数的几何意义即可判断D项.
【详解】由已知，定义域为，.
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，故A项错误；
所以，在处取得极小值，也是最小值，所以在恒成立，故B、C项正确；
因为，根据导数的几何意义有，在处的切线斜率为，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题
3．（2023春·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考期中）设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数有最小值，无最大值，由此确定单调递增，得，求得答案.
【详解】由已知，的定义域为，
由得：，
令，
当时，递减；
当时，递增，
故在时取得最小值，无最大值，
由于为上的单调函数，所以只能是递增函数，
故，即得.
故答案为：
4．（2023·云南·校联考二模）函数的单调递增区间为 ．
【答案】/
【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解.
【详解】由题得函数定义域为，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，
故的单调递增区间为（或）．
故答案为：
四、解答题
5．（2022秋·陕西延安·高三校考阶段练习）已知函数，.
(1)若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得：即可求解.
（2）结合导数和隐零点替换即可求解最值.
【详解】（1）由已知可得：恒成立，
即恒成立，又的最小值为-2，所以，
则有.
（2）当时，，
所以，
令，在上单调递减，
又因为，，
所以存在使得，即，从而
则有
则有最大值为：，
所以，
则在上单调递减，所以最小值为.
6．（2023春·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【详解】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.
7．（2021·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)函数在定义域内不是单调函数，理由见解析
【分析】（1）首先不等式变形为，再构造函数，利用导数判断函数的最小值，即可证明不等式；
（2）首先求函数的导数，并设，利用导数判断判断函数的单调性，并结合零点存在性定理，即可判断.
【详解】（1）证明：函数的定义域是，当时，，
欲证，即证，即证.
令，则，
当变化时，，的变化情况如下表：
∴函数的最大值为，故.
∴
（2）函数在定义域内不是单调函数
理由如下：，令，则，
∴在上单调递减.注意到，且，
∴存在，使得，当时，，从而，
∴函数在上单调递增；当时，，从而，
∴函数在上单调递减.故函数在定义域内不是单调函数
8．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）已知函数，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极小值，求的值；
(3)若存在实数，使对任意的，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；
（2）由求得值，并验证此时是极小值点；
（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．
【详解】（1），，又，
∴切线方程为；
（2）由（1），函数在处取得极小值，则，即，，
设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值，
因此在附近是递增的，又，
所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；
所以．
（3），，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，
时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，
综上，的取值范围是．
9．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数且.
(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；
(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.
【答案】(1)，不是；
(2)2，理由见解析.
【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解；
（2）由（1）得，根据三角函数的性质可知当时函数单调递增，无极值点；当时函数单调递减，结合零点的存在性定理和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】（1），则，
由，得，
所以，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
所以不是函数的极值点.
（2）由（1）知，，
当时，，函数单调递增，无极值点；
设，则，
当时，，函数单调递减，
又，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在上只有一个极值点，且该极值点为m.
又，所以函数为奇函数，
则在上也有一个极值点，且该极值点为.
综上，函数在上有2个极值点.
10．（2022·江苏·高三期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)或
(3)
【分析】（1）先求导，对和进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解；
（2）由于与1，2的大小关系不确定，故需分为，，三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在上，解出对应值；
（3）采用分离参数法得，，令，求得，再令，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解.
【详解】（1）由得，当时，，故在上单增；
当时，令，解得，
时，，单增；
时，，单减；
时，，单增；
综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；
（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；
当时，令，解得，
和时，，单增；
时，，单减；
故最大值在或处取到，，
解得（舍去），，解得舍去；
当，即时，时，，单增；时，，单减，
故，解得，故；
当时，即时，时，，单减，
故，解得（舍去），
综上所述，或
（3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令，
则，令，
则，故在单增，，
故，即在成立，故在单增，
，所以.
【能力提升】
1．（2022秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知函数．
(1)若在处的切线l与直线平行，求切线l的方程；
(2)证明：当时，对任意的恒成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由在切线l与直线平行得，可解得a，又，即可用点斜式写出切线方程
（2）原命题等价成对任意的恒成立，构造，结合当时、证明在单调递增，即可证，即可证，命题得证
（1）
，则．
因为切线l与直线平行，所以，得，
又，所以切线l的方程为，即．
（2）
证明：由对任意的恒成立得对任意的恒成立．
设，则，易得在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
设，则，所以在上单调递增，
故当时，，即当时，，
所以当时，，
即①．
设，则，
设，则，
由①式知当时，，所以即在上单调递增，
所以，
当时，，所以在上单调递增，
故，即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．得证
【点睛】证明不等式恒成立问题，一般可构造函数，用导数法求得函数单调性来证明其与0的大小关系，当一阶导数不容易判断符号时，可通过二阶导数求得一阶导数的单调性来判断符号. 本题的关键是结合、得到的来证明函数的二阶导数符号
2．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.
(1)若单调递增，求的取值范围；
(2)设曲线在处的切线与曲线交于另一点，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件结合函数的单调性与导数的关系可得恒成立，由此可得，由此可求的取值范围；
（2）利用导数研究函数的性质确定的范围，再分别探究，，时不等式是否恒成立即可.
【详解】（1）由题意可知，恒成立，设，则
令，解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，即当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以，解得，
即的取值范围为；
（2）由（1）可得，，
所以切线方程为，
设，则，
整理得，所以，
由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，即，
又，所以存在，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
所以，
所以当时，，
当时，，满足题意；
当时，因为，所以，
整理得，
设，则恒成立，
易知，
设，
，
设，，
设，
则，所以单调递增，即在上单调递增，所以，
所以，
①当时，，所以单调递增，所以，
所以单调递增，所以，所以单调递增，
所以，即满足题意；
②当时，，
取，则，，，
所以，
所以存在，使得，且当时，，即，
所以单调递减，所以，所以单调递减，
所以，即，所以单调递减，所以，
即不满足题意；
综上，的取值范围为.
【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，有时问题的解决需通过二次求导解决.
3．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当，此时在上单调递减，在上单调递增；
(2)
【分析】（1）根据题意可得，求导，分两种情况：和，分析的符号，进而判断函数的单调性；
（2）不等式恒成立，即，只需，即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以，求导
（1）当时，，在上单调递增；
（2）当时，令，得
①当，即，此时在上单调递减，在上单调递增；
②当，即，此时在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当，此时在上单调递减，在上单调递增；
（2）不等式恒成立，即恒成立，只需
由，求导
求二阶导，所以在上单调递增；
又，，所以在上存在唯一实数根，
满足，即且，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增；

因为，所以，
又对勾函数在上单调递增，所以，即，
又，所以且
所以整数的最大值为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
4．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，再对求导，判断其单调性，然后结合零点存在性定理进而可知有唯一零点，结合极值点定义可证得结论；
（2）题目转化为，构造，利用导数研究函数的单调性，求其最值，即可得解.
【详解】（1）函数，求导，
令，则
又，，在上单调递减，
当时，，当时，，
故存在，使得
当，，故函数在上单调递增，
当，，故函数在上单调递减，
所以存在唯一极大值点；
（2）由题知，存在，使得对任意成立，
即存在，使得对任意成立，
由（1）知，，且，即，
即存在，使得恒成立，
构造，即存在，使得恒成立，
即存在，对任意恒成立，
求导
令，求得，，即，，
当，，故函数在上单调递增，
当，，故函数在上单调递减，
当，，故函数在上单调递增，
所以，
由时，，
因为，所以，即，则在上恒成立，
所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
5．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知函数在处取到极值．
(1)求的值以及函数的单调递减区间；
(2)若，且，试比较与0的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
【分析】（1）对求导，利用求得，再利用导数对的单调性进行研究，检验得当时，在处取到极大值，同时可得的单调递减区间；
（2）构造函数，对进行变形得到，结合的单调性可设，再构造函数，利用导数讨论在上的单调性，从而得证得，进而得到，由此结合的单调性可得.
【详解】（1）因为，所以，
故，解得，
故，
令，故恒成立，
故函数在上单调递减，而，
所以当时，，；当时，，；
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在处取到极大值，
综上：，此时，函数的单调递减区间为．
（2）结论：，理由如下：
由（1）可知，，令，
而，整理得，故，
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故m，n一正一负，不妨设，
令，注意到，
则，令，
则，当时，显然恒成立，
所以在上单调递增，则，
又在上恒成立，所以当时，，
所以在上单调递减，，
因为，所以，即，
因为，所以,
因为，且函数在上单调递减，
所以，即．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中e为自然对数的底数），且曲线在处的切线方程为.
(1)求实数m，n的值；
(2)证明：对任意的，有.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，代入求解即可；
（2）由题知，求导研究函数的单调性证得恒成立，即可证得结论.
【详解】（1）由，得，
又曲线在处的切线方程为，故切点，
所以，解得
（2）由（1）知，
记
则
记
记
显然在上单调递增，
当时，；当时，；
所以在上递减，在上递增，
故
又，，
故存在唯一，，使得
故当时，；当时，；
即在和上单调递增，在上单调递减，
且，，故存在唯一，使
故当时，；当时，.
所以在与单调递减，在与上递增
故是与中的较小值，又且，
所以恒成立，即.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求b的值；
(2)若，且，，求证：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1） 先求出切点坐标为，再对求导，利用导数的几何意义得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）令（），则，，结合题目条件化简得到，再将要证明的两边同时取以为底的对数得到，
转化为（），构造函数，，利用导数证明函数即可.
【详解】（1）由，得，所以切点坐标为，
又，所以切线的斜率，
则切线方程为，即，
又切线方程为，所以．
（2）当时，，，
令（），则，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，由，得．
要证，即证，
即证，
即证（）．
令，，
则，
令（），
则，
因为，，所以，
所以在上单调递减，即在单调递减，
所以，所以在单调递减，
所以，故.
【点睛】关键点睛：解决双变量问题的关键是寻找两变量之间的关系，并通过换元，将双变量不等式问题转化为单变量不等式问题，再构造新函数，利用导数解决函数问题.
本题中令（），结合，用分别表示和， 再将要证明的两边同时取以为底的对数得到，就将双变量转化为单变量的不等式：（），构造函数，，再运用导数解决问题一定要有定义域优先的意识，在构造函数来解决问题时有时需要二次求导，在解决存在或恒成立问题时通常可以考虑先参变量分离，再转化为函数的最值来处理．
8．（2023·湖北·统考二模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)在单调递减，在单调递增；
(2)
【分析】(1)先求的导数，化简为，用放缩法得；设，则可判断当和时，和的正负，从而判断的正负，得到含参数的的单调性；再把代入，求出此时的，从而求出的单调性.或先把代入，求的导数，再分和两类讨论，通过二次求导和构造函数来求函数的单调性.
(2)由(1)求出的单调性可求含参数和的的最小值，将代入消去即可得到关于的不等式，化简后构造函数，得到的取值范围，结合不等式得到的取值范围，从而得到的取值范围，即的取值范围.
【详解】（1）解法一：因为，
所以
易知，设，
则当时，，，所以，
则在单调递减；
当时，，，所以，
则在单调递增；
所以当时，即，即，
所以在单调递减，在单调递增.
解法二：
当时，
则
当时，令，则
所以在单调递增，，
又关于单调递增且，
所以关于单调递增，关于单调递增，
所以单调递增，则，
所以在单调递增.
当时，，
，
令，易知在单调递增，，
所以，所以在单调递减.
综上，在单调递减，在单调递增.
（2）由(1)的解法一知，则在单调递减，在单调递增，
所以
将代入可得
即
即
即
即，
即
当时，易得；当时，，
所以由解得，
所以，即.
又因为，所以，
所以，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：
（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
9．（2022秋·云南玉溪·高三云南省通海县第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点（），
（ⅰ）求证；（为自然对数的底数）；
（ⅱ）若满足，求a的最大值.
【答案】(1)当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可证得结论；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【详解】（1）（1）求导，，
当时，恒成立，的单调递增区间是，无递减区间.
当时，由，得，由，得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）（ⅰ）令，得，
设，求导，令，解得，则
当时，取得极大值，且
且当时，，当时，，如图，
数形结合可知，即.
（ⅱ）因为，即，且，
不妨设，将代入中，
得，即.
设，则，令，
则，∴在上单调递减，
即，从而有，得在上单调递减，
由已知条件得，即，∴在上单调递减，即，
得，，即.
又因为，设，
由（ⅰ）知，在上单调递增，而，
所以在上也单调递增，得，得，即.
综上，a的最大值是.
【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法：
（1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；
（2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题.
10．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考三模）已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，利用导数的正负研究函数的单调性即可得证；
（2）分析要使得在区间上总存在极值点，则需满足，进而构造函数，利用导数研究函数的单调性，可得实数的取值范围，由此得证.
(1)
∵，则，
设，则，令，解得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，函数取得极小值，且，即
所以，所以函数在定义域上单调递增.
(2)
由（其中），易知，
由（1）可知在上单调递增，．
由，求导，
其中，求导，
即在上单调递增，故．
令，由上可知在单调递增．
要使得在区间上总存在极值点，则需满足，
而恒成立恒成立，
于是，∴，
而，
又，
∴单调递减，且，
故，∴，
∴单调递增，且，
故，即，
∴函数在上单调递增；
∵在上单调递增，故······①
又，故要使得恒成立，
则只需，
同理可得······②
且，由①②可知，
存在当时，函数在区间上总存在极值点.
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，判断函数的单调性，对函数求导，若，则函数单调递增；若，则函数单调递减，考查学生的计算能力与逻辑思维能力，属于难题.
x
正
负
递增
递减
1
+
0
-
↗
极大值
↘
x


+
0
-
极大值