江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二（树人班）上学期9月期初调研数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选
1. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过定点，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心.
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点睛】直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 ．
（2）判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式
②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:．
2. 方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果.
【详解】由题意整理可得：，
则，解得，
且圆的半径，
当且仅当时，等号成立，
即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.
故选：B.
3. 圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆心到直线的距离，
所以弦长.
故选：C
4. 直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线距离为，
可得（正根舍去），
当直线过时，，
如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.
故选：D.
5. 圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.
【详解】由，则圆的标准方程为，如下图：
图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点，
易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，.
故选：B.
6. 已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点Mx,y，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.

7. 已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A. ＋2，－2B. ＋2，
C. ，－2D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
故选：C．
8. 已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解.
【详解】由化简可得，
则该圆圆心为，半径为，
由题意可得a<-3-2a>3，解得，故实数的取值范围是.
故选：A.
二、多选
9. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 圆心C的坐标为
B. 点Q在圆C外
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据若点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解；
【详解】圆C：的标准方程为
所以圆心坐标为，故A错误；
因为，所以点Q在圆C外，故B正确；
若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；
，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确；
故选：BD
10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A. 直线l恒过定点B. y轴被圆C截得的弦长为
C. 直线l与圆C恒相交D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D.
【详解】对于A，直线，即，
由，解得，故直线过定点，故A错误；
对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，
故直线方程为：，即，故D正确.
故选：CD
11. 已知直线，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 存在m的值，使得与 不互相垂直
B. 和分别过定点0,2和
C. 存在m的值，使得和关于直线对称
D. 若和交于点M，则OM最大值是3
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直线的一般式方程即可判断选项AB;根据直线对称点的坐标关系，即可判断选项C；根据，从而确定点的轨迹是以为直径的圆，从而求出最值，判断选项D.
【详解】对于A，因为，故无论取何值，与 都互相垂直，故A错误；
对于B，直线，当时，恒成立，故过定点，
当时，恒成立，故过定点B-2,0，故B正确；
对于C，在上任取点，关于直线的对称点坐标为，
代入的方程得：，当时，方程恒成立，
故存在，使得和关于直线x+y=0对称，故C正确；
对于D，由选项AB知，,故点的轨迹是以为直径的圆(除原点外），
故圆心为，半径,
故的最大值为,故D错误.
故选：BC
三、填空
12. 已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合数量积的运算分析可知点的轨迹为以O0,0圆心，半径的圆，即圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
则，其中为坐标原点，
可得，则，
可知点的轨迹为以O0,0圆心，半径的圆，
由题意可知：圆与圆有公共点，则，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】设平面内的动点Px,y，根据列式可得点的轨迹是为圆心，半径为的圆，即可求解周长.
【详解】设平面内的动点Px,y，由得，
所以，
化简得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以周长是.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得.
【详解】设，则有，
化简得，即点的轨迹方程是.
故答案为：.
四、解答
15. 已知直线：，：，其中为实数.
（1）当时，求直线，之间的距离；
（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【小问1详解】
由得，解得，
此时直线：，：，不重合，
则直线，之间的距离为；
【小问2详解】
当时，：，
联立，解得，
又直线斜率为，
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，
即.
16. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标.
（2）求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【小问1详解】
边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，
解得：，顶点的坐标为；
【小问2详解】
所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
17. 讨论方程＋表示的曲线.
【答案】答案见详解
【解析】
【分析】根据椭圆定义讨论判断.
【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离，
所以表示点到点和的距离之和，
当时，方程表示的曲线是椭圆；
当时，方程表示的曲线是线段；
当时，方程表示的曲线是不存在.
18. 已知的顶点，直角顶点为，顶点在y轴上；
（1）求顶点的坐标；
（2）求外接圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设点坐标，然后根据列方程，解方程即可得到点坐标；
（2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可.
【小问1详解】
设点，由题意：，，所以，
解得，所以点.
【小问2详解】
因为的斜边的中点为圆心，
所以圆心的坐标为，，
所以圆心的方程为.
19. 已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C切线，求切线方程．
【答案】（1）．（或标准形式）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；
（2）分切线斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为，
【小问2详解】
解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*）
由圆心C到切线的距离，可得
将代入（*），得切线方程为
综上，所求切线方程为或