广西部分示范性高中2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（Word版附解析）

这是一份广西部分示范性高中2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在中，，且边上的高为，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.2024年1月至5月重庆市八大类商品和服务价格增长速度依次为，，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A. B. C. D.
4.甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ）
C.1.2
5.已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，，且边上的高为，则（ ）
A.的面积有最大值，且最大值为
B.的面积有最大值，且最大值为
C.的面积有最小值，且最小值为
D.的面积有最小值，且最小值为
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（ ）
A.8 B. C.24 D.
10.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A.为偶函数
B.的最小正周期为
C.与在上均单调递减
D.函数在上有5个零点
11.若函数，则（ ）
A.可能只有1个极值点
B.当有极值点时，
C.存在，使得点为曲线的对称中心
D.当不等式的解集为时，的极小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量，且，则__________.
13.已知是等比数列，，则数列的前项和为__________.
14.甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在正方体中，点分别在上，且.
（1）若，证明：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16.（15分）
为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？
（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.
附：，其中.
若，则，.
17（15分）
已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.
（1）比较和的大小；
（2）讨论的单调性；
（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.
18.（17分）
已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关.
19.（17分）
若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.
（1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；
（3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.
高三数学考试参考答案
1.A 由题意得，所以.
2.C 由题意得，则.
3.B 因为，所以该组数据的第75百分位数为.
4.B 由题意得，则，所以.
5.D 当时，的图象经过第一､三､四象限，不经过第二象限，
当时，的图象经过第二､三､四象限，不经过第一象限，
则，得，所以的图象经过第一､二､三象限，不经过第四象限.
6.C 由题意得，则.在中，由，得，则，得，解得，所以的离心率为.
7.A 设正四面体的边长为，球的半径为，易得正四面体的高，则.正四面体的体积，球的体积，所以.
8.D 设的内角的对边分别为.由题意得C），得，得.因为，所以，即.由得，则，得（当且仅当时，等号成立），所以，则有最小值，且最小值为.
9.AD 由题意得的准线方程为，则，解得或.
10ACD 为偶函数，A正确.
由题意得的最小正周期，B错误.
由，得，所以与在上均单调递减，C正确.当时，函数和的图象如图所示，函数和的图象有5个交点，所以函数在上有5个零点，D正确.
11.BCD 由题意得.当，即时，，在上单调递增，无极值点.当，即时，设是方程的两个解，则在上单调递增，在上单调递减，有2个极值点.综上，不可能只有1个极值点，当有极值点时，，A错误，B正确.当时，，则点为曲线的对称中心，C正确.当不等式的解集为时，易得的零点为1和2，且1为0的二重根，则，则.易知在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，D正确.
12. 由题意得，解得.
13. 设等比数列的公比为，则，得，
则，所以的前项和为
14. 若甲获得3分，则甲必取中6号球，乙必取中1号球.
当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；
当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；
当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；
当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；
当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为.
综上，甲获得3分的概率为.
15.（1）证明：且四边形是平行四边形，
且.
，且，且，
，且，
四边形是平行四边形，.
平面平面平面
（2）解：以为原点，为3个单位长度，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，则，取，则，得.
易得平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为.
16.解：（1）零假设为：学生的性别和是否喜欢运动无关.
根据列联表中的数据，计算得到，
根据的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即学生的性别和是否喜欢跳绳无关.
（2）设经过训练后，该校学生每分钟的跳绳个数为，则.
由题意得，
，
则.
因为，
所以预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为819.
17.解：（1）由题意得，
则，
得.
（2）由题意得的定义域为.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知当时，没有最小值，
则，
得.
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以.
18.（1）解：设，由题意得，
化简得曲线的方程为.
（2）证明：设.
联立得，
因为，所以，所以
则
联立得.
，
同理可得，
所以
.
故只与有关.
19.（1）解：由题意得，得.
因为，所以的取值范围为.
（2）解：（方法一）数列不是“稳定数列”.
理由如下：
当时，；
当时，（也成立）.
由题意得，
当时，，即.
故数列不是“稳定数列”.
（方法二）数列不是“稳定数列”.
理由如下：
当时，；
当时，（也成立）.
当时，，
即.
故数列不是“稳定数列”.
（3）证明：由，得，
假设，得，则.
因为，所以，
所以，即.①
由，得.
因为，所以，
则，即.②
①与②相互矛盾，则不能同时大于1.
当时，假设，则，则，
得，不符合题意，所以.
故当时，.男学生
女学生
合计
喜欢跳绳
35
35
70
不喜欢跳绳
10
20
30
合计
45
55
100
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635