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高中物理教科版 (2019)选择性必修 第二册2 正弦交变电流的描述导学案
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这是一份高中物理教科版 (2019)选择性必修 第二册2 正弦交变电流的描述导学案，共20页。
3．会根据有效值的定义求交变电流的有效值，写出正弦式交变电流的表达式、画出其图像。
知识点一 周期和频率
1．物理意义：描述交变电流变化快慢的物理量。
2．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位是秒，符号是s。
3．频率：交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比。用f表示，单位是赫兹，符号是Hz。
4．ω、T、f的关系：ω＝2πT＝2πf，T＝1f或f＝1T。
5．我国民用交变电流的周期和频率
(1)周期：T＝0.02 s。
(2)频率：f＝50 Hz。
ω＝100π rad/s，电流方向每秒钟改变100次。
我们为什么感觉不到日光灯的闪烁？
提示：视觉暂停时间为0.05～0.1 s，大于日光灯闪烁的间隔时间。
知识点二 峰值和有效值
1．峰值
(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大值。
(2)应用：电容器、二极管所能承受的电压要高于交流电压的峰值。
2．有效值
(1)定义：让交流电与某一直流电通过同一电阻，如果它们在交流电的一个周期内产生的热量相等，则这个直流电的电流、电压，分别称为相应交流电电流和电压的有效值。
(2)原理：根据电流的热效应来规定的。
(3)应用
①交流电压表测量的数值；
②无特别说明时提到的交变电流的数值；
③计算消耗的功率。
3．正弦交变电流峰值和有效值的关系
I＝Im2，U＝Um2。
I＝Im2，U＝Um2仅适用于正弦或余弦交变电流，其他的交流电不适用。
[预习体验]
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)打点计时器所接交变电流频率f＝50 Hz时，打点周期为T＝0.02 s。(√)
(2)我国电网中交变电流的频率是100 Hz。(×)
(3)某段时间内的交变电流的平均值等于这段时间初、末时刻瞬时值的算术平均值。(×)
(4)我国民用交变电流的照明电压为220 V和动力电压为380 V都是指有效值。(√)
(5)交变电流的有效值即为一个周期内的平均值。(×)
如图所示的交变电流完成一次周期性变化需要多长时间？在1 s内完成多少次周期性变化？
提示：完成一次周期性变化需要0.02 s；在1 s内完成50次周期性变化。
考点1 交变电流的周期和频率
1．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间。在交变电流的图像中，一个完整的正弦波形对应的时间为一个周期T。
2．频率：1 s内完成周期性变化的次数。
3．周期和频率的关系：f＝1T，如图为我国照明电路的e-t图像，则交流电的周期T＝0.02 s，频率f＝50 Hz。
4．说明：交变电流的周期和频率跟发电机转子的角速度ω或转速n有关。ω(n)越大，周期越短，频率越高，其关系为T＝2πω，ω＝2πT＝2πf＝2πn。
【典例1】 (多选)矩形金属线圈共10匝，绕垂直于磁场方向的轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的交流电动势e随时间t变化的情况如图所示。下列说法中正确的是( )
A．此交变电流的频率为0.2 Hz
B．1 s内电流方向变化10次
C．t＝0.1 s时，线圈平面与磁场方向平行
D．1 s内线圈转5圈
BD [由题图知T＝0.2 s，故f＝1T＝10.2 Hz＝5 Hz，即1 s内完成5个周期，线圈转5圈，每转1圈电流方向改变2次，故A错误，B、D正确；在t＝0.1 s时，e＝0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C错误。]
[跟进训练]
1．(多选)一只矩形线圈在匀强磁场中转动产生的交流电动势为e＝10sin 4πt(V)，则( )
A．交流电的频率是4π Hz
B．当t＝0时线圈平面跟磁感线垂直
C．当t＝0.5 s时，e有最大值
D．交流电的周期是0.5 s
BD [交流电动势e＝10sin 4πt(V)，交流电的频率f＝ω2π＝4π2π Hz＝2 Hz，故A错误；当t＝0时e＝0，此时线圈处在中性面上，即线圈平面跟磁感线垂直，故B正确；当t＝0.5 s时，e＝0，故C错误；交流电的周期T＝1f＝0.5 s，故D正确。]
考点2 交变电流有效值的计算
1．正弦交变电流：E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
2．对非正弦式交变电流，必须根据电流的热效应来求解有效值，且时间一般取一个周期。其具体做法是：假设交变电流通过电阻R，计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)，其中热量Q用相应的物理量的有效值表示如Q＝I2Rt，Q＝U2tR，再将直流电通过同一电阻，仍求出所选一个周期内产生的热量Q′，令Q＝Q′，即通过热量相等求出相应的有效值。
3．几种常见电流的有效值
【典例2】 通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流图像如图所示，其周期为 1 s。电阻两端电压的有效值为( )
A．12 V B．410 V C．15 V D．85 V
B [由题意结合有效值的定义可得I2RT＝2I12R·25T＋I22R·110T，将I1＝0.1 A，I2＝0.2 A代入可得流过电阻的电流的有效值I＝1025 A，故电阻两端电压的有效值为IR＝410 V，B正确。]
[母题变式]
在[典例2]中，若在电路中串联一个二极管，其他条件不变，则电阻两端电压的有效值为多少？
提示：I'2RT＝I12R·25T＋I22R·110T
解得I′＝525 A
故U′＝I′R＝45 V。
[答案] 45 V
当电流是非正弦交变电流时，必须根据有效值的定义求解。求解步骤如下：
[跟进训练]
2．如图所示是一交变电流的i-t图像，则该交变电流的有效值为( )
A．4 A B．22 A
C．83 A D．2303 A
D [根据交变电流有效值的定义可得I2RT＝I12Rt1+I22Rt2，I2R×3×10-2 ＝422R×10-2 +42R×2×10-2，解得I＝2303 A，D正确。]
考点3 交变电流的四值比较
【典例3】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求(取π＝3.14)：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝Em2＝3142 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，即P外＝E2R＝3142210 W≈1.97×104 W。
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为
e＝Emsin 30°＝314 V
感应电流的瞬时值为i＝eR＝31410 A＝31.4 A。
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为E＝NΔΦΔt
平均感应电流为I＝NΔΦRΔt
故通过导线横截面的电荷量为
q＝IΔt＝NΔΦR＝NBl21-cs60°R＝0.1 C。
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A (3)0.1 C
应用交变电流“四值”时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。
[跟进训练]
3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长为L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动。ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω。求：
(1)线圈产生的感应电动势的最大值；
(2)交流电压表的示数；
(3)线圈转动一周在电阻R上产生的热量。
[解析] (1)线圈产生的感应电动势的最大值Em＝NBSω＝100×0.5×0.1×0.1×2π V＝π V。
(2)感应电动势有效值为E＝Em2＝22π V
电流为I＝ER＋r＝2π2×(4＋1) A＝2π10 A
电压表测量的是电阻R两端的电压
U＝IR＝2π10×4 V＝22π5 V。
(3)交流电的周期T＝2πω＝2π2π s＝1 s
线圈转动一周电阻R上产生的热量为
Q＝I2RT＝2π102×4×1 J≈0.8 J。
[答案] (1)π V (2)22π5 V (3)0.8 J
1．A、B是两个完全相同的电热器，A通以图甲所示的方波交变电流，B通以图乙所示的正弦式交变电流。通过两电热器的电流有效值之比IA∶IB等于( )
A．5∶2 B．5∶4
C．2∶1 D．2∶1
A [对方波交流电而言，由电流的热效应可得IA2RT＝I02R·T2＋12I02R·T2，对正弦交流电而言，有效值为IB＝I02，联立解得IA∶IB＝5∶2，故选A。]
2．如图所示为一正弦交变电压随时间变化的图像，由图可知( )
A．交变电流的周期为2 s
B．用电压表测量该交流电压时，读数为311 V
C．交变电压的有效值为220 V
D．将它加在电容器上时，电容器的耐压值必须等于311 V
C [由题图知周期为2×10-2 s，A错误；电压表的读数为有效值，正弦交变电压有效值为Um2≈220 V，B错误，C正确；电容器的耐压值应大于或等于电压的最大值，故D错误。]
3．一正弦交变电流的有效值为10 A，频率为50 Hz，此交变电流的瞬时值表达式为( )
A．i＝10sin 314t(A)B．i＝102sin 314t(A)
C．i＝10sin 50t(A) D．i＝102sin 50t(A)
B [电流的有效值为I＝10 A，则最大值为Im＝102A；频率为f＝50 Hz，则角速度为ω＝2πf＝100π rad/s；故瞬时值表达式为i＝102sin 100πt(A)＝102sin 314t(A)。故选B。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)实际生活中哪些用到交变电流的有效值？
提示：电气设备上所标注的额定电压、额定电流；交流电表的数值；保险丝的熔断电流。
(2)由交变电流图像我们可以获得哪些信息？
提示：各个时刻对应的电压或电流值、周期或频率、电压或电流的峰值。
课时分层作业(十) 正弦交变电流的描述
题组一 交变电流有效值的计算
1．下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数 B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压 D．220 V交流电压
C [电容器击穿电压指电容器两端能承受的电压的最大值，故C正确。]
2．我国新能源汽车产业的高速增长使得市场对充电桩的需求越来越大，无线充电的建设成本更低，并且不受场地限制等因素的影响，是解决充电难的途径之一。如图所示是某无线充电接收端电流经电路初步处理后的I-t图像，其中负半轴两段图像为正弦函数图像的一部分，则该交变电流的有效值为( )
A．3 A B．2303 A
C．30 A D．33 A
C [根据有效值的概念可知622R·T3+62·R·2T3＝I2RT，解得I＝30 A，故选C。]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比Q甲Q乙等于( )
A．12 B．12 C．14 D．11
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，题图甲的有效值为I1＝Im2，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得Q甲Q乙＝I12I22＝12，B正确。]
4．如图所示，实验室中有一台手摇交流发电机，内阻r＝1.0 Ω，外接R＝9.0 Ω的电阻。闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝102sin 10πt(V)，则( )
A．该交变电流的频率为10 Hz
B．该电动势的有效值为102 V
C．外接电阻R所消耗的电功率为10 W
D．电路中理想交流电流表的示数为1.0 A
D [由产生的电动势可知，该交变电流的频率为5 Hz，选项A错误；该电动势的有效值为E＝10 V，选项B错误；电路中交流电流表的示数为电流的有效值，为I＝ER+r＝1.0 A，选项D正确；外接电阻R所消耗的电功率为P＝I2R＝9 W，选项C错误。]
题组二 交变电流的四值比较
5．一正弦交流电的电压随时间变化规律如图所示，则( )
A．交流电的频率为50 Hz
B．交流电压的有效值为1002 V
C．交流电压瞬时值表达式为u＝100sin 50πt(V)
D．此交流电压可以直接接耐压值为80 V的电容器
C [由题图可知，T＝4×10-2 s，故f＝1T＝25 Hz，故A错误；交流电的最大值Em＝100 V，故有效值为E＝Em2＝502V，故B错误；交流电的角速度为ω＝2πf＝50π rad/s，所以其表达式为u＝100sin 50πt(V)，故C正确；电容器的耐压值应大于或等于交流电压的最大值，故此交流电压不可以直接接耐压值为80 V的电容器，故D错误。]
6．一交流电压为u＝1002 sin 100πt(V)，由此表达式可知( )
A．用电压表测该电压其示数为50 V
B．将该电压加在“100 V 100 W”的灯泡两端，灯泡的实际功率小于100 W
C．该交流电压的周期为0.02 s
D．t＝1400 s时，该交流电压的瞬时值为50 V
C [电压表测量为电压的有效值，所以电压表示数为10022 V＝100 V，A错误；灯泡额定电压为100 V，所以灯泡正常发光，功率为100 W，B错误；根据表达式可知，角速度ω＝100π rad/s，所以周期T＝2πω＝0.02 s，C正确；当t＝1400 s时，代入表达式，瞬时值为100 V，D错误。]
7．一个单匝总电阻为2 Ω的闭合矩形金属线框位于匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴匀速转动，该线圈产生的电动势e随时间按如图所示的余弦规律变化。下列说法正确的是( )
A．线框产生电流峰值为200 A
B．线框产生电动势有效值为1002 V
C．线框的热功率为20 000 W
D．t＝0.01 s时，线框的磁通量最大
B [线框产生电流峰值为Im＝EmR＝2002 A＝100 A，A错误；线框产生电动势的有效值为E＝Em2＝2002 V＝1002 V，B正确；线框的热功率为P＝E2R＝100222 W＝10 000 W，C错误；t＝0.01 s时，电动势最大，线框的磁通量等于零，D错误。故选B。]
8．图甲是小型交流发电机的示意图，在匀强磁场中，一矩形金属线圈绕与磁场方向垂直的轴匀速转动，产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图乙所示。发电机线圈内阻为10 Ω，外接一只电阻为90 Ω 的灯泡，不计电路的其他电阻，则( )
A．t＝0时刻线圈平面与中性面垂直
B．每秒钟内电流方向改变100次
C．灯泡两端的电压为22 V
D．0～0.01 s时间内通过灯泡的电荷量为0
B [由题图乙电动势随时间变化的正弦规律图像可知，计时起点e＝0，即从中性面开始计时，A错误；由题图乙可知电动势周期为0.02 s，所以频率为50 Hz，即每秒钟内电流方向改变100次，B正确；由题图乙可知灯泡两端的电压为U＝EmR2R+r≈90100×22 V＝19.8 V，故C错误；0～0.01 s时间内通过灯泡的电流均为正方向，所以电荷量不为0，D错误。]
9．有一交流发电机模型，用示波器观察到它产生的感应电动势波形如图所示，求：
(1)电动势的最大值和有效值；
(2)当t＝1200 s时，电动势的瞬时值，并指出此时线圈相对于磁场的位置；
(3)已知线圈面积为16 cm2，共25匝，计算匀强磁场的磁感应强度。
[解析] (1)由题中图像可知电动势的最大值Em＝5 V，根据正弦交流电的最大值和有效值的关系，有效值为E＝22Em≈3.5 V。
(2)因为e＝Emsin ωt＝5sin 100πt(V)，当t＝1200 s时，
e＝5sin 100π×1200 V＝5 V，
这时线圈平面跟磁感线平行。
(3)由于Em＝nBSω，所以
B＝EmnSω＝525×2π×50×16×10-4 T≈0.4 T。
[答案] (1)5 V 3.5 V (2)5 V 线圈平面跟磁感线平行 (3)0.4 T
10．(多选)一台小型发电机与计算机相连接，计算机能将发电机产生的电动势随时间变化的图像记录下来，如图甲所示，让线圈在匀强磁场中以不同的转速匀速转动，计算机记录了两次不同转速所产生正弦交流电的图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．发电机先后两次的转速之比na∶nb＝3∶2
B．交流电b的峰值为1023 V
C．0时刻线圈平面与磁场方向垂直
D．若改用交流电压表接在发电机的输出端，电压表显示交流电a的值为10 V
AC [由题图乙可知，a的周期为0.4 s，b的周期为0.6 s，转速与周期成反比，故曲线a、b对应的线圈转速之比为na∶nb＝3∶2，曲线a表示的交变电动势最大值是10 V，根据交变电流的最大值Em＝NBSω＝2πNBST，所以有EmbEma＝TaTb，得曲线b表示的交变电动势最大值是Emb＝203 V，故A正确，B错误；由题图乙可知，0时刻电压为0，说明线圈位于中性面，所以0时刻线圈平面与磁场方向垂直，故C正确；交流电压表读数是有效值，所以若改用交流电压表接在发电机的输出端，电压表显示交流电a的值为U＝Em2＝52 V，故D错误。]
11．如图甲所示，标有“220 V 40 W”的灯泡和标有“20 μF 300 V”的电容器并联到交流电源上， eq \\ac(○,V)为交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示。闭合开关，下列判断正确的是( )
A．t＝0时刻， eq \\ac(○,V)的示数为零
B．灯泡恰好正常发光
C．电容器不可能被击穿
D． eq \\ac(○,V)的示数保持1102 V不变
B [交流电压表测量交流电压的有效值，数值保持不变且不为零，故A错误；由题图乙可知，交流电压的有效值为U＝22022 V＝220 V，所以灯泡正常发光，故B正确；交流电压的最大值2202 V≈311 V>300 V，所以电容器有可能会被击穿，故C错误；电压表测量了电源的路端电压且电压值为U＝22022 V＝220V，故D错误。]
12．有一种儿童滑板车，轮子一转就闪闪发光。车轮里有磁体、线圈组成的简易发电系统，可对发光二极管供电。该发电系统简化为以下模型：一电阻为R、边长为L的单匝正方形均匀线圈abcd，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。现对线圈施加一外力F，使线圈以角速度ω绕bc边匀速转动，产生正弦交流电。已知线圈质量为m，重力加速度为g，求：
(1)线圈在图示竖直位置时，产生的感应电动势大小E0及ad边受到的安培力大小FA；
(2)线圈从图示竖直位置转过90°的过程中，通过线圈截面的电荷量q；
(3)在(2)的情况下，线框中产生的热量Q及外力F对线框做的功W。
[解析] (1)线圈产生的感应电动势E0＝BL2ω
形成的感应电流I＝E0R
ad边受到的安培力FA＝BIL
解得FA＝B2L3ωR。
(2)此过程产生的平均感应电动势E＝ΔΦΔt
平均感应电流I＝ER
则q＝I·Δt
解得q＝BL2R。
(3)产生电动势的有效值E＝E02
产生的热量Q＝E2R·π2ω
解得Q＝πB2L4ω4R
根据动能定理有mg·L2＋W－Q＝0
解得W＝πB2L4ω4R-12mgL。
[答案] (1)BL2ω B2L3ωR (2)BL2R (3)πB2L4ω4R πB2L4ω4R-12mgL
13．如图甲所示为手机无线充电工作原理的示意图，由送电线圈和受电线圈组成。已知受电线圈的匝数为n＝50匝，电阻r＝1.0 Ω，在它的c、d两端接一阻值R＝9.0 Ω的电阻。设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场，其磁通量随时间按图乙所示的规律变化，可在受电线圈中产生电动势最大值为20 V的正弦交流电，设磁场竖直向上为正。求：
(1)在t＝π×10-3 s时，受电线圈中产生电流的大小，c、d两端哪端电势高？
(2)在一个周期内，电阻R上产生的热量；
(3)从t1到t2时间内，通过电阻R的电荷量。
[解析] (1)由题图乙知t＝π×10-3 s时受电线圈中产生的电动势最大，为Em＝20 V
线圈中产生感应电流的大小为
I1＝Im＝EmR+r＝2.0 A
由楞次定律可以得到此时c端电势高。
(2)通过电阻R的电流的有效值为
I＝Im2＝2 A
电阻在一个周期内产生的热量
Q＝I2RT≈5.7×10-2 J。
(3)线圈中感应电动势的平均值E＝nΔΦΔt
通过电阻R的电流的平均值为I＝ER+r，通过电阻R的电荷量q＝I·Δt
由题图乙知，在T4～3T4的时间内，
ΔΦ＝4×10-4 Wb
解得q＝nΔΦR+r＝2×10-3 C。
[答案] (1)2.0 A c端电势高 (2)5.7×10-2 J (3)2×10-3 C
分类
电流图线
有效值
正弦交
变电流
I＝Im2
正弦半波
电流
I＝Im2
正弦单向
脉冲电流
I＝Im2
矩形脉冲
电流
I＝t0TIm
非对称性
交变电流
I＝12(I12＋I22)
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝NBSω
Im＝EmR+r
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值、电压值
E＝Em2
U＝Um2
I＝Im2
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
E＝nΔΦΔt
I＝ER+r
计算通过电路横截面的电荷量
3．会根据有效值的定义求交变电流的有效值，写出正弦式交变电流的表达式、画出其图像。
知识点一 周期和频率
1．物理意义：描述交变电流变化快慢的物理量。
2．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T表示，单位是秒，符号是s。
3．频率：交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比。用f表示，单位是赫兹，符号是Hz。
4．ω、T、f的关系：ω＝2πT＝2πf，T＝1f或f＝1T。
5．我国民用交变电流的周期和频率
(1)周期：T＝0.02 s。
(2)频率：f＝50 Hz。
ω＝100π rad/s，电流方向每秒钟改变100次。
我们为什么感觉不到日光灯的闪烁？
提示：视觉暂停时间为0.05～0.1 s，大于日光灯闪烁的间隔时间。
知识点二 峰值和有效值
1．峰值
(1)定义：交变电流的电压、电流所能达到的最大值。
(2)应用：电容器、二极管所能承受的电压要高于交流电压的峰值。
2．有效值
(1)定义：让交流电与某一直流电通过同一电阻，如果它们在交流电的一个周期内产生的热量相等，则这个直流电的电流、电压，分别称为相应交流电电流和电压的有效值。
(2)原理：根据电流的热效应来规定的。
(3)应用
①交流电压表测量的数值；
②无特别说明时提到的交变电流的数值；
③计算消耗的功率。
3．正弦交变电流峰值和有效值的关系
I＝Im2，U＝Um2。
I＝Im2，U＝Um2仅适用于正弦或余弦交变电流，其他的交流电不适用。
[预习体验]
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)打点计时器所接交变电流频率f＝50 Hz时，打点周期为T＝0.02 s。(√)
(2)我国电网中交变电流的频率是100 Hz。(×)
(3)某段时间内的交变电流的平均值等于这段时间初、末时刻瞬时值的算术平均值。(×)
(4)我国民用交变电流的照明电压为220 V和动力电压为380 V都是指有效值。(√)
(5)交变电流的有效值即为一个周期内的平均值。(×)
如图所示的交变电流完成一次周期性变化需要多长时间？在1 s内完成多少次周期性变化？
提示：完成一次周期性变化需要0.02 s；在1 s内完成50次周期性变化。
考点1 交变电流的周期和频率
1．周期：交变电流完成一次周期性变化所需的时间。在交变电流的图像中，一个完整的正弦波形对应的时间为一个周期T。
2．频率：1 s内完成周期性变化的次数。
3．周期和频率的关系：f＝1T，如图为我国照明电路的e-t图像，则交流电的周期T＝0.02 s，频率f＝50 Hz。
4．说明：交变电流的周期和频率跟发电机转子的角速度ω或转速n有关。ω(n)越大，周期越短，频率越高，其关系为T＝2πω，ω＝2πT＝2πf＝2πn。
【典例1】 (多选)矩形金属线圈共10匝，绕垂直于磁场方向的轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的交流电动势e随时间t变化的情况如图所示。下列说法中正确的是( )
A．此交变电流的频率为0.2 Hz
B．1 s内电流方向变化10次
C．t＝0.1 s时，线圈平面与磁场方向平行
D．1 s内线圈转5圈
BD [由题图知T＝0.2 s，故f＝1T＝10.2 Hz＝5 Hz，即1 s内完成5个周期，线圈转5圈，每转1圈电流方向改变2次，故A错误，B、D正确；在t＝0.1 s时，e＝0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C错误。]
[跟进训练]
1．(多选)一只矩形线圈在匀强磁场中转动产生的交流电动势为e＝10sin 4πt(V)，则( )
A．交流电的频率是4π Hz
B．当t＝0时线圈平面跟磁感线垂直
C．当t＝0.5 s时，e有最大值
D．交流电的周期是0.5 s
BD [交流电动势e＝10sin 4πt(V)，交流电的频率f＝ω2π＝4π2π Hz＝2 Hz，故A错误；当t＝0时e＝0，此时线圈处在中性面上，即线圈平面跟磁感线垂直，故B正确；当t＝0.5 s时，e＝0，故C错误；交流电的周期T＝1f＝0.5 s，故D正确。]
考点2 交变电流有效值的计算
1．正弦交变电流：E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
2．对非正弦式交变电流，必须根据电流的热效应来求解有效值，且时间一般取一个周期。其具体做法是：假设交变电流通过电阻R，计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算)，其中热量Q用相应的物理量的有效值表示如Q＝I2Rt，Q＝U2tR，再将直流电通过同一电阻，仍求出所选一个周期内产生的热量Q′，令Q＝Q′，即通过热量相等求出相应的有效值。
3．几种常见电流的有效值
【典例2】 通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流图像如图所示，其周期为 1 s。电阻两端电压的有效值为( )
A．12 V B．410 V C．15 V D．85 V
B [由题意结合有效值的定义可得I2RT＝2I12R·25T＋I22R·110T，将I1＝0.1 A，I2＝0.2 A代入可得流过电阻的电流的有效值I＝1025 A，故电阻两端电压的有效值为IR＝410 V，B正确。]
[母题变式]
在[典例2]中，若在电路中串联一个二极管，其他条件不变，则电阻两端电压的有效值为多少？
提示：I'2RT＝I12R·25T＋I22R·110T
解得I′＝525 A
故U′＝I′R＝45 V。
[答案] 45 V
当电流是非正弦交变电流时，必须根据有效值的定义求解。求解步骤如下：
[跟进训练]
2．如图所示是一交变电流的i-t图像，则该交变电流的有效值为( )
A．4 A B．22 A
C．83 A D．2303 A
D [根据交变电流有效值的定义可得I2RT＝I12Rt1+I22Rt2，I2R×3×10-2 ＝422R×10-2 +42R×2×10-2，解得I＝2303 A，D正确。]
考点3 交变电流的四值比较
【典例3】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，求(取π＝3.14)：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝Em2＝3142 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，即P外＝E2R＝3142210 W≈1.97×104 W。
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为
e＝Emsin 30°＝314 V
感应电流的瞬时值为i＝eR＝31410 A＝31.4 A。
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为E＝NΔΦΔt
平均感应电流为I＝NΔΦRΔt
故通过导线横截面的电荷量为
q＝IΔt＝NΔΦR＝NBl21-cs60°R＝0.1 C。
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A (3)0.1 C
应用交变电流“四值”时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。
[跟进训练]
3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长为L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动。ω＝2π rad/s，外电路电阻R＝4 Ω。求：
(1)线圈产生的感应电动势的最大值；
(2)交流电压表的示数；
(3)线圈转动一周在电阻R上产生的热量。
[解析] (1)线圈产生的感应电动势的最大值Em＝NBSω＝100×0.5×0.1×0.1×2π V＝π V。
(2)感应电动势有效值为E＝Em2＝22π V
电流为I＝ER＋r＝2π2×(4＋1) A＝2π10 A
电压表测量的是电阻R两端的电压
U＝IR＝2π10×4 V＝22π5 V。
(3)交流电的周期T＝2πω＝2π2π s＝1 s
线圈转动一周电阻R上产生的热量为
Q＝I2RT＝2π102×4×1 J≈0.8 J。
[答案] (1)π V (2)22π5 V (3)0.8 J
1．A、B是两个完全相同的电热器，A通以图甲所示的方波交变电流，B通以图乙所示的正弦式交变电流。通过两电热器的电流有效值之比IA∶IB等于( )
A．5∶2 B．5∶4
C．2∶1 D．2∶1
A [对方波交流电而言，由电流的热效应可得IA2RT＝I02R·T2＋12I02R·T2，对正弦交流电而言，有效值为IB＝I02，联立解得IA∶IB＝5∶2，故选A。]
2．如图所示为一正弦交变电压随时间变化的图像，由图可知( )
A．交变电流的周期为2 s
B．用电压表测量该交流电压时，读数为311 V
C．交变电压的有效值为220 V
D．将它加在电容器上时，电容器的耐压值必须等于311 V
C [由题图知周期为2×10-2 s，A错误；电压表的读数为有效值，正弦交变电压有效值为Um2≈220 V，B错误，C正确；电容器的耐压值应大于或等于电压的最大值，故D错误。]
3．一正弦交变电流的有效值为10 A，频率为50 Hz，此交变电流的瞬时值表达式为( )
A．i＝10sin 314t(A)B．i＝102sin 314t(A)
C．i＝10sin 50t(A) D．i＝102sin 50t(A)
B [电流的有效值为I＝10 A，则最大值为Im＝102A；频率为f＝50 Hz，则角速度为ω＝2πf＝100π rad/s；故瞬时值表达式为i＝102sin 100πt(A)＝102sin 314t(A)。故选B。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)实际生活中哪些用到交变电流的有效值？
提示：电气设备上所标注的额定电压、额定电流；交流电表的数值；保险丝的熔断电流。
(2)由交变电流图像我们可以获得哪些信息？
提示：各个时刻对应的电压或电流值、周期或频率、电压或电流的峰值。
课时分层作业(十) 正弦交变电流的描述
题组一 交变电流有效值的计算
1．下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数 B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压 D．220 V交流电压
C [电容器击穿电压指电容器两端能承受的电压的最大值，故C正确。]
2．我国新能源汽车产业的高速增长使得市场对充电桩的需求越来越大，无线充电的建设成本更低，并且不受场地限制等因素的影响，是解决充电难的途径之一。如图所示是某无线充电接收端电流经电路初步处理后的I-t图像，其中负半轴两段图像为正弦函数图像的一部分，则该交变电流的有效值为( )
A．3 A B．2303 A
C．30 A D．33 A
C [根据有效值的概念可知622R·T3+62·R·2T3＝I2RT，解得I＝30 A，故选C。]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比Q甲Q乙等于( )
A．12 B．12 C．14 D．11
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，题图甲的有效值为I1＝Im2，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得Q甲Q乙＝I12I22＝12，B正确。]
4．如图所示，实验室中有一台手摇交流发电机，内阻r＝1.0 Ω，外接R＝9.0 Ω的电阻。闭合开关S，当发电机转子以某一转速匀速转动时，产生的电动势e＝102sin 10πt(V)，则( )
A．该交变电流的频率为10 Hz
B．该电动势的有效值为102 V
C．外接电阻R所消耗的电功率为10 W
D．电路中理想交流电流表的示数为1.0 A
D [由产生的电动势可知，该交变电流的频率为5 Hz，选项A错误；该电动势的有效值为E＝10 V，选项B错误；电路中交流电流表的示数为电流的有效值，为I＝ER+r＝1.0 A，选项D正确；外接电阻R所消耗的电功率为P＝I2R＝9 W，选项C错误。]
题组二 交变电流的四值比较
5．一正弦交流电的电压随时间变化规律如图所示，则( )
A．交流电的频率为50 Hz
B．交流电压的有效值为1002 V
C．交流电压瞬时值表达式为u＝100sin 50πt(V)
D．此交流电压可以直接接耐压值为80 V的电容器
C [由题图可知，T＝4×10-2 s，故f＝1T＝25 Hz，故A错误；交流电的最大值Em＝100 V，故有效值为E＝Em2＝502V，故B错误；交流电的角速度为ω＝2πf＝50π rad/s，所以其表达式为u＝100sin 50πt(V)，故C正确；电容器的耐压值应大于或等于交流电压的最大值，故此交流电压不可以直接接耐压值为80 V的电容器，故D错误。]
6．一交流电压为u＝1002 sin 100πt(V)，由此表达式可知( )
A．用电压表测该电压其示数为50 V
B．将该电压加在“100 V 100 W”的灯泡两端，灯泡的实际功率小于100 W
C．该交流电压的周期为0.02 s
D．t＝1400 s时，该交流电压的瞬时值为50 V
C [电压表测量为电压的有效值，所以电压表示数为10022 V＝100 V，A错误；灯泡额定电压为100 V，所以灯泡正常发光，功率为100 W，B错误；根据表达式可知，角速度ω＝100π rad/s，所以周期T＝2πω＝0.02 s，C正确；当t＝1400 s时，代入表达式，瞬时值为100 V，D错误。]
7．一个单匝总电阻为2 Ω的闭合矩形金属线框位于匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的固定轴匀速转动，该线圈产生的电动势e随时间按如图所示的余弦规律变化。下列说法正确的是( )
A．线框产生电流峰值为200 A
B．线框产生电动势有效值为1002 V
C．线框的热功率为20 000 W
D．t＝0.01 s时，线框的磁通量最大
B [线框产生电流峰值为Im＝EmR＝2002 A＝100 A，A错误；线框产生电动势的有效值为E＝Em2＝2002 V＝1002 V，B正确；线框的热功率为P＝E2R＝100222 W＝10 000 W，C错误；t＝0.01 s时，电动势最大，线框的磁通量等于零，D错误。故选B。]
8．图甲是小型交流发电机的示意图，在匀强磁场中，一矩形金属线圈绕与磁场方向垂直的轴匀速转动，产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图乙所示。发电机线圈内阻为10 Ω，外接一只电阻为90 Ω 的灯泡，不计电路的其他电阻，则( )
A．t＝0时刻线圈平面与中性面垂直
B．每秒钟内电流方向改变100次
C．灯泡两端的电压为22 V
D．0～0.01 s时间内通过灯泡的电荷量为0
B [由题图乙电动势随时间变化的正弦规律图像可知，计时起点e＝0，即从中性面开始计时，A错误；由题图乙可知电动势周期为0.02 s，所以频率为50 Hz，即每秒钟内电流方向改变100次，B正确；由题图乙可知灯泡两端的电压为U＝EmR2R+r≈90100×22 V＝19.8 V，故C错误；0～0.01 s时间内通过灯泡的电流均为正方向，所以电荷量不为0，D错误。]
9．有一交流发电机模型，用示波器观察到它产生的感应电动势波形如图所示，求：
(1)电动势的最大值和有效值；
(2)当t＝1200 s时，电动势的瞬时值，并指出此时线圈相对于磁场的位置；
(3)已知线圈面积为16 cm2，共25匝，计算匀强磁场的磁感应强度。
[解析] (1)由题中图像可知电动势的最大值Em＝5 V，根据正弦交流电的最大值和有效值的关系，有效值为E＝22Em≈3.5 V。
(2)因为e＝Emsin ωt＝5sin 100πt(V)，当t＝1200 s时，
e＝5sin 100π×1200 V＝5 V，
这时线圈平面跟磁感线平行。
(3)由于Em＝nBSω，所以
B＝EmnSω＝525×2π×50×16×10-4 T≈0.4 T。
[答案] (1)5 V 3.5 V (2)5 V 线圈平面跟磁感线平行 (3)0.4 T
10．(多选)一台小型发电机与计算机相连接，计算机能将发电机产生的电动势随时间变化的图像记录下来，如图甲所示，让线圈在匀强磁场中以不同的转速匀速转动，计算机记录了两次不同转速所产生正弦交流电的图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．发电机先后两次的转速之比na∶nb＝3∶2
B．交流电b的峰值为1023 V
C．0时刻线圈平面与磁场方向垂直
D．若改用交流电压表接在发电机的输出端，电压表显示交流电a的值为10 V
AC [由题图乙可知，a的周期为0.4 s，b的周期为0.6 s，转速与周期成反比，故曲线a、b对应的线圈转速之比为na∶nb＝3∶2，曲线a表示的交变电动势最大值是10 V，根据交变电流的最大值Em＝NBSω＝2πNBST，所以有EmbEma＝TaTb，得曲线b表示的交变电动势最大值是Emb＝203 V，故A正确，B错误；由题图乙可知，0时刻电压为0，说明线圈位于中性面，所以0时刻线圈平面与磁场方向垂直，故C正确；交流电压表读数是有效值，所以若改用交流电压表接在发电机的输出端，电压表显示交流电a的值为U＝Em2＝52 V，故D错误。]
11．如图甲所示，标有“220 V 40 W”的灯泡和标有“20 μF 300 V”的电容器并联到交流电源上， eq \\ac(○,V)为交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示。闭合开关，下列判断正确的是( )
A．t＝0时刻， eq \\ac(○,V)的示数为零
B．灯泡恰好正常发光
C．电容器不可能被击穿
D． eq \\ac(○,V)的示数保持1102 V不变
B [交流电压表测量交流电压的有效值，数值保持不变且不为零，故A错误；由题图乙可知，交流电压的有效值为U＝22022 V＝220 V，所以灯泡正常发光，故B正确；交流电压的最大值2202 V≈311 V>300 V，所以电容器有可能会被击穿，故C错误；电压表测量了电源的路端电压且电压值为U＝22022 V＝220V，故D错误。]
12．有一种儿童滑板车，轮子一转就闪闪发光。车轮里有磁体、线圈组成的简易发电系统，可对发光二极管供电。该发电系统简化为以下模型：一电阻为R、边长为L的单匝正方形均匀线圈abcd，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。现对线圈施加一外力F，使线圈以角速度ω绕bc边匀速转动，产生正弦交流电。已知线圈质量为m，重力加速度为g，求：
(1)线圈在图示竖直位置时，产生的感应电动势大小E0及ad边受到的安培力大小FA；
(2)线圈从图示竖直位置转过90°的过程中，通过线圈截面的电荷量q；
(3)在(2)的情况下，线框中产生的热量Q及外力F对线框做的功W。
[解析] (1)线圈产生的感应电动势E0＝BL2ω
形成的感应电流I＝E0R
ad边受到的安培力FA＝BIL
解得FA＝B2L3ωR。
(2)此过程产生的平均感应电动势E＝ΔΦΔt
平均感应电流I＝ER
则q＝I·Δt
解得q＝BL2R。
(3)产生电动势的有效值E＝E02
产生的热量Q＝E2R·π2ω
解得Q＝πB2L4ω4R
根据动能定理有mg·L2＋W－Q＝0
解得W＝πB2L4ω4R-12mgL。
[答案] (1)BL2ω B2L3ωR (2)BL2R (3)πB2L4ω4R πB2L4ω4R-12mgL
13．如图甲所示为手机无线充电工作原理的示意图，由送电线圈和受电线圈组成。已知受电线圈的匝数为n＝50匝，电阻r＝1.0 Ω，在它的c、d两端接一阻值R＝9.0 Ω的电阻。设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场，其磁通量随时间按图乙所示的规律变化，可在受电线圈中产生电动势最大值为20 V的正弦交流电，设磁场竖直向上为正。求：
(1)在t＝π×10-3 s时，受电线圈中产生电流的大小，c、d两端哪端电势高？
(2)在一个周期内，电阻R上产生的热量；
(3)从t1到t2时间内，通过电阻R的电荷量。
[解析] (1)由题图乙知t＝π×10-3 s时受电线圈中产生的电动势最大，为Em＝20 V
线圈中产生感应电流的大小为
I1＝Im＝EmR+r＝2.0 A
由楞次定律可以得到此时c端电势高。
(2)通过电阻R的电流的有效值为
I＝Im2＝2 A
电阻在一个周期内产生的热量
Q＝I2RT≈5.7×10-2 J。
(3)线圈中感应电动势的平均值E＝nΔΦΔt
通过电阻R的电流的平均值为I＝ER+r，通过电阻R的电荷量q＝I·Δt
由题图乙知，在T4～3T4的时间内，
ΔΦ＝4×10-4 Wb
解得q＝nΔΦR+r＝2×10-3 C。
[答案] (1)2.0 A c端电势高 (2)5.7×10-2 J (3)2×10-3 C
分类
电流图线
有效值
正弦交
变电流
I＝Im2
正弦半波
电流
I＝Im2
正弦单向
脉冲电流
I＝Im2
矩形脉冲
电流
I＝t0TIm
非对称性
交变电流
I＝12(I12＋I22)
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝NBSω
Im＝EmR+r
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流值、电压值
E＝Em2
U＝Um2
I＝Im2
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
E＝nΔΦΔt
I＝ER+r
计算通过电路横截面的电荷量
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